江西省南昌市六校2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含解析

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南昌市六校2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
过点且垂直于直线的直线方程为
A. B. C. D.
若直线：与直线关于点对称，则直线恒过点
A. B. C. D.
圆与圆的位置关系是
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离
已知直线l过点，且与圆C：相切，则直线l的方程为
A. B. C. D.
已知点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是???
A. B. C. D.
若抛物线上一点M到焦点的距离是，则点M到直线的距离是
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
已知P为椭圆C上一点，，为椭圆的焦点，且，若与的等差中项为，则椭圆C的标准方程为? ? ?
A. B. 或
C. D. 或
已知直线与抛物线交于两点，则线段AB的长为
A. 4 B. 8 C. 10 D. 16
已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
B.
C. D.
如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，，A是椭圆与双曲线的一个交点，则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为? ? ?
A. B. C. D.
已知双曲线C的离心率为，左、右焦点分别为，，点A在双曲线C上，若，则
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知圆C：与直线l：交于M、N两点，则______．
若椭圆的离心率为，则??????????．
如果，分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是______ ．
抛物线的焦点为F，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是，，若四边形的面积为48，则该抛物线的方程为??????????．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
求符合下列要求的曲线的标准方程：
已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为；
焦点在x轴，过点，且的双曲线的标准方程．
已知直线l经过直线与直线的交点，且，到l的距离相等，求直线l的方程．
已知圆：与圆：．
若圆与圆外切，求实数m的值；
在的条件下，若直线与圆的相交弦长为，求实数n的值．
已知动圆过定点且与直线相切．
求动圆圆心的轨迹C的方程；
过原点O的直线l交轨迹C于M点，与直线交于H点，过点H作y轴的垂线交轨迹C于N点，求证：直线MN过定点?
21. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．
求椭圆C的方程；
设直线斜率为，且与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点，使得若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．
22. 如图，设抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，且，线段AB的中点到y轴的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线与圆切于点P，与抛物线C切于点Q，求的面积．
南昌市六校2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷
【答案】
1. A 2. C 3. A 4. A 5. D 6. C 7. B
8. B 9. C 10. A 11. A 12. C
13. 4??
14. 或4??
15. 28??
16. ??
17. 解：由已知条件，可设所求的椭圆标准方程为其中，?
则，?
，?
且离心率为，?
，?
，?
故所求的椭圆的标准方程为?；?
由题意，焦点在x轴上时，
则，?
，，?
双曲线的标准方程为，?
同理，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为．??
18. 解：联立得
所以直线与直线的交点，
由M，N到l的距离经过相等，知直线l经过线段MN的中点，或者直线，
线段MN的中点为，，
过点P，Q的直线l的方程为，
过点P与直线MN平行的直线l的方程为，
综上，直线l的方程为或．??
19. 解：，，
的标准方程为，
，，，
圆与圆外切，，
即，；
由得，圆的方程为，，，
由题意可得圆心到直线的距离，
得，
即或．??
20. 解：动圆过定点，且与直线相切
曲线C是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：．
设，，则直线OM的方程为：．
，，
直线MN的斜率，
直线MN的方程为，整理可得：，
直线MN过定点．
??
21. 解：当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，
所以，解得
故椭圆C的方程为：．
设直线PQ的方程为，将代入，得；
设，线段PQ的中点为，
，
即因为，
所以直线TN为线段PQ的垂直平分线，所以，则，
即，所以，
当时，因为，所以
当时，因为，所以．
综上，存在点T，使得，且t的取值范围为．??
22. 解：Ⅰ设，，
则AB中点坐标为，
由题意知，
，
又，
，
故抛物线C的方程为；
Ⅱ由题可知直线的斜率存在，
可设：，由与相切得，
由
直线与抛物线相切，
，
由?，得，，
方程为，解得，
或，
；
此时直线方程为或，
令到的距离为，
．??
