沪科版九年级数学上册21.2二次函数的图象和性质中考题汇编（Word版 含答案）

沪科版九年级数学上册二次函数的图象和性质中考题汇编（含答案）
10
一、
选择题
1.
(2019·衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是(　　)
A.
(1，3)
B.
(1，－3)
C.
(－1，3)
D.
(－1，－3)
2.
(2019·重庆)抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是(　　)
A.
直线x＝2
B.
直线x＝－2
C.
直线x＝1
D.
直线x＝－1
3.
(2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为(　　)
A.
－2
B.
－4
C.
2
D.
4
4.
(2019·兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(　　)
A.
2>y1>y2
B.
2>y2>y1
C.
y1>y2>2
D.
y2>y1>2
5.
(2019·哈尔滨)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为(　　)
A.
y＝2(x＋2)2＋3
B.
y＝2(x－2)2＋3
C.
y＝2(x－2)2－3
D.
y＝2(x＋2)2－3
6.
(2019·西藏)要得到函数y＝－(x－1)2＋1的图象，可以把函数y＝－x2的图象(　　)
A.
向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
B.
向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.
向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.
向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
7.
(2019·百色)要得到抛物线y＝x2＋6x＋7，可把抛物线y＝x2(　　)
A.
先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
B.
先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度
C.
先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
D.
先回右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
8.
(2019·雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法错误的是(　　)
A.
y的最小值为1
B.
图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2
C.
当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D.
它的图象可以由y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
9.
(2019·淄博)将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是(　　)
A.
a>3
B.
a<3
C.
a>5
D.
a<5
10.
(2019·河池)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是(　　)
A.
ac<0
B.
b2－4ac>0
C.
2a－b＝0
D.
a－b＋c＝0
11.
(2019·成都)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，下列说法正确的是(　　)
A.
c<0
B.
b2－4ac<0
C.
a－b＋c<0
D.
图象的对称轴是直线x＝3
12.
(2019·沈阳)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A.
abc<0
B.
b2－4ac<0
C.
a－b＋c<0
D.
2a＋b＝0
13.
(2019·娄底)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①
abc<0；②
b2－4ac<0；③
2a>b；④
(a＋c)2A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
14.
(2019·鄂州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.
下列结论：①
abc<0；②
3a＋c>0；③
(a＋c)2－b2<0；④
a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中结论正确的个数为(　　)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
15.
(2019·通辽)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．有下列结论：①
abc<0；②
c＋2a<0；③
9a－3b＋c＝0；④
a－b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤
4ac－b2<0.其中错误结论的个数是(　　)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
16.
(2019·葫芦岛)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是(　　)
17.
(2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
18.
(2019·湖州)已知a，b是非零实数，|a|>|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是(　　)
19.
(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为(　　)
A.
，－
B.
5，－6
C.
－1，6
D.
1，－2
20.
(2019·贵阳)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y＝x＋上，若抛物线y＝ax2－x＋1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是(　　)
A.
a≤－2
B.
a<
C.
1≤a<或a≤－2
D.
－2≤a<
21.
(2019·玉林)如图，抛物线C：y＝(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m的值为(　　)
A.
±4
B.
±2
C.
－2或2
D.
－4或4
22.
(2019·宜宾)已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下列结论不正确的是(　　)
A.
存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B.
存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C.
任意实数k，使得△ABC都为直角三角形
D.
存在实数k，使得△ABC为等边三角形
23.
(2019·福建)若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过不同的五点A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A.
y1B.
y1C.
y3D.
y224.
(2019·资阳)如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是(　　)
A.
m≥1
B.
m≤0
C.
0≤m≤1
D.
m≥1或m≤0
25.
(2019·岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1<1A.
c<－3
B.
c<－2
C.
c<
D.
c<1
二、
填空题
26.
(2019·哈尔滨)二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是________．
27.
(2019·荆州)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．
28.
(2019·白银)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为____________．
29.
(2019·凉山州)将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移________个单位长度后经过点A(2，2)．
30.
(2019·宜宾)将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______________．
31.
(2019·广元)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)，(0，2)，且顶点在第一象限，设M＝4a＋2b＋c，则M的取值范围是__________．
32.
(2019·天水)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M________N(填“>”“<”或“＝”)．
33.
(2019·荆门)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1abc>0；②
3a＋c<0；③
a(m－1)＋2b>0；④
当a＝－1时，存在点P使△PAB为直角三角形．其中正确的为________(填序号)．
34.
(2019·镇江)已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是________．
35.
(2019·内江)若x，y，z为实数，且则代数式x2－3y2＋z2的最大值是________．
36.
(2019·雅安)函数y＝的图象如图所示．若直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为__________．
37.
(2019·大庆)如图，抛物线y＝x2(p>0)，点F(0，p)，直线l：y＝－p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O.若A1F＝a，B1F＝b，则△A1OB1的面积为________(只用a，b表示)．
38.
(2019·衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知点A的坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下去，则点A2
019的坐标为____________．
三、
解答题
39.
