【A典学案】冲刺100分 九年级上专题复习第四讲 图形的相似课件（35张PPT）

第四讲 图形的相似
北师大版 九年级上册
知识清单
1．线段的比的定义
在同一单位长度下，两条线段_________的比叫做这两条线段的比．
2．成比例线段
四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即________，那么这四条线段 a，b，c， d 叫做成比例线段．
3．比例的性质
（1）比例的基本性质：如果 a∶b＝c∶d，那么________．
（2）合（分）比性质：若 ，则____________．
长度
ad＝bc
知识清单
（3）等比性质：若 ，且_______________，则_________________
4．平行线分线段成比例定理及推论
定理：两条直线被一组_________所截，所得的对应线段_________．
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段_________
5．相似多边形的定义
对应角_______，对应边________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形 ___________叫做相似比．
[注意]判定两个多边形相似，对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可
平行线
成比例
成比例
相等
成比例
对应边的比
知识清单
6．相似多边形的性质
相似多边形的对应角______，对应边______．周长的比等于______，面积的比等于_____________
7．相似三角形的定义
对应角______，对应边________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形
_____________ 叫做相似比．
8．相似三角形的判定方法
（1）_____________；（2）_____________；（3）_______________________．
相等
成比例
相似比
相似比的平方
相等
成比例
对应边的比
两角分别相等
三边成比例
两边成比例且夹角相等
知识清单
两个三角形相似，一般来说必须具备以下六种情形之一：
知识清单
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，问题即可得以解决．
9．黄金分割
黄金分割的意义：如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果
__________ ，那么称线段 AB被点 C 黄金分割．其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 和 AB 的比叫做__________，黄金分割的比值是一个定值，即 AC∶AB＝__________≈0.618．
黄金比
知识清单
10．相似三角形的性质
相似三角形的对应角_______，对应边_______．相似三角形的对应中线的比等于_______，对应高的比等于_______，对应角平分线的比等于_______，周长之比等于_______，相似三角形面积之比等于_________________．
11．测量物体的高度
（1）利用_____________的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度；
（2）测量的方法有三种：利用__________，利用__________，利用__________
12．位似图形的定义
相等
成比例
相似比
相似比
相似比
相似比
相似比的平方
三角形相似
阳光
标杆
镜子
知识清单
如果两个相似图形的每组对应点所在直线都相交于一点，那么这样的两个图形叫做__________，这个点叫做__________，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的__________．
13．位似图形的性质
位似图形的对应点和位似中心在_______________，它们到位似中心的距离之比等于__________．
位似图形
位似中心
位似比
同一直线上
位似比
典例精讲
类型之一 线段的比与黄金分割
【例 1】如图，在△ABC 中，DE∥BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，F 为 BC 上的一点，DE 交 A 于 点 G， ，AE＝5，求∶（1） ；（2）AC 的长．
变式训练
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝2，BC＝ －1，∠A＝36°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，试说明点D 是线段 AC 的黄金分割点．
变式训练
解：在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD．
∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝72°．
∴∠BDC＝∠C．
从而有BC＝BD＝AD＝ －1．
，即点D为线段AC的黄金分割点
典例精讲
类型之二 相似三角形的判定和性质
【例 2】如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，若∠BCD 的平分线 CH⊥AB 于点 H，BH＝3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求△HBC 的面积．
典例精讲
[解析]延长 BA，CD 交于点 P，
∵CH⊥AB，CH 平分∠BCD，∴∠B＝∠BPC．
∴CB＝CP，且 BH＝PH． ∵BH＝3AH，∴PA∶AB＝1∶2，
∴PA∶PB＝1∶3． ∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC．
∴S△PAD∶S△PBC＝1∶9．
∵S△PCH＝ S△PBC，∴S△PAD＝ S△PCH，
∴S△PAD∶S 四边形 AHCD＝2∶7． ∵S 四边形 AHCD＝21，∴S△PAD＝6． ∴S△HBC＝S△PCH＝27．
变式训练
2．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 沿 DA 从点 D 开始向点 A 以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 同时出发，用 t（s）表示运动时
间（0≤t≤6），那么 t 为何值时，以点 Q，A，P 为顶点的三角形与△ABC 相似？
变式训练
解：由题意，得AP＝2t，AQ＝6－t．
在矩形ABCD中，∠PAQ＝∠ABC＝90°．
（1）要使△PAQ∽△ABC，则需 ，即 ，解得t＝3．
（2）要使△PAQ∽△CBA，则需 ，即 ，解得t＝1.2．
∴t为1.2 s或3 s时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．
典例精讲
类型之三 构造相似三角形测量物体的高度
【例 3】数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为0.8 米．同时另一名同学测量这棵树的影子时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图 1），其影高为 1.2 米，落在地面上的影长为 2.4 米，则树高为多少米？
典例精讲
