人教版八年级上册 第十二章 全等三角形：构造全等三角形的方法（例题+练习 无答案）

【构造全等三角形的方法】
倍长中线法（利用中点、中线构造）
如图，△ABC中，AD是中线，AB=4，AC=6。
（1）求证：AD＜（AB+AC）
（2）若AD的长为整数，求AD的值
练习：
1、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，延长BE交AC于F，AF=EF。
求证：AC=BE
2、如图，△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于F，交AB于点G，若BG=CF，求证：AD是△ABC的角平分线。
利用角平分线
例1、已知：∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC
例2、BE是角平分线，AD垂直BE于D，求证：∠2=∠1+∠C
例3、已知在△
ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD．
练习：
如图，已知∠1=∠2，P是BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC.
求证：∠PCB+∠BAP=180°
如图，已知∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE
三、截长补短法（通常用来证明线段和差相等）
例1、如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，
求证：AB+BE=AC．
例2、AB//CD，BE,CE是角平分线，求证：BC=AB+CD
练习：
1、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点。
求证：MB
-
MC＜AB
-
AC
2、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC.
（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；
（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明。
四、旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形
例1、如图，正方形ABCD中，DE=3，BF=1，∠EAF=45°，求证：EF=BF+DE．
练习：如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为
五、平行线法（平移法）
例1、如图，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。
作业：
1、如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．
如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足。
求证：（1）BE+DF=EF
（2）AH=AB
3、如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的角平分线，AD、CE相交于点F。请判断FE与FD之间的数量关系。