单元综合测试三(第三章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．已知cosθ＝，且π<θ<2π，那么tanθ的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
2．若cosα＝－，sinα＝，则2α的终边所在象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．设A、B是△ABC的内角，并且(1＋tanA)·(1＋tanB)＝2，则A＋B等于( )
A.
B.
C.
D．kπ＋(k∈Z)
4．函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1
B．π，2
C．2π，1
D．2π，2
5．已知tan(π－α)＝－2，则＝( )
A．－3
B.
C．3
D．－
6．已知sinx＋cosx＝，则cos(－x)＝( )
A．－
B.
C．－
D.
7．若sinθ＋cosθ＝m，且tanθ＋＝n，则m2与n的关系为( )
A．m2＝n
B．m2＝＋1
C．m2＝－1
D．n＝
8．设函数f(x)＝2cos2－1(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )
A.
B．3
C．6
D．9
9．4cos50°－tan40°＝( )
A.
B.
C.
D．2－1
10．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则下面等式一定成立的是( )
A．A＝B
B．A＝C
C．B＝C
D．A＝B＝C
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝（
）.
12．已知13sinα＋5cosβ＝9,13cosα＋5sinβ＝15，那么sin(α＋β)的值为（
）.
13．函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为（
）.
14．如图所示，三个全等的正方形并排在一起则α＋β＝（
）
15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝（
）.
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(1)已知α是第三象限角，f(α)＝，化简并求f()的值；
(2)已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z.
求.
17．(本小题满分12分)已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．
18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝2sinβcosβ，求证：2sin2β＝(tanα＋tanβ)cos2β.
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosx，－)，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝1－cos2x＋2sinxcosx＋t(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈，是否存在实数t，使函数f(x)的值域恰为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分14分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cos，－sin)，c＝(1，－1)，其中x∈[－，]．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)设函数f(x)＝(|a＋c|2－3)(|b＋c|2－3)，求f(x)的最大值和最小值．单元综合测试三(第三章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．已知cosθ＝，且π<θ<2π，那么tanθ的值是( B )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵cosθ＝，且π<θ<2π，
∴sinθ＝－，∴tanθ＝＝－.
2．若cosα＝－，sinα＝，则2α的终边所在象限为( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由题意，得sin2α＝2sinαcosα＝－<0，cos2α＝2cos2α－1＝>0，故2α的终边在第四象限．
3．设A、B是△ABC的内角，并且(1＋tanA)·(1＋tanB)＝2，则A＋B等于( A )
A.
B.
C.
D．kπ＋(k∈Z)
解析：因为(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2，所以tanA＋tanB＝1－tanAtanB，所以tan(A＋B)＝＝1，所以A＋B＝.
4．函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是( A )
A．π，1
B．π，2
C．2π，1
D．2π，2
解析：本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．三角函数中，当角与角之间是2倍关系时，常选用倍角公式化为同角，然后整理成正弦型函数处理．
f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，周期T＝π，振幅为1，故选A.
5．已知tan(π－α)＝－2，则＝( D )
A．－3
B.
C．3
D．－
解析：∵tan(π－α)＝－tanα＝－2，∴tanα＝2，
∴＝＝＝＝－，故选D.
6．已知sinx＋cosx＝，则cos(－x)＝( B )
A．－
B.
C．－
D.
解析：∵sinx＋cosx＝，
∴2(sinx＋cosx)＝，
∴2cos(－x)＝，
∴cos(－x)＝，故选B.
7．若sinθ＋cosθ＝m，且tanθ＋＝n，则m2与n的关系为( B )
A．m2＝n
B．m2＝＋1
C．m2＝－1
D．n＝
解析：观察sinθ＋cosθ与sinθcosθ的关系：sinθcosθ＝＝.
而tanθ＋＝＋＝＝n，
∴＝，∴m2＝＋1.
8．设函数f(x)＝2cos2－1(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于( C )
A.
B．3
C．6
D．9
解析：因为f(x)＝2cos2－1，所以f(x)＝cosωx.将函数f(x)＝cosωx(ω>0)的图像向右平移个单位长度后，所得图像的解析式为y＝cosω，因为y＝cosω的图像与原图像重合，所以＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝6k(k∈Z)．又ω>0，所以ωmin＝6，故选C.
9．4cos50°－tan40°＝( C )
A.
B.
C.
D．2－1
解析：本题考查非特殊角三角函数的求值问题．
4cos50°－tan40°＝
＝＝
＝
＝
＝＝.
10．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则下面等式一定成立的是( C )
A．A＝B
B．A＝C
C．B＝C
D．A＝B＝C
解析：由sinB·sinC＝cos2＝，得2sinBsinC＝cosA＋1，化简得cos(B－C)－cos(B＋C)＝1＋cosA，
又cos(B＋C)＝－cosA，∴cos(B－C)＝1，
∴B－C＝0，即B＝C，选C.
