郑集高级中学2020-2021学年度上学期高一第三次学情调查
数学试题
考试时间120分钟
试卷满分150分
1、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1.函数的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知幂函数过点,则(
)
A.
B.
C.
D.
3.函数(且)的图象恒过定点()
A.
(0,3)
B.
(1,3)
C.
(-1,2)
D.
(-1,3)
4.设,,,则(
)
A
B.
C.
D.
5.设,,不等式恒成立,则实数的最大值等于(
)
A.
0
B.
8
C.
9
D.
10
6.已知函数是R上的奇函数,则实数( )
A
B.
C.
D.
1
7.已知函数,则使得成立的实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
8.若函数在上为减函数,则函的单调递增区间(
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题(本题共4道小题,每题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有错选的得0分)
9.下列关于幂函数的性质,描述正确的有(
)
当时函数在其定义域上是减函数
当时函数图象是一条直线
当时函数是偶函数
当时函数有一个零点0
10.下列命题中,不正确的有(
)
若函数的定义域是,则它的值域是
若函数的值域是,则它的定义域是
若函数的定义域是,则它的值域是
若函数的值域是,则它的定义域一定是
11.已知关于x的不等式的解集为,则(
)
A.
B.不等式的解集为
C.
D.不等式的解集为
12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是(
)
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1,
0,
1}
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13._______.
14.定义在R上的连续函数对任意实数x,y,恒有,且当时,,又,则函数在上的最大值为_______.
15.已知函数(且)在上单调递减,则实数的取值范围是_______.
16.若函数在上的最大值为4,最小值为,且函数在上是增函数,则=_______.
四、解答题:本小题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题10分)
已知集合.
(1)分别求;
(2)已知集合,设命题p:x∈A,命题q:x.已知p是q的必要不充分条件,求实数a的取值围.
18.(本小题12分)
已知幂函数满足.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,,且的最小值为0,求实数的值.
19.(本小题12分)
已知函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断函数在定义域上的单调性并用定义证明;
(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
20.(本小题12分)
某工产生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为,当年产量不足80千件时,(万元),当年产量不小于80千件时,(万元)。每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完。
(1)写出年利润(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大
21.(本小题12分)
已知函数,.
(1)解关于的不等式;
(2)若方程有两个正实数根,,求的最小值.
22.(本小题12分)
已知函数.
(1)当时,求函数的定义域;
(2)若方程有且仅有一个解,求实数m的取值范围;
(3)任取,若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
试卷第4页,总4页郑集高级中学月考3数学试题答案
1.
B
2.B
3.D
4.D
5.C
6.A
7.B
8.C
9.CD
10.ACD
11.ABD
12.BC
13.8
14.2
15.
16.
17.解:(1)因为,
,
所以,或
(2)因为,当时,,即,
当时,则,即
综上,实数a的取值范围是或
18.解:解:(1)∵为幂函数,∴,∴或.
当时,在上单调递减,故不符合题意.
当时,在上单调递增,
故,符合题意.∴.
(2),
令.∵,∴,∴,.
①当时,即时,则当时,有最小值,∴,.
②当时,即时,则当时,有最小值.
∴,(舍).
③当时,即时,则当时,有最小值,
∴,(舍).
综上所述.
19.
解:解:(1)因为是奇函数,所以,即,∴,
经检验时,是上奇函数.
(2),则在上单调递增.
证明如下:任取且,则
,
因为,所以,所以,即,所以函数在上单调递增.
(3)又因为是上奇函数,所以,
等价于,即,
因为为上增函数,则对一切恒成立,即恒成立,显然成立,②,解得.
综上所述,的取值范围是.
20.(1)
(2)当
,当时,万元
当时:
万元
当且仅当时,即时,取到最大值为1000万元
∴时,取到最大值1000
21.解:(1)令,解得,.
若即时,原不等式的解集为,
若即时,原不等式的解集为,
若即时,原不等式的解集为;
综上所述:当时,不等式的解集为;当时,不等式为;当时,原不等式的解集为.
(2)方程有两个正实数根,,
等价于有两个正实数根,,
∴,
则,
令,则,
当且仅当即时取等号,故的最小值为6.
22.解:(1)当时,,
要使函数有意义,则需,即,从而
故函数的定义域为
(2)若函数有且仅有一个零点,
则有且仅有一个根,即,即,即有且仅有一个根
令,则有且仅有一个正根,
当时,,则,即,成立;
当时,若即时,,此时成立;
若,需,即,
综上,m的取值范围为
(3)若任取,不等式对任意恒成立,
即对任意恒成立,
因为在定义域上是单调减函数,
所以,,
即,
即,则,所以,即,
又有意义,需,即,
所以,,所以的取值范围为