(2019·宁波)如图，二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．
(1)
求a的值和图象的顶点坐标．
(2)
点Q(m，n)在该二次函数图象上．
①
当m＝2时，求n的值；
②
若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
第39题
40.(2019·永州)如图，抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)，且其对称轴为直线x＝－1.
(1)
求此抛物线对应的函数解析式；
(2)
若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
第40题
41.
(2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)
求k，a，c的值；
(2)
过点A(0，m)(042.(2019·台州)已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)
求b，c满足的关系式；
(2)
设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
(3)
若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
43.(2019·南通)已知二次函数y＝x2－4x＋3a＋2(a为常数)．
(1)
请写出该二次函数的三条性质；
(2)
在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，求a的取值范围．
44.(2019·北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
(1)
求点B的坐标(用含a的式子表示)；
(2)
求抛物线的对称轴；
(3)
已知点P，Q(2，2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
45.(2019·天门)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．
(1)
若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
(2)
当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
(3)
若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
46.(2019·上海)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2x，其顶点为A.
(1)
写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
(2)
我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①
试求抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标；
②
平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线对应的函数解析式．
第46题
47.(2019·河北)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴的右交点为D.
(1)
若AB＝8，求b的值，并求此时抛物线L的对称轴与直线a的交点坐标；
(2)
当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)
设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；
(4)
在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2
019和b＝2
019.5时“美点”的个数．
第47题
参考答案
一、
A　
C　
B　
A　
B　
C　
A　
C　
D
C　
D　
D　
A　
C　
A　
D　
D
D　
D　
C　
A　
D　
D　
C　
B
二、
8　
7　
y＝(x－2)2＋1　
3　
y＝2(x＋1)2－2　
－6<　
②③　
　
26　
0　
(－1
010，1
0102)
三、
(1)
把点P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3中，得3＝4－2a＋3，解得a＝2.∴
二次函数的解析式为y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2.∴
顶点坐标为(－1，2)　(2)
①
当m＝2时，n＝(2＋1)2＋2＝11　②
∵
点Q到y轴的距离小于2，∴
|m|<2.∴
－2结合图象可知，n的取值范围为2≤n<11
(1)
∵
抛物线的对称轴是直线x＝－1，且经过点A(－3，0)，∴
由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(1，0)．设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)(x＋3)，把B(0，3)代入，得3＝－3a，解得a＝－1.∴
抛物线对应的函数解析式为y＝－x2－2x＋3　(2)
设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，∵
点A(－3，0)，B(0，3)在直线y＝kx＋b上，∴
解得∴
直线AB对应的函数解析式为y＝x＋3.过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M，设P(x，－x2－2x＋3)，则M(x，x＋3)，∴
PM＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x.∴
S△PAB＝(－x2－3x)×3＝－(x＋)2＋.当x＝－时，S△PAB有最大值，为，此时点P的纵坐标为－－2×＋3＝，∴
△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为
(1)
根据题意，得二次函数y＝ax2＋c的图象的顶点坐标为(0，c)．将点(0，c)，(1，2)代入一次函数的解析式，得解得将点(1，2)代入y＝ax2＋4，得2＝a＋4，解得a＝－2.∴
k的值为－2，a的值为－2，c的值为4　(2)
由(1)可知，二次函数的解析式为y＝－2x2＋4.令y＝m，得2x2＋m－4＝0，解得x＝±.设B，C两点的坐标分别为(x1，m)，(x2，m)，则BC＝|x1－x2|＝2.∴
W＝OA2＋BC2＝m2＋4×＝m2－2m＋8＝(m－1)2＋7.∵