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝3＋cos2x.
解析：∵f(sinx)＝3－cos2x＝2＋2sin2x，
∴f(x)＝2＋2x2，∴f(cosx)＝2＋2cos2x＝3＋cos2x.
12．已知13sinα＋5cosβ＝9,13cosα＋5sinβ＝15，那么sin(α＋β)的值为.
解析：两式两边平方相加，得132＋130(sinα·cosβ＋cosαsinβ)＋52＝92＋152，即130sin(α＋β)＝112，所以sin(α＋β)＝.
13．函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为π.
解析：本题考查二倍角公式，辅助角公式与三角恒等变形．y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＝sin2x－cos2x＋＝2sin(2x－)＋.∵ω＝2.∴T＝π.
14．如图所示，三个全等的正方形并排在一起则α＋β＝.
解析：由题意知tanα＝，tanβ＝，
且0<α<，0<β<，
∴tan(α＋β)＝＝1，
0<α＋β<π，∴α＋β＝.
15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝－.
解析：f(x)＝sinx－2cosx＝(sinx－cosx)，令＝cosα，＝sinα，则f(x)＝sin(x－α)，
∵x∈R，∴f(x)max＝，
且当x－α＝2kπ＋时取得最大值，k∈Z.
∵x＝θ时，f(x)取得最大值，
∴θ＝2kπ＋＋α.
∴cosθ＝cos(2kπ＋＋α)
＝－sinα＝－.
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(1)已知α是第三象限角，f(α)＝，化简并求f()的值；
(2)已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z.
求.
解：(1)f(α)＝＝cosα，则
f()＝cos＝cos(6π－)＝cos＝.
(2)由已知得cos(θ＋kπ)≠0，
∴tan(θ＋kπ)＝－2，k∈Z，即tanθ＝－2，
则＝＝10.
17．(本小题满分12分)已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．
解：＝
＝.
∵α为第二象限角，sinα＝，
∴cosα＝－，∴sinα＋cosα≠0，
∴＝＝－.
18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝2sinβcosβ，求证：2sin2β＝(tanα＋tanβ)cos2β.
证明：因为tan(α－β)＝sin2β，
tan(α－β)＝，sin2β
＝2sinβcosβ＝＝.
所以＝，
去分母，整理，得tanα＝.
所以tanα＋tanβ
＝
＝＝2tan2β.
所以2sin2β＝(tanα＋tanβ)cos2β.
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosx，－)，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝(cosx，－)·(sinx，cos2x)
＝cosxsinx－cos2x
＝sin2x－cos2x
＝cossin2x－sincos2x＝sin(2x－)．
∴f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，
当2x－＝，
即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，
即x＝0时，f(0)＝－，
当2x－＝π，即x＝时，f()＝，
∴f(x)的最小值为－.
因此f(x)在[0，]上最大值是1，最小值是－.
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝1－cos2x＋2sinxcosx＋t(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈，是否存在实数t，使函数f(x)的值域恰为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为f(x)＝1－cos2x＋sin2x＋t＝2sin＋t＋1，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)假设存在实数t符合题意，因为x∈，
所以－≤2x－≤，
则sin∈，
所以f(x)＝2sin＋t＋1∈[t，3＋t]．
又f(x)∈，所以t＝，
所以存在实数t＝，使函数f(x)的值域恰为.
21．(本小题满分14分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cos，－sin)，c＝(1，－1)，其中x∈[－，]．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)设函数f(x)＝(|a＋c|2－3)(|b＋c|2－3)，求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)证明：依题意，
a＋b＝(cosx＋cos，sinx－sin)，
a－b＝(cosx－cos，sinx＋sin)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(cosx)2－(cos)2＋(sinx)2－(sin)2＝1－1＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)依题意，a＋c＝(cosx＋1，sinx－1)，
b＋c＝(cos＋1，－sin－1)，
∴|a＋c|2－3＝(cosx＋1)2＋(sinx－1)2－3
＝2cosx－2sinx，
|b＋c|2－3＝(cos＋1)2＋(－sinx－1)2－3
＝2cosx＋2sinx，
∴f(x)＝(|a＋c|2－3)(|b＋c|2－3)
＝(2cosx－2sinx)(2cos＋2sin)
＝4(cosxcos＋cosxsin－sinxcos－sinxsin)＝4(cos2x－sinx)＝4(1－2sin2x－sinx)
＝－8(sinx＋)2＋.
当sinx＝－时，f(x)max＝，
当sinx＝1时，f(x)min＝－8，
∴函数f(x)的最大值为，最小值为－8.
