人教版数学八年级上册 12.3角平分线的性质同步测试题（一）（Word版 含解析）

角平分线的性质同步测试题（一）
一．选择题
1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（　　）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P（　　）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
6．下列作图语句正确的是（　　）
A．以点O为顶点作∠AOB
B．延长线段AB到C，使AC＝BC
C．作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D．以A为圆心作弧
7．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若OP＝4，则PQ的最小值为（　　）
A． B．4 C．2 D．
8．如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM＝3，N是OB上一个动点，线段PN的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D；如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，王玲同学根据给定的条件写出了四个结论：①AP⊥BP；②点P到AD，BC的距离相等；③PD＝PC；④AD+BC＝AB，其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，过D作AC的垂线DE交AC于E，DE＝5，则D到AB的距离是　 　．
12．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣3），AB的长是10，则△ABD的面积为　 　．
13．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB的度数是　 　．
14．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是　 　 （写序号）
15．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于P，PM⊥AC于M，若PM＝6cm，则点P到AB的距离为　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E＝∠C，∠1＝90°﹣∠EDC．求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）ED＝BC+BD．
17．已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上．
18．已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD＝PE．
19．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H．
（1）求证：∠BEC＝∠ADC；
（2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明；
（3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：如图，
过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE＝PD，
∵PD＝6，
∴PE＝6，
即点P到OB的距离是6．
故选：A．
2．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，
∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．
故选：D．
3．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴△BDC的面积是×DE×BC＝×10×3＝15，
故选：B．
4．【解答】解：作∠E的平分线，
可得点P到AB和CD的距离相等，
因为AB＝CD，
所以此时点P满足S△PAB＝S△PCD．
组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）
故选：D．
5．【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BCEF＝×5×2＝5，
故选：C．
6．【解答】解：A、画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误；
B、延长线段AB到C，则AC＞BC，即AC＝BC不可能，错误；
C、作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确；
D、画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误．
故选：C．
7．【解答】解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA＝PQ，
∵∠AOP＝∠MON＝30°，
∴OP＝2，
∴PQ＝2，
故选：C．
8．【解答】解：由垂线段最短可得PN⊥OB时，PN最短，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，
∴PN＝PM＝3，
即线段PN的最小值是3．
故选：B．
9．【解答】解：过点D作DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝2，
∴S△ABD＝ABDE＝×8×2＝8．
故选：C．
10．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAP＝∠PAB，∠ABP＝∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP＝90°，
∴AP⊥BP，故结论①正确；
∵AP平分∠DAB，
∴点P到AD，AB的距离相等，
∵BP平分∠ABC，
∴点P到AB，BC的距离相等，
∴点P到AD，BC的距离相等，故结论②正确；
如图，延长AP，与BC的延长线交于点E．
在△APB和△EPB中，
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴AP＝EP．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECP，∠DAP＝∠E．
在△APD和△EPC中，
，
∴△APD≌△EPC（AAS），
∴PD＝PC，AD＝EC，故结论③正确；
∵AP＝EP，BP⊥AE，
∴BP是AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，
∵BE＝EC+BC，AD＝EC，
∴AD+BC＝AB，故结论④正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】
解：过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝5，
∴DF＝DE＝5，
即D到AB的距离是5，
故答案为：5．
12．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵D（0，﹣3）
∴OD＝3，
∵AD是Rt△OAB的角平分线，OD⊥OA，DE⊥AB，
∴DE＝OD＝3，
∴S△ABD＝ABDE＝×10×3＝15．
故答案为：15．
13．【解答】解：过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，
∴CE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴BE＝EF，
∴AE是∠BAD的平分线，
∵∠CED＝35°，
∴∠AEB＝90°﹣∠CED＝90°﹣35°＝55°，
∵∠B＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35°．
14．【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE，AC＝AE，
∴DA平分∠CDE，故②正确；
BE+AC＝BE+AE＝AB，故④正确；
∵∠BAC+∠B＝90°，
∠BDE+∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BDE，故⑤正确；
∵∠ADE+∠BAD＝90°，而∠BAD≠∠B，
∴∠BDE≠∠ADE，
∴DE平分∠ADB错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
15．【解答】解：如图，过点P作PN⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别为点N、Q，
∵PB、PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴PN＝PM，PQ＝PN，
∴PQ＝PM，
∵PM＝6cm，
∴PQ＝6cm，
即点P到AB的距离为6cm．
故答案为：6cm．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD＝∠1+∠EDC，
∵∠1＝90°﹣∠EDC，
∴∠BAD+90°＝90°﹣∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
延长DB至F，使BF＝BD，
则AB垂直平分DF，
∴∠BAD＝∠DAF，AD＝AF，
∴∠DAF＝∠EDC，∠2＝∠F，
在△ADF中，∠F+∠DAF＝∠1+∠EDC，
∴∠1＝∠F，
∴∠1＝∠2；
（2）在△AED和△ACF中，
，
∴△AED≌△ACF（AAS），
∴ED＝CF，
∵CF＝BC+BF＝BC+DB，
∴ED＝BC+BD．
17．【解答】证明：∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠CDF＝∠BEF＝90°，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴DF＝EF，
∴点F在∠A的平分线上．
18．【解答】解：（1）角平分线上的点到该角两边的距离相等；
（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在△PDO和△PEO中，，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE．
19．【解答】解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝15°，∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°，
∴∠BEC＝∠ADC；
（2）相等，
理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°，
∴∠GFE＝15°，
∴∠GEF＝75°＝∠HDF，
在△DHF和△EGF中，
，
∴△DHF≌△EGF（AAS），
∴FE＝FD；
（3）成立．
理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC＝60°，
∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，
∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°．
又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM＝∠NFE，
在△DMF和△ENF中