江苏省江浦高中2020-2021学年高二上学期数学检测（三）（11月） Word版含答案

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江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期高二数学检测（三）
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 命题“”的否定（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知命题使，命题，都有，给出下列结论： ①命题“”是真命题 ②命题“”是假命题 ③命题“”是真命题 ④“”是假命题，其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③
3. “”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 不必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 命题“,都有”的否定是( )
A. ,使得 B. ,使得
C. ,都有 D. ,都有
5. 已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等比数列的前项和为,若,,则( )
A. B. C. D.
7. 在等差数列中，，则数列前项和最大时，（ ）
A. B. C. D.
8. 在等差数列中,,,且,则使的前项和成立的中最大的自然数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 下列双曲线中,与共渐近线的是( )
A. B. C. D.
10. 已知抛物线的焦点为,圆与抛物线交于,两点,点为劣弧上不同于,的一个动点,过点作平行于轴的直线交抛物线于点,则下列四个结论中正确的是( )
A. 点P的纵坐标的取值范围是（2，5） B.｜PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离
C. 圆C的圆心到抛物线准线的距离为2 D. △PFN周长的取值范围是（8，10）.
11. 已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的( )
A.C的方程为 -y2=1 B. C的离心率为
C. 曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D. 直线x-y-1=0与C有两个公共点
12. （2019山东省实验中学高三月考）设分别是椭圆的左,右焦点,点在椭圆上,若为直角三角形,且,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 设,:,:,若是的充分不必要条件,则的值可以是 (只需填写一个满足条件的即可)
14. 在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为______.
15. 对于数列，定义数列满足：，且，，则__________.
16. 数列的前项和为,满足,设,则数列的前项和为__________.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 已知：不等式的解集是；：是减函数．若∨为真，∧为假，求的取值范围．
18. 设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列；求数列的通项公式．
19. 已知数列是首项，公比的等比数列，设数列满足，，数列满足． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的前项和．
20. 已知动点到两定点的距离之和为,且动点的轨迹曲线过点. (1)求的值; (2)若直线与曲线有不同的两个交点,且(为坐标原点),求的值.
21. 已知椭圆的离心率为,抛物线的准线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程; (2)如图,点,分别是椭圆的左顶点、左焦点,直线与椭圆交于不同的两点、(、都在轴上方).且.证明:直线过定点,并求出该定点的坐标.
22. 设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对的一个排列，只有两个逆序，则排列的逆序数为.记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数. （1）求，的值； （2）求的表达式（用表示）.
江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期高二数学检测（三）
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 命题“”的否定（ C）
A. B.
C. D.
解：根据存在性命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定为命题“”，故选C．
2. 已知命题使，命题，都有，给出下列结论： ①命题“”是真命题 ②命题“”是假命题 ③命题“”是真命题 ④“”是假命题，其中正确的是（D ）
A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③
解：∵，而，∴命题为假命题； ∵，∴恒成立，即命题为真命题． 所以“”是假命题；“”是假命题；“”是真命题；“”是真命题，所以正确的有②③，故D正确．选D
3. “”是“”的(B )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 不必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
解：由解得，所以“”是“”的充分不必要条件.选B
4. 命题“,都有”的否定是(B)
A. ,使得 B. ,使得
C. ,都有 D. ,都有
解：命题“,都有”的否定是:,使得.选B
5. 已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（D ）
A. B. C. D.
解：由题意得，，，即，，又因为，所以根据余弦定理求得.选D
6. 已知等比数列的前项和为,若,,则( D )
A. B. C. D.
解：,.
选D
7. 在等差数列中，，则数列前项和最大时，（C ）
A. B. C. D.
解：因为，即，故，所以. 故选C.
8. 在等差数列中,,,且,则使的前项和成立的中最大的自然数为(C)
A. B. C. D.
解：∵为等差数列,,,∴,又∵,∴即, 由,,故可得使的前项 和成立的中最大的自然数为.选C
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 下列双曲线中,与共渐近线的是(C,D )
A. B. C. D.
解：的渐近线方程为,经检验C,D符合题意. 选C,D
10. 已知抛物线的焦点为,圆与抛物线交于,两点,点为劣弧上不同于,的一个动点,过点作平行于轴的直线交抛物线于点,则下列四个结论中正确的是(B,C,D)