0当m＝1时，W有最小值，为7
(1)
将点(－2，4)代入y＝x2＋bx＋c，得4＝4－2b＋c，即－2b＋c＝0，∴
c＝2b　(2)
根据题意，得m＝－，n＝.∴
b＝－2m.又由(1)知，c＝2b，∴
c＝－4m.∴
n＝＝＝－m2－4m　(3)
如图，由(2)的结论，画出函数y＝x2＋bx＋c和函数y＝－x2－4x的图象．∵
函数y＝x2＋bx＋c的图象不经过第三象限，∴
－4≤－≤0.①
当－4≤－≤－2，即4≤b≤8时，如图①.当x＝1时，函数取到最大值，为1＋3b；当x＝－时，函数取到最小值，为.∴
1＋3b－＝16，即b2＋4b－60＝0，解得b1＝6，b2＝－10(不合题意，舍去)．②
当－2<－≤0，即0≤b<4时，如图②.当x＝－5时，函数取到最大值，为25－3b；当x＝－时，函数取到最小值，为，∴
25－3b－＝16，即b2－20b＋36＝0，解得b1＝2，b2＝18(不合题意，舍去)．综上所述，b的值为2或6
(1)
答案不唯一，如①
图象开口向上；②
图象的对称轴为直线x＝2；③
当x＞2时，y随x的增大而增大　(2)
∵
二次函数的图象与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，∴
x2－4x＋3a＋2＝2x－1，即x2－6x＋3a＋3＝0.∴
Δ＝36－4(3a＋3)＝－12a＋24＞0，解得a＜2.∵
二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，∴
二次函数y＝x2－6x＋3a＋3的图象与x轴x≤4的部分有两个交点．结合图象(图略)可知，当x＝4时，x2－6x＋3a＋3≥0.∴
当x＝4时，x2－6x＋3a＋3＝3a－5≥0，解得a≥.∴
当二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点时，a的取值范围为≤a＜2
(1)
由题意，得A，又∵
将点A向右平移2个单位长度，得到点B，∴
B　(2)
∵
点A与点B关于直线x＝1对称，点A，B均在抛物线上，∴
抛物线的对称轴为直线x＝1　(3)
①
当a>0时，则－<0.结合图象(图略)可知，此时线段PQ与抛物线没有交点．②
当a<0时，则－>0.结合图象(图略)可知，此时－≤2，解得a≤－.综上所述，当a≤－时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点
(1)
将点A(－3，－3)，B(1，－1)代入y＝kx＋b，得解得∴
直线l对应的函数解析式为y＝x－.联立y＝ax2＋2x－1与y＝x－，得2ax2＋3x＋1＝0.∵
抛物线C与直线l有交点，∴
Δ＝9－8a≥0，解得a≤.又∵
a≠0，∴
a的取值范围为a≤且a≠0　(2)
根据题意，得二次函数的解析式为y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2.∵
－1<0，∴
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1.∵
当m≤x≤m＋2时，y有最大值－4，∴
当y＝－4时，有－(x－1)2＝－4，解得x＝－1或x＝3.①
当x<1时，y随x的增大而增大，∴
当x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，此时m＝－3；②
当x>1时，y随x的增大而减小，∴
当x＝m＝3时，y有最大值－4.综上所述，m的值为－3或3　(3)
≤a<或a≤－2
(1)
对于抛物线y＝x2－2x＝(x－1)2－1，其开口向上，顶点A的坐标为(1，－1)；当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小　(2)
①
设抛物线“不动点”坐标为(t，t)，则t＝t2－2t.解得t＝0或3.∴
“不动点”的坐标为(0，0)或(3，3)　②
∵
新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B(m，m)，∴
新抛物线的对称轴为直线x＝m，与x轴的交点C的坐标为(m，0)．∵
四边形OABC是梯形，∴
直线x＝m在y轴左侧．∵
BC与OA不平行，∴
OC∥AB.又∵
点A的坐标为(1，－1)，点B的坐标为(m，m)，∴
m＝－1.∴
新抛物线是由抛物线y＝x2－2x向左平移2个单位长度得到的．∴
新抛物线对应的函数表达式为y＝(x＋1)2－1
(1)
当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴
点B的坐标为(0，－b)．∵
AB＝8，而点A的坐标为(0，b)，∴
b－(－b)＝8.解得b＝4.∴
抛物线L对应的函数解析式为y＝－x2＋4x.∴
抛物线L的对称轴为直线x＝2.当x＝2时，y＝x－4＝－2.∴
抛物线L的对称轴与直线a的交点坐标为(2，－2
)　(2)
∵
y＝－x2＋bx＝－＋，∴
抛物线L的顶点C的坐标为.∵
点C在l下方，∴
C与l的距离为b－＝－(b－2)2＋1≤1.∴
点C与l距离的最大值为1　(3)
由题意，得y3＝，即y1＋y2＝2y3，得b＋x0－b＝2(－x＋bx0)．解得x0＝0或x0＝b－.但x0≠0，取x0＝b－.对于L，当y＝0时，得0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)．解得x1＝0，x2＝b.∵
b＞0，∴
右交点D的坐标为(b，0)．∴
点(x0，0)与点D间的距离为b－＝　(4)
①
当b＝2
019时，抛物线L对应的函数解析式为y＝－x2＋2
019x，直线a对应的函数解析式为y＝x－2
019.联立上述两个解析式，可得x1＝－1，x2＝2
019.∴
可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且－1和2
019之间(包括－1和－2
019)共有2
021个整数．∵
另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴
线段和抛物线上各有2
021个整数点．∴
总计4
042个整数点．∵
这两段图象交点有2个点重复，∴
美点”的个数为4
042－2＝4
040；②
当b＝2
019.5时，抛物线L对应的函数解析式为y＝－x2＋2
019.5x，直线a对应的函数解析式为y＝x－2
019.5.联立上述两个解析式，可得x1＝－1，x2＝2
019.5，∴
当x取整数时，在一次函数y＝x－2
019.5上，y取不到整数值．∴
在该图象上“美点”的个数为0.∵
在二次函数y＝x2＋2
019.5x的图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知－1到2
019.5之间有1
010个偶数，∴
“美点”共有1
010个．综上所述，当b＝2
019时，“美点”的个数为4
040；当b＝2
019.5时，“美点”的个数为1
010