苏科版数学八年级上册 3.1 勾股定理 《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计(表格式)

《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计
教材分析
本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁．
学情分析
学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误．
教
学
目
标
知识目标
能运用勾股定理求最短路径问题
能力目标
学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
情感目标
通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感．
教学重点
探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题．
教学难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题．
授课类型
新授课
课时：第一课时
教具准备
多媒体课件、三角板、圆柱体、长方体
学具准备
圆柱体、长方体
教学过程
教学环节
教学内容
教学活动
学生活动
设计意图
复习巩固
1.请说一说勾股定理的具体内容
2.两点之间-------最短
3.一个圆柱体的侧面展开图是---------------,它的一边长------------,它的另一边--------
.
4.从行政楼A点走到教学楼B点怎样走最近？
引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长．
引导学生回顾同一平面内，两点之间线段最短的知识．
学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识．
帮助学生温故知新
合作探究
类型一：圆柱体中的最短路径
1以小组为单位,研究蚂蚁在圆
柱体的A点沿侧面爬行
到B
点的问题.．
例1：如图所示，有一个圆柱
，它的高是12cm,底面上圆的
周长等于18cm，在圆柱下底
面的点A处有一只蚂蚁，它
想吃到上底面上与点A相对
的点B处的食物，沿圆柱侧
面爬行到B点，求其爬行的
最短路程是多少？
变式一：变式1、有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米）
变式二：再将“高为8cm”改为“2cm”，求蚂蚁爬行的最短路程．
解决圆柱体中的最短路径问题的步骤：
类型二：正方形中的最短路径
以小组为单位,研究蚂蚁在正方体的A点沿表面爬行到B点的问题.蚂
讨论：1.蚂蚁怎样沿正方体从A点爬到G？
2.有最短路径吗？若有，那条最短？你是怎么确定呢？
类型三：长方体中的最短路径
如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
小结：解决路径最短问题的依据是
．也就是将曲面或多面体展成一个
面，然后连接需求最短路径的两点，构造
三角形，用勾股定理的数学模型去解决．
解决最短路径问题四部曲
1
．展（立体展平面）
2
．找（找各种路径）
3
．算（算各种路径的长度）
4
．比（比较各种路径的长度）
类型四（拓展提高）：与物体表面和内部相关的最短路径
如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是
．
提问：怎样确定平面上两点间的最短距离？立体图形上的最短距离问题如何解决？
引导学生寻找关键点．
引导学生根据不同的条件选择不同的路径．
引导学生思考最短距离怎么体现．怎样计算最短距离？
引导小结结圆柱体中计算最短距离要注意的问题．
提问：正方体由几个面组成？这些面有什么关系？正方体怎么展开？至少需要展开几个面？
引导学生思考长方体与正方体有何区别？为什么长方体有六种展开方式？（长，宽，高的组合），为什么排除后只有三种？（重复）
引导学生小结解决立体图形上的两点之间最短路径问题的步骤
引导学生将此问题与利用轴寻找最短路径的问题相结合．
学生审题，思考并作答
指明圆柱体、正方体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算
在教师引导下，学生对六种展开方式分析排除，最终归纳出三种方式计算比较得出最短距离．
总结归纳做题的步骤
将曲线化直线，将此问题转化为利用轴对称解决最短路径问题．
由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣．
启发学生把立体图形展开成平面图形，并用平面图形的知识来解决立体图形中最短距离问题．注重路径的多样性，渗透分类讨论思想．
使学生体会数学上的转化思想．
通过先寻找“关键点”，再找到不同路径，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本真！
在圆柱体的基础上提升难度，变为正方体，再变为长方体，引导学生由浅入深，认识到要解决立体图形上的最短路径问题一定要将其展开．渗透分类讨论思想．
在初二上学期寻找最短路径的问题上提升到求最短路径长，体现勾股定理是计算线段长的有力手段．
巩固练习
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为
cm．
课后完成
通过配套练习加深学生对本节课所学知识的印象和理解
2．如图，在一个长为2m，宽为1m
的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路径是
m．
3．一盛满水的圆柱形容器，它的高等于8cm．底面半径等于3cm，在圆柱下底面上的A点有一条小鱼，它想从点A游到点B，小鱼游过的最短路程是多少？
若是蚂蚁想从点A爬到点B，最短路程是多少？（π的值取3）若把圆柱的高改为2cm呢？
4．如图所示，有一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用
秒2.5？
5．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm，8cm，30cm．
（1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，最短路程是多少？
（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少?
6．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80
cm，高AB=60
cm，
水深为AE=40
cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？
3至5题
课后完成
教学反思】
①[授课流程反思]
兴趣是最好的老师－－－学生只有对数学感兴趣，才想学、乐学，最后学会、学好．这就要求老师从“入趣点”着手，通过学生身边熟悉的问题引入，本节课的“入趣点”为“咱们学校”－－－亲切熟悉的环境，“不走寻常路”－－－学生中流行的广告词，这样做可以引起学生的情感共鸣，拉近与学生的距离，激发学生的学习兴趣.
②[讲授效果反思]
学生对知识的形成需要一个过程，甚至是几次的反复，本节课知识容量大，如果仅仅将解题过程投放在屏幕上，学生根本来不及思考，所以在教学中板书必不可少，它既能给学生的思维增添时间和空间，又可以规范学生解题的格式.
③[师生互动反思]
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