人教版九年级下册数学 28.2解直角三角形及其应用 同步练习（Word版含解析）

28.2解直角三角形及其应用
同步练习
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（　　）
A．15°
B．20°
C．30°
D．60°
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（　　）
A．3米
B．米
C．2米
D．3米
5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．6.29
B．4.71
C．4
D．5.33
6．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（　　）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）
A．27
B．28
C．29
D．30
8．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）
A．（100+100?sinα
）米
B．（100+100?tanα
）米
C．（100+）米
D．（100+）米
9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（　　）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）
A．39.3
B．37.8
C．33.3
D．25.7
10．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（　　）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．9.5米
B．9.6米
C．9.7米
D．9.8米
二．填空题
11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是　
　．
12．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为　
　．
13．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了　
　平方米．
14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为　
　千米．
15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为　
　．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段CD的长；
（2）sin∠BAC的值．
17．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．
（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．
（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．
18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，
∴cosB＝＝，
∴∠B＝30°，
故选：C．
2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝＝．
故选：A．
3．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，
由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，
∵S△ABC＝AB?CD＝BC?AE，
∴AE＝＝＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴cos∠ACB＝＝＝，
故选：B．
4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：
∵BC：AC＝1：3，
即1：AC＝1：3，
∴AC＝3（米），
∴AB＝＝＝（米），
即物体从A到B所经过的路程为米，
故选：B．
5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，
∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，
∵坡面DE的坡度为1，
∴＝1，
∴DM＝EM＝1＝FC，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，
∵tan∠DAF＝≈0.75，
设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，
在Rt△ABC中，
∵tan∠B＝，
∴tan37°＝≈0.75，
解得x＝≈6.29（米），
故选：A．
6．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，
∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，
∴AB＝＝＝5x，
∴A′B′＝AB＝5x．
∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，
∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，
解得x＝1，
∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，
∴cosβ＝．
故选：A．
7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，
由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，
在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，
∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，
在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，
∴AF＝FE?tan24°≈84×0.45＝37.8（米），
∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；
即建筑物AB的高度为28米；
故选：B．
8．解：在Rt△ABC中，，
∴BC＝AB?tanα，
在Rt△ABD中，tan45°＝，
∴BD＝AB?tan45°＝AB，
∴CD＝a＝BC+BD＝AB?tanα+AB＝（100+100?tanα
）米，
故选：B．
9．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，
∴设BF＝k，则CF＝k，
∴BC＝2k．
又∵BC＝12，
∴k＝6，
∴BF＝6，CF＝6，
∵DF＝DC+CF，
∴DF＝40+6
在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，
∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），
∵BH＝BF﹣FH，
∴BH＝6﹣1.5＝4.5．
∵AB＝AH﹣HB，
∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．
答：大楼AB的高度约为33.3米．
故选：C．
10．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：
则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，
∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，
在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，
∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），
∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，
∴AT＝TC，
设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，
在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，
∴＝0.75，
解得：x＝11.2，
∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），
故选：D．
二．填空题
11．解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：
∵DB＝CK＝2，DB∥CK，
∴四边形CDBK是平行四边形，
∴CD∥BK，
∴∠AOC＝∠ABK，
过点K作KH⊥AB于H．
∵AB＝＝，S△ABK＝?AK?4＝?AB?KH＝20，
∴HK＝＝，
∵BK＝＝2，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，
故答案为：．
12．解：如图作PH⊥x轴于H．
∵P（6，8），
∴OH＝6，PH＝8，
∴OP＝＝10，
∴cosα＝＝＝．
故答案为：．
13．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，
∴＝0.75，
解得，BC＝3，
∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，
∴CD＝8，
∴BD＝DC﹣BC＝5，
∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），
故答案为：10．
14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA＝90°，∠PAC＝30°，
∵AP＝12千米，
∴PC＝6千米，AC＝6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，
∴∠PBC＝60°，
∴BC＝＝＝2千米，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），
故答案为：4千米．
15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．
由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan30°＝，
即＝，
∴AE＝30，
∵AB＝57，
∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝57﹣30．
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°．
∴DF＝CF＝57﹣30，
∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．
答：教学楼BC高约（30﹣27）米．
故答案为：（30﹣27）米．
三．解答题
16．解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠D＝90°，
在Rt△ABD中，
∵sinB＝．
∴＝，
又∵AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝＝9，
又∵BC＝4，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；
答：线段CD的长为5；
（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵S△ABC＝BC?AD＝AB?CE
∴×4×12＝×15×CE，
∴CE＝，
在Rt△AEC中，
∴sin∠BAC＝＝＝，
答：sin∠BAC的值为．
17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，
∴BC＝＝＝5米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，
∴BD＝AB＝15米，
∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，
∴CD的长为17.32米；
（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，
而10÷2≈8.66＞，
∴汽车超速．
18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，
设PC＝x，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC＝30°，
∴BC＝PC＝x，
∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，
在Rt△PAC中，
∵∠PAC＝22°，
∴tan∠PAC＝，即＝，
解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，
∵16＜16，
∴有危险．
如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，
在Rt△PBD中，
∵sin∠PBD＝＝＝，
∴∠PBD＝45°，
∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，
即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．