郑集高级中学2020-2021学年度上学期高一第三次学情调查
数学试题
考试时间120分钟
试卷满分150分
1、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知幂函数过点，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.函数（且）的图象恒过定点（）
A.
（0，3）
B.
（1，3）
C.
（-1，2）
D.
（-1，3）
4.设，，，则（
）
A
B.
C.
D.
5.设，，不等式恒成立，则实数的最大值等于（
）
A.
0
B.
8
C.
9
D.
10
6.已知函数是R上的奇函数，则实数（ ）
A
B.
C.
D.
1
7.已知函数，则使得成立的实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
8.若函数在上为减函数，则函的单调递增区间(
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本题共4道小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分）
9.下列关于幂函数的性质，描述正确的有(
)
当时函数在其定义域上是减函数
当时函数图象是一条直线
当时函数是偶函数
当时函数有一个零点0
10.下列命题中，不正确的有(
)
若函数的定义域是，则它的值域是
若函数的值域是，则它的定义域是
若函数的定义域是，则它的值域是
若函数的值域是，则它的定义域一定是
11.已知关于x的不等式的解集为，则(
)
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(
)
A．g(x)是偶函数
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在R上是增函数
D．g(x)的值域是{－1,
0,
1}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．_______．
14.定义在R上的连续函数对任意实数x，y，恒有，且当时，，又，则函数在上的最大值为_______．
15．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围是_______．
16．若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则＝_______．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
已知集合．
（1）分别求；
（2）已知集合，设命题p：x∈A，命题q：x．已知p是q的必要不充分条件，求实数a的取值围．
18．（本小题12分）
已知幂函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，，且的最小值为0，求实数的值.
19.（本小题12分）
已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数在定义域上的单调性并用定义证明；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．（本小题12分）
某工产生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元），当年产量不小于80千件时，（万元）。每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大
21．（本小题12分）
已知函数，.
（1）解关于的不等式；
（2）若方程有两个正实数根，，求的最小值.
22．（本小题12分）
已知函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若方程有且仅有一个解，求实数m的取值范围；
（3）任取，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
试卷第4页，总4页郑集高级中学月考3数学试题答案
1.
B
2.B
3.D
4.D
5.C
6.A
7.B
8.C
9.CD
10.ACD
11.ABD
12.BC
13.8
14.2
15.
16.
17.解：（1）因为,
,
所以,或
（2）因为,当时,,即,
当时,则,即
综上,实数a的取值范围是或
18.解：解：（1）∵为幂函数，∴，∴或.
当时，在上单调递减，故不符合题意.
当时，在上单调递增，
故，符合题意.∴.
（2），
令.∵，∴，∴，.
①当时，即时，则当时，有最小值，∴，.
②当时，即时，则当时，有最小值.
∴，（舍）.
③当时，即时，则当时，有最小值，
∴，（舍）.
综上所述.
19.
解：解：（1）因为是奇函数，所以，即，∴，
经检验时，是上奇函数.
（2），则在上单调递增.
证明如下：任取且，则
，
因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.
（3）又因为是上奇函数，所以，
等价于，即，
因为为上增函数，则对一切恒成立，即恒成立，显然成立，②，解得.
综上所述，的取值范围是.
20.（1）
（2）当
，当时，万元
当时：
万元
当且仅当时，即时，取到最大值为1000万元
∴时，取到最大值1000
21.解：（1）令，解得，.
若即时，原不等式的解集为，
若即时，原不等式的解集为，
若即时，原不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式为；当时，原不等式的解集为.
（2）方程有两个正实数根，，
等价于有两个正实数根，，
∴，
则，
令，则，
当且仅当即时取等号，故的最小值为6.
22.解：（1）当时,，
要使函数有意义,则需,即,从而
故函数的定义域为
（2）若函数有且仅有一个零点,
则有且仅有一个根,即,即,即有且仅有一个根
令,则有且仅有一个正根,
当时,,则,即,成立；
当时,若即时,,此时成立；
若,需,即,
综上，m的取值范围为
（3）若任取,不等式对任意恒成立,
即对任意恒成立,
因为在定义域上是单调减函数,
所以,,
即,
即,则,所以,即,
又有意义,需,即,
所以,,所以的取值范围为
