广东省普宁市七校联合体2021届高三第二次联考试卷（11月）

七校联合体2021届高三第二次联考试卷（11月）
数
学
命题学校：普宁第二中学
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷、草稿纸或答题卡的非答题区上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
1．选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知U为全集R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|2A．
{x|3≤x<4}
B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|2D．{x|－12.
若复数，其中是虚数单位，则共轭复数在复平面上的坐标在（
）。
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3.
在等差数列中，若，，则和的等比中项为（
）。
A．-6
B．
6
C．
D．
36
4.
若，则(　　)。
A
.b>c>a
B.b>a>c
C．a>b>c
D.
c>b>a
5.已知抛物线(p>0)，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A
.
x＝－2
B.
x＝-4
C．y＝－2
D.
y＝-4
6.
伟大的法国数学家笛卡儿创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形中，是线段上的点，，，则（
）。
A．3
B．6
C．9
D．12
7．如图，点P在以为直径的半圆弧上，点P沿着BA运动，记．将点P到A、B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为（
）。
A．B．
C.
D.
8.
已知函数，当函数的图像分别位于直线y=1的两侧时，n的最大值为（
）。
A.1
B.2
C.3
D.4
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，漏选的得3分，错选或不选的得0分。
9.设函数，则下列结论正确的是（
）。
A.
是偶函数
B.
的最小正周期是
C.
图像关于点中心对称
D.
在区间上是增函数
10.
下列结论不正确的是（
）。
A.已知f(x)＝lg(＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是
(－1,1)
。
B.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是[－2,1]。
C.已知直线a,b和平面，若,,则“”是“”的必要不充分条件。
D.若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin
θ＝m，则cos
θ＝－。
11.
把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为N种，则N的值不可能为(　　)。
A．18
B．24
C.36
D．48
12.已知点M是双曲线方程：的右支上的一点，分别是双曲线的左右焦点，且,双曲线的右顶点为A，则下列说法正确的是（
）。
A.
B.
双曲线的渐近线方程为
C.
的内切圆与x轴相切于点A
D.
第Ⅱ卷
三、填空题:（共4小题每小题5分，第16题共两空答对一空得3分，答对两空得5分）
13.在△ABC中，若sin
A＋cos
A＝,则sin
2A=________。
14.若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________。
15.在的展开式中，含项的系数为________。
16.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=,PB=AC=,PC=AB=,则异面直线PC与AB所成的角的余弦值
，三棱锥P-ABC的体积等于
。
四、解答题:本题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分10分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.
问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，，，点，是边上的两个三等分点，，____________；
（1）求的长
（2）求外接圆半径.
18.
（本小题满分12分）
已知数列（，为数列的前n项和，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，求
的值。
19.
（本小题满分12分）
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值。
20.（本小题满分12分）
美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：
（1）求百度外卖公司的“骑手”一日工资（单位：元）与送餐单数的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①记百度外卖的“骑手”日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；
②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由。
21.
（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的
弦长为1。
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，
求四边形的面积。
22.
（本小题满分12分）
已知函数。
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围。
校联合体2021届高三第二次联考试卷（11月）
数学答案
一、填空题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
D
D
B
C
B
二、多选题
9
10
11
12
AD
ABC
ABD
ABCD
三、填空题
（13）
（14）（15）6
.（16）
,
2
四、解答题:本题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．
17.(1)
解：若选择条件①
因为，所以，………………………………………
1分
设，所以；又，，…………………………………
2分
所以在中，，
即，
即：，
所以或-4（舍去）
.
………………………………………
4分
在中，，
所以，………………………………………
5分
若选择条件②
因为点，是边上的三等分点，且，
所以，………………………………………
2分
因为，所以，
所以，所以.………………………………………
4分
在中，，
所以，………………………………………
5分
若选择条件③
设，则，
在中，
，
…………………………………
1分
同样在中，
，………………………………………
2分
因为，所以，
所以，………………………………………
3分
在中，，
所以，………………………………………
5分
(2)，
………………………………………
6分
所以，………………………………………
7分
由正弦定理可得：，
………………………………………
9分
所以外接圆半径为.………………………………………
10分
18.解：（1）由a＋an＝2Sn，
∴a＋an＋1＝2Sn＋1………………………………………
1分
即
(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．………………………………………
2分
由an>0，可得an＋1－an＝1.
………………………………………
3分
又a＋a1＝2a1，
解得a1＝0(舍去)或a1＝1.
………………………………………
4分
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为an＝n.
………………………………………
5分
（2）………………………………………
6分
∴
①
②
………………………………………
7分
②①
…………………………………
8分
………………………………………
11分
………………………………………
12分
19（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，………………………………………
1分
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，………………………………………
2分
∴BC⊥平面ACD，………………………………………
3分
∵DC∥EB，DC＝EB，
∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，………………………………………
4分
∴DE⊥平面ACD，………………………………………
5分
又DE?平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE.
………………………………………
6分
（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，
以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），
∴（﹣2，2，0），（0，0，1），（0，2，0），（2，0，﹣1），………………………………………
7分
设平面DAE的法向量为（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为（x2，y2，z2），
则，，即，，
令x1＝1得（1，0，2），………………………………………
8分
令x2＝1得（1，1，0）.
………………………………………
9分
∴cos.………………………………………
10分
∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，………………………………………
11分
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为………………………………………
12分.
20解：（I）由题意可知，百度外卖公司的“骑手”一日工资（单位：元）与送餐单数，
当………………………………………
1分
当………………………………………
2分
∴函数关系
………………………………………
4分
（II）将频率视为概率，记百度外卖的“骑手”日工资为，则的所有可能取值为：
100,106,118,130；
………………………………………
5分
由条形图可知:X=100时频数为10+10=20，故P(X=100)=0.2,
X=106时，频数为30，P(X=106)=0.3
………………………………………6分
X=118时，频数为40
P(X=118)=0.4
X=130时，频数为10
P(X=130)=0.1………………………………………
7分
100
106
118
130
0.2
0.3
0.4
0.1
………………………………………
8分
（元）?………………………………………
9分
美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：………………………………
10分
所以美团外卖“骑手”日平均工资为：（元）………………………
11分
由知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元.
故推荐小明去美团外卖应聘.………
12分
21（Ⅰ）由已知可知，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1
取焦点为椭圆的右焦点，则弦所在的直线为x=c代入
椭圆得：
……………………………
2分
∴解得：；……………………………
4分
所以椭圆C的方程为：．………………………………………
5分
（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以，………
6分
设，则，即．………………
7分
则直线BM的方程为：，令，得；………………
8分
同理：直线AM的方程为：，令，得．……
9分
所以
………………
11分
即四边形ABCD的面积为2．………………………………………
12分
22解：（1）
………………
1分
若，，在上单调递减；………………………………
2分
若，当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增.
………
4分
综上：若，，在上单调递减；
若，即在上单调递减，，
在上单调递增.
………………………………
5分
（2）若，在上单调递减，
至多一个零点，不符合题意.
………………………………
6分
若，由（1）可知，的最小值为
令，，所以在上单调递增，
又，当时，，至多一个零点，不符合题意，……
7分
当时，
又因为，结合单调性可知在有一个零点
令，，………………………………
8分
当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以………………………………
9分
当时，
结合单调性可知有一个零点………………………………
11分
综上所述，若有两个零点，的范围是………………………………
12分
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