A. 点P的纵坐标的取值范围是（2，5） B.｜PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离
C. 圆C的圆心到抛物线准线的距离为2 D. △PFN周长的取值范围是（8，10）.
解：易知抛物线的焦点,准线方程为,圆的圆心与抛物线的焦点重合,半径,如图.A项,由消去,得,解得或(舍),数形结合可知劣弧上的点的纵坐标的取值范围是,故A项不正确;B项,因为点在抛物线上,所以过点作抛物线准线的垂线,垂足为,则由抛物线的定义可知,又直线与抛物线的准线垂直,所以,,三点共线,所以,故B项正确;C项,圆的圆心也是抛物线的焦点,所以圆到抛物线准线的距离为,故C项正确;D项,设点的纵坐标为,则由选项B可知,又抛物线的焦点就是圆的圆心,所以,所以的周长为,又,且当时,,,三点共线,不构成三角形,所以周长的取值范围是,所以D项正确.
选B,C,D
11. 已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的(A,C)
A.C的方程为 -y2=1 B. C的离心率为
C. 曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D. 直线x-y-1=0与C有两个公共点
解：设双曲线方程为代入得,即,A正确;,,,B错;焦点在上,C正确; 联立可得,只有个交点,D错. 选A,C
12. （2019山东省实验中学高三月考）设分别是椭圆的左,右焦点,点在椭圆上,若为直角三角形,且,则椭圆的离心率是(A,B )
A. B. C. D.
解：由,,得到, 当为直角时,,即,; 当为直角时,,即,.选A,B
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 设,:,:,若是的充分不必要条件,则的值可以是
（（0，1）的任意数均可） (只需填写一个满足条件的即可)
解：由得,所以:,又,:,若是的充分不必要条件,则,,所以,满足题意的(的任意数均可).
14. 在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为______.4
解：由等比数列性质得,∴,∴,, ∴.
15. 对于数列，定义数列满足：，且，，则__________.8
解：由知数列是公差为的等差数列，又， 所以，，解得.
16. 数列的前项和为,满足,设,则数列的前项和为__________.
解：由①,得时,,解得,时,②,由①②两式相减得:,即,∴,即是以为首项,以为公比的等比数列,∴.则,∴,则数列的前项和为.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 已知：不等式的解集是；：是减函数．若∨为真，∧为假，求的取值范围．
解：因为不等式的解集是，所以或，解得，即：. 又是减函数，所以，即：， 又∨为真，∧为假，所以和一真一假． 即为真，为假；或为假，为真． ∴或或，得或. ∴的取值范围是或.
18. 设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列；求数列的通项公式．
解：（1）当时，， 即，解得；
（2）由， 得，即，，，，数列是以为首项，为公比的等比数列；
（3）由（2）知，，即.数列是以为首项，为公差的等差数列，，即，数列的通项公式为.
19. 已知数列是首项，公比的等比数列，设数列满足，，数列满足． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的前项和．
解：（1）证明：由已知得，故数列为等差数列．
（2）解：，．
20. 已知动点到两定点的距离之和为,且动点的轨迹曲线过点. (1)求的值; (2)若直线与曲线有不同的两个交点,且(为坐标原点),求的值.
解：(1)依题意,即知:曲线是以两定点为焦点, 长半轴长为的椭圆,所以, 设曲线的方程为,代入点, 解得,由,解得,所以.
(2)由(1)知曲线的方程为, 设点,联立方程,消去得,,得,,, 则,得, 所以的值为.
21. 已知椭圆的离心率为,抛物线的准线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程; (2)如图,点,分别是椭圆的左顶点、左焦点,直线与椭圆交于不同的两点、(、都在轴上方).且.证明:直线过定点,并求出该定点的坐标.
解：(1)由题意可知,抛物线的准线方程为,又被椭圆截得弦长为, ∴点在椭圆上,∴,① 又,∴, ∴,②,由①②联立,解得,. ∴椭圆的标准方程为:,
(2)设直线,设,把直线代入椭圆方程,整理可得,,即, ∴,, ∵,∵、都在轴上方.且,∴, ∴,即, 整理可得,∴, 即,整理可得, 此时,且, ∴直线为,∴直线过定点.
22. （2018江苏）设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对的一个排列，只有两个逆序，则排列的逆序数为.记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数. （1）求，的值； （2）求的表达式（用表示）.
解：（1）记为排列的逆序数，对的所有排列，有， 所以. 对的排列，利用已有的的排列，将数字添加进去，在新排列中的位置只能是最后三个位置，因此，. 所以，，
（2）对一般的的情形，逆序数为的排列只有一个：，所以. 逆序数为的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以. 为计算，当的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此，. 当时，， 因此，当时，.