2020年江苏省海安市实验中学高二数学周练试题（12月4日）（Word含解析）

海安市实验中学高二数学周练（八）试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．设集合M＝，N＝，则MN＝(
)
A．{1}
B．(0，1]
C．[0，1]
D．(，1]
2．若椭圆的焦距为2，则实数的值为(
)
A．5
B．2
C．2或9
D．5或7
3．函数的部分图象大致为(
)
4．已知函数?为自然对数的底数，若，则(
)
A.
B.
C.
D.
5．已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝，，，若，则＝(
)
A．
B．
C．
D．
6.中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为(
)
A．50
B．60
C．70
D．80
7．正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是,灯深,则光源到反光镜顶点的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
8．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于
(
)
A．9
B．10
C．11
D．12
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知a＞0，b＞0，且a2＋b2＝2，则下列不等式中一定成立的是
(
)
A．ab≤1
B．≤2
C．≤1
D．a＋b≤2
10．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是
(
)
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为
11．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是
(
)
A．MN∥平面A1BD
B．平面MNB截长方体所得截面的面积为
C．直线BN与B1M所成角为60°
D．三棱锥N—A1DM的体积为4
12．在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列
对“等方差数列”的判断正确的是（
）
A.
若是等差数列，则是等方差数列
B.
是等方差数列
C.
若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D.
若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．命题“”的否定是
▲
。
14．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数=
▲
。
15．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为
▲
。
16．四棱锥P—ABCD各顶点都在球心为O的球面上，且PA平面ABCD，底面ABCD为
矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，则球O的体积是
▲
；设E、F分别是PB、BC中点，则平面AEF被球O所截得的截面面积为
▲
。
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
据海安市地产数据研究显示，2020年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，市政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的控制.
（1）地产数据研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程；
（2）若政府不调控，依此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价.
参考数据及公式：，，，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
18.（本小题满分12分）
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足______．
求角B；若，且外接圆的直径为2，求的面积．
19.（本小题满分12分）
已知直线与椭圆交于两点.
（1）在，条件下，求的面积的最大值；
（2）当，时，求直线的方程.
（本小题满分12分）
已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB，BC的中点，
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
21.（本小题满分12分）
某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：
假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为m0，以潜伏期时间m0为一个传染周期；
假设2、记r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；
假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即r0不变.
（1）第一模型：无干预模型.在上述模型假设中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，…，请问9天后感染总人数是多少？
（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：
假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；
假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；
在第二模型中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？（参考数据：，，，，，，）.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上两点（异于顶点），且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值；
（3）设直线与椭圆交于两点（直线不过顶点），且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.
海安市实验中学高二数学周练（八）答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M＝，N＝，则MN＝(
)
A．{1}
B．(0，1]
C．[0，1]
D．(，1]
答案：C
2．若椭圆的焦距为2，则实数的值为(
)
A．5
B．2
C．2或9
D．5或7
答案：D
解析：9﹣(m＋3)＝±1，解得m＝5或7．
3．函数的部分图象大致为(
)
答案：D
4．已知函数?为自然对数的底数，若，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
5．已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝，，，若，则＝
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6．2．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为
。
A．50
B．60
C．70
D．80
【答案】C
【解析】设每个月的收入为等差数列{an}．公差为d．则a3=25，S12=510．∴a1+2d=25，12a1+d=510，解得a1=15，d=5，
7．正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是,灯深,则光源到反光镜顶点的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先设出抛物线的标准方程,把点代入抛物线方程求得,即光源到反射镜顶点的距离,即可求得答案.
【详解】设抛物线方程为,
灯口直径是,灯深
点在抛物线上
光源到反射镜顶点的距离为.
故选:
A.
