5.3 应用一元一次方程-水箱变高了 （共28张PPT）

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阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变.
=
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
导入新课
5.3 应用一元一次方程
——水箱变高了
数学北师大版 七年级上
学习目标
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量
关系和等量关系.（难点）
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
新知导入
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米?
什么发生了变化？
什么没有发生变化？
想一想
新知讲解
做一做
解：设水箱的高变为 xm，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径
高
体 积

2m
1.6m
4m
xm
等量关系：
旧水箱的容积＝新水箱的容积
π×22×4
π×1.62x
新知讲解
根据等量关系，列出方程：
解方程得 x=6.25
因此，高变成了 厘米
6.25
等体积变形
=
π×22×4
π×1.62x
新知讲解
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
做一做
x m
(x+1.4) m
等量关系：
（长+宽）× 2=周长
解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10
解得 x =1.8
1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
x m
(x+0.8) m
解：设此时长方形的宽为xm，
则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
解得 x=2.1
2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，
面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，
(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大
6.09－5.76=0.33(m2).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？
x m
(x +x) ×2 =10
解得 x=2.5
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)
解：设正方形的边长为xm.根据题意，得
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）
正方形的边长为2.5m
同样长的铁丝可以围更大的地方
1.8
3.2
2.1
2.9
2.5
2.5
当周长不变时，围成正方形面积最大.
合作探究
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
讲授新课
图形的等长变化
x m
(x+1.4) m
等量关系：
（长+宽）× 2=周长
解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10
解得 x =1.8
1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
x m
(x+1.4) m
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
解得 x=2.1
2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？
x m
(x +x) ×2 =10
解得 x=2.5
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)
解：设正方形的边长为xm.
根据题意，得
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）
正方形的边长为2.5m
同样长的铁丝可以围更大的地方
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
典例精析
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
所以圆的面积大．
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，
所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
归纳总结
课堂练习
1.要锻造一个半径为5 cm，高为8 cm的圆柱毛坯，应截取半径为4 cm的圆钢的高度为( )
A．12.5 cm　　B．13 cm C．13.5 cm D．14 cm
A
2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( )
A．20 cm B．24 cm
C．48 cm D．144 cm
B
课堂练习
3.将一个长、宽、高分别为15 cm、12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面为正方形且边长为12 cm的长方体零件钢坯，试问锻造前长方体钢坯表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大，请你计算比较．
解：锻造前长方体的表面积为：
2×(15×12＋12×8＋15×8)＝792(cm2)，
设锻造后的长方体高为x，则15×12×8＝12×12x，
所以x＝10，
其表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝768 cm2，
所以原长方体的表面积大
课堂练习
4.一块长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱,圆柱的高是多少?
32
3π
解:设圆柱的高是x cm,根据题意,得
4×3×2=π×1.52x,
解得x= .
答:圆柱的高是 cm.
32
3π
课堂练习
一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米.你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？
篱笆
墙壁
课堂练习
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，
根据题意得：2x+（x+5）=35
解得：x=10．
因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．
根据小赵的设计可以设宽为，y米，长为（y+2）米，
根据题意得2y+（y+2）=35
解得：y=11．
因此小王设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11 ×13=143（平方米）．
应用一元一次方程
图形等长变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等积变化
?列
⑤检
④解
?设
?审
⑥答
课堂小结
谢谢
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