北师大版九年级数学下册第二章二次函数导学案讲义（第二讲）

二次函数
第二讲
教学目标
①通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义．
②会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次函数的性质．
③会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）
的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题．
④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
知识点总结
1.二次函数的性质
图象开口方向
对称轴
顶点
坐标
函数最大(小)值
函数值的增减(性)
a>0
向
上
直线x=
(，)
x=时，函数有最小值为
x<时，函数值y随x的增大而减小；
x>时，函数值y随x的增大而增大
a<0
向
下
直线x=
x<时，函数值y随x的增大而增大；
x>时，函数值y随x的增大而减小
2．抛物线中a,b,c的作用：
（1）a决定抛物线的
：当a>0时，
；当a<0时，
.
（2）c决定抛物线与y轴交点的位置：当c>0时，图象与y轴交点在y轴的
上；当c<0时，图象与y轴交点在y轴的
上;
当c=0时，图象过
.
（3）b、a共同决定抛物线的对称轴x
=-的位置：若b、a同号，则对称轴在y轴
；若b、a异号，则对称轴在y轴
；若b=0，则对称轴是
.
3．二次函数与一元二次方程的关系：△=b2-
4ac决定抛物线与x轴交点情况：当△>0时，抛物线与x轴有
个交点；当△<0时，抛物线与x轴有
个交点；当△=0时，抛物线与x轴
交点.
4.二次函数解析式的确定：待定系数法
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式（已知抛物线上纵坐标相同的两点）
（3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式y=a(x-x1)(x-x2)；
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
例题讲解
例1：将下列函数化成y=a（x－h）＋k的形式，并指出其顶点坐标和对称轴；
（1）y=x－2x＋3
（2）y=－x－6x＋5
（3）y=－2x＋4x＋6
变式练习1：已知函数y=x2+2x+1
（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点。
例2：
(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
②有序数对、、满足；
③已知函数的图象的一部分（如图）．
(2)直接写出二次函数的三个性质．
变式练习2：如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A
、B、C三点，
（1）观察图象，写出A
、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式，
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴
（3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0?
例3、如图，二次函数的图像开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴，给出五个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；⑤a-b+c>0；⑥2a+b<0其中正确的结论的序号是
。
变式练习3：
已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式练习4：
如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（-4，-3），与y轴交于点B，对称轴是x=-3，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式．
（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．
课堂练习
选择题
抛物线y=x－6x＋21的顶点坐标是（
）
A．（－3，1）
B．（－3，－1）
C．（6，3）
D．（6，1）
抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（
）
A
.y=x2+2x－2
B.
y=x2+2x+1C.
y=x2－2x－1
D
.y=x2－2x+1
已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，则（???
）
a>0，b<0，c=0
B.
a<0，b<0，c=0
C.
a<0，b<0，c<0
D.
a>0，b>0，c=0
函数y=x2-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二次函数的大致图象如题10图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（
）
A、当
-1
<
x
<
2时，y>0
B、对称轴是直线x=
C、当x<,y随x的增大而减小
D、函数有最小值
二次函数图像在轴的上方的条件是（
）
A、>.>0
B、a>0.<0
C.a<0,>0
D.a<0,<0
在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
（
）
已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（　）
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
-3
1
3
1
…
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
D．当x=4时，y＞0
二、填空题
若将二次函数配方为的形式，则
。
抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
容易看出，是它与轴的一个交点，则它与轴的另一个交点的坐标为_________．
二次函数y=ax＋bx＋c的图象如图所示，则a
0,b
0,c
0
抛物线y=3x＋bx＋c的顶点坐标为（，0），则b＝
，c＝
三、解答题：
如图，在直角坐标系中，直线与双曲线（x＞0）相交于P（1，m）.
（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于y=x成轴对称，则点Q的坐标为Q（
）；
（3）若过P、Q两点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴方程.
某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价40元，每年销售该产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系。
求y关于x的函数关系式；
试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
如图10，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．设CP＝x，BE＝y，试写出y关于x的函数关系式．
　　
课后作业
1、若将二次函数配方为的形式，则
。
2、平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式
3、如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，－3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．
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