[解析]根据题意，画出如图 2 所示的图形，其中 AB 表示树高，CD 表示落在墙壁上的影子，延长 AC，BD 交于点 E，则 BE 是墙壁不遮挡时树的影长．由太阳光下物体的高度与影长成比例，可知
∴AB＝4.2（米）．
故树高为 4.2 米．
变式训练
3．一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：
①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为 34.54 米；
②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点 B 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点 A 看到坑底 S（甲同学的视线起点 C 与点 A，点 S 三点共线）．经测量 AB＝1.2 米，BC＝1.6 米．
变式训练
根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）．（π 取 3.14，结果精确到 0.1 米）
变式训练
解：取圆锥底面圆圆心O，连接OS，OA，
则∠O＝∠ABC＝90°，OS∥BC，
∴∠ACB＝∠ASO．
∴△SOA∽△CBA，
∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．
典例精讲
类型之四 图形的位似
【例 4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．
（1）画出△ABC 关于 y 轴对称的图形 ，并直接写出点 的坐标；
（2）以原点 O 为位似中心，位似比为 1∶2，在 y 轴的左侧画出△ABC 放大后的图形 ，并直接写出点 的坐标；
（3）如果点 D(a，b)在线段 AB 上，请直接写出经过（2）的变化后点 D 的对应点 的坐标．
典例精讲
[解析]（1）如图，点 的坐标为(3，2)．
（2）如图，点 的坐标为(－6，4)．
（3）如果点 D(a，b)在线段 AB 上，
则经过（2）的变化后点 D 的对应点 的坐标为(2a，2b)．
变式训练
4．如图，矩形 ABCD 与矩形 AB′C′D′是位似图形，A 为位似中心，已知矩形 ABCD 的周长为 24，BB′＝4，DD′＝2．试求 AB 和 AD 的长．
解：∵为矩形ABCD的周长为24，∴AB＋AD＝12，
设AB＝x，则AD＝12－x，∴AB′＝x＋4，AD′＝14－x．
又∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′时位似图形，
，即 ，解得x＝8．
∴AB＝8，AD＝12－x＝12－8＝4．
区校真题
1．（光明）如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m，n 与 a，b，c 分别交于
点 A，C，E 和 B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（ ）
A．7 B．7.5
C．8 D．4.5
2．（龙华）如图，已知 D，E 分别为 AB，AC 上的两点，且 DE∥BC，
AE＝2CE，AB＝6，则 AD 的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
D
B
区校真题
3．（南山）如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 12，则 C 点坐标为（ ）
A．(6，4) B．(6，2) C．(4，4) D．(4，2)
A
区校真题
4．（宝安）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦 CD 的高度，如图所示，点 P 处放一水平的平面镜．光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得 AB＝1 米，BP＝1.5 米，PD＝12 米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．8 米 B．16 米 C．24 米 D．36 米
5．（龙华）如图，在△ABC 中，已知∠C＝35°，AD 是 BC 边上的高，且 AD2＝BD·CD，则∠B 的度数是__________．
A
55°
区校真题
6．（南山）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 边上的一点，过 C 点作 CF⊥CE 交 AB 的延长线于点 F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若 B 为 AF 的中点，CB＝3，DE＝1，求 CD 的长．
区校真题
解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠1＝∠2＋∠3＝90°．
∵CF⊥CE，∴∠4＋∠3＝90°．∴∠2＝∠4．∴△CDE∽△CBF．
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB．
∵B为AF的中点，∴BF＝AB．
∴设CD＝BF＝x．
∵△CDE∽△CBF，
区校真题
7．（罗湖）如图，某测量工作人员的眼睛 A 与标杆顶端 F、电视塔顶端 E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面 1.6 m，标杆为 3.2 m，且 BC＝1 m，CD＝5 m．试求电视塔的高 ED．
区校真题
解：如图，过点A作AH⊥ED于点H，交FC于点G．
∵AB⊥BD，FC⊥BD，ED⊥BD，∴AB∥FC∥ED，
∴四边形ABDH，ABCG，GCDH是矩形，即∠FGA＝∠EHA＝90°，
AG＝BC＝1(m)，GH＝CD＝5(m)，DH＝GC＝AG＝1.6(m)．
又∵∠FAG＝∠EAH，∴△AGF∽△AHE，
∴EH＝9.6(m)，ED＝EH＋HD＝9.6＋1.6＝11.2(m)．
电视塔的高ED为11.2 m．
中考链接
如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点 M，Q 分别是边 AB，BC 上的动点(点 M 不与 A， B 重合)，且 MQ⊥BC，过点 M 作 BC 的平行线 MN，交 AC 于点 N，连接 NQ，设 BQ 为 x．
（1）试说明不论 x 为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点 Q，使得四边形 BMNQ 为平行四边形，试说明理由；
（3）当 x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并求出最大值．
中考链接
解：（1）∵MQ⊥BC，
∴∠MQB＝90°，
∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，
∴△QBM∽△ABC；
（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
∵MN∥BQ，BQ＝MN，
∴四边形BMNQ为平行四边形；
（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
中考链接
∵△QBM∽△ABC，
∴当x＝ 时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为
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