8．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于
(
)
A．9
B．10
C．11
D．12
答案：D
解析：，，
当1≤n≤13时，＞0；当n≥14时，＜0，
又，故当n＝12时，取得最大值．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知a＞0，b＞0，且a2＋b2＝2，则下列不等式中一定成立的是
(
)
A．ab≤1
B．≤2
C．≤1
D．a＋b≤2
答案：AD
解析：，，，．
10．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是
(
)
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为
答案：ACD
解析：设双曲线方程为：，双曲线C过点，，
即，所以双曲线C的方程为，A正确；
，故B错误；
曲线经过点(2，0)，该点为双曲线的右焦点，故C正确；
焦点到渐近线的距离为1，故D正确．故选ACD．
11．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是
(
)
A．MN∥平面A1BD
B．平面MNB截长方体所得截面的面积为
C．直线BN与B1M所成角为60°
D．三棱锥N—A1DM的体积为4
答案：ACD
12．在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（
）
A.
若是等差数列，则是等方差数列
B.
是等方差数列
C.
若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D.
若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；
对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；
对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，
则，
由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，
则对任意的恒成立，则，得，
此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．已知，则曲线在点处的切线方程为
▲
。
【答案】
解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变为存在量词，其次否定结论．
14．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数=
▲
。
【解析】因为，，，所以，，，
所以，，
所以使前项和成立的最大正整数是
15．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为
▲
．
答案：
解析：由题意知点(，)在椭圆上，所以，，
，．
16．四棱锥P—ABCD各顶点都在球心为O的球面上，且PA平面ABCD，底面ABCD为
矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，则球O的体积是
▲
；设E、F分别是PB、BC中点，则平面AEF被球O所截得的截面面积为
▲
．
答案：,
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
据海安市地产数据研究显示，2020年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，市政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的控制.
（1）地产数据研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程；
（2）若政府不调控，依此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价.
参考数据及公式：，，，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】（1）y=0.064x+0.752,(2)1.52
18.（本小题满分12分）
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足______．
求角B；
若，且外接圆的直径为2，求的面积．
【答案】解：选，由正弦定理得，
，，即，?
，，?，?
选，，，
由正弦定理可得，，，?，??
选，，
由已知结合正弦定理可得，
，，?，??
设的外接圆半径为R，则，，?
由余弦定理得，即，
所以?，所以的面积为：??
19.（本小题满分12分）
已知直线与椭圆交于两点.
在，条件下，求的面积的最大值；
当，时，求直线的方程.
解：当时，，所以两点关于轴对称，设，
所以，所以
所以，当且仅当，即，等号成立，
所以的面积的最大值为1
当时，设
，得所以，
所以
又因为所以，所以，所以直线的方程为
20.
已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB，BC的中点，
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
20.
解：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF＝，DF＝，
又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD
，所以是与平面所成的角．
又有已知得，所以，所以．
设平面的法向量为，由
得，令，解得：．所以．
又因为，所以是平面的法向量，易得，
所以．由图知，所求二面角的余弦值为．
21.（本小题满分12分）
某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：
假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为m0，以潜伏期时间m0为一个传染周期；
假设2、记r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；
假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即r0不变.
（1）第一模型：无干预模型.在上述模型假设中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，…，请问9天后感染总人数是多少？
（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：
假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；
假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；
在第二模型中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？（参考数据：，，，，，，）.
解：（1）记为天后感染总人数，
则，，所以
答：9天后感染总人数是1207万人
注：若用递推关系得，求通项公式得最终结果同样得分
（2）记为第天收入医院的人数
所以，，由题易得为首项为1，公比为1.2的等比数列
所以
若天后总感染人数超过1000万
即
所以
所以
又因为，
所以，所以
答：29天后感染总人数将超过1000万
22.（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上两点（异于顶点），且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值；
（3）设直线与椭圆交于两点（直线不过顶点），且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.
解：由题得，所以
所以椭圆的标准方程为
设
设直线，直线
，所以，同理得
点到直线的距离，
所以
平方得，所以
（3）设，
直线的斜率存在时，设直线
，得，所以
由题得，所以
化简得
代入韦达定理得，
所以或
当时，，定点为，为右顶点（舍）。
当时，，定点为，满足题意
直线的斜率不存在时，设直线
，所以（不妨设在第一象限）
又因为，所以
化简得，所以，所以或（舍）
所以，直线过点，综上（i）（ii）所得直线过定点