【解析】
1. 【分析】本题考查了利用点斜式求直线方程，考查了两条直线的垂直关系，属于基础题．
由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线方程为，化为一般式可得结果．
【解答】解：由题意可得直线的斜率为，
则过点且垂直于直线的直线方程为，
化为一般式为．
故选A．
2. 【分析】
本题主要考查了直线关于点对称的直线方程的性质与运用，考查了基本的转化能力，属于基础题．
根据直线：经过定点，而点M关于点的对称点为，则点在直线上，由此得到答案．
【解答】
解：直线经过定点，
易知点M关于点对称点为，
又直线与直线关于点对称，
直线恒过定点，
故选C．
3. 【分析】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
直接求出两圆的圆心距，然后判断与两圆半径和与差之间的关系，得出结论．
【解答】解：两个圆的圆心分别为，，
圆心距，
两个圆的半径，均为，
故，所以两个圆相交．
故选A．
4. 【分析】
本题主要考查直线方程的相关问题，属于基础题．
由题意，可知直线的斜率存在，故设切线方程为，利用点到直线的距离公式求出k，即可得出答案．
【解答】
解：当直线的斜率不存在时，直线为与圆不相切，所以直线的斜率存在，
故设切线方程为，即；
由题意可得，
切线方程为．
故答案选A．
5. 【分析】
本题考查圆的标准方程，圆有关的最值问题，体现了转化及数形结合的数学思想．
先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求的最大值转化为求，即可得解．
【解答】
解：如图：
圆的圆心，圆的圆心，这两个圆的半径都是．
要使最大，需最大，且最小，
由图可得，最大值为，的最小值为，
故最大值是
，
故的最大值为，
故选D．
6. 【分析】本题考查了抛物线的定义与标准方程，抛物线的简单几何性质等知识，属于基础题．?
由题意得到抛物线的准线方程为，根据M到焦点的距离是，从而求解．
【解答】解：易知抛物线的准线方程为，
点M到焦点的距离是，
点M到准线的距离为，
点M到直线的距离为，
故选C．
7. 【分析】
本题考查椭圆的定义及其标准方程，考查椭圆的简单几何性质，为基础题．
根据椭圆的定义可得，结合已知条件与的等差中项为，所以，再根据椭圆的几何性质，可求得要注意，本题中椭圆的焦点分在x轴上或在y轴上两种情况，从而得出椭圆C的标准方程有两种结果．
【解答】
解：由已知，
所以．
因为，
所以，
所以．
故椭圆C的标准方程是或．
8. 【分析】
本题考查直线与抛物线相交的弦长的求法，是基础题解题时要注意直线方程、弦长公式等知识点的合理运用．
由已知条件，结合抛物线的性质，先求出直线AB的方程，再把AB的方程与抛物线联立方程组，整理后得到一个一元二次方程，利用抛物线弦长公式能求出线段AB的长．
【解答】
解：抛物线的焦点，
斜率是1的直线AB经过抛物线的焦点，
直线AB的方程：，
联立方程组，得，
设，，
则，
．
线段AB的长是8．
故选B．
9. 【分析】本题考查双曲线的标准方程的求法以及抛物线的简单性质应用，属于中档题．
首先由渐近线经过，得到a，b的方程，然后求出抛物线的准线，得到c，由此求得双曲线方程．
【解答】解：由双曲线的一条渐近线过点，
可得渐近线的斜率．
由双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，
可得，即．
由，可得，，则双曲线的方程为．
故选C．
10. 【分析】本题考查了椭圆和双曲线的性质及几何意义，属于基础题．
由椭圆和双曲线的性质及几何意义可列出，的方程组，解出即可得解．
【解答】解：因为A是椭圆和双曲线的一个公共点，
所以由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
解得，，
所以，
故选A．
11. 【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，中点弦问题，直线的点斜式方程和一般式方程，同时考查中点坐标公式，属于中档题．
首先设出，，可得，然后将，分别代入椭圆方程，整理并求得直线斜率为，问题得解．
【解答】
解：设、，
则，，
，
，得．
．
又为AB中点，
，．
直线AB的斜率为．
直线AB的方程为，即．
故选：A．
12. 【分析】本题考查了双曲线的性质以及余弦定理，属于基础题．
由双曲线的定义可得，，在中，由余弦定理，再由同角三角函数的关系求出正弦值．
【解答】解：因为双曲线C的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C上，所以由双曲线的定义可知，
，又，所以，．
因为双曲线C的离心率为，所以，．
在中，由余弦定理可得，
所以，
故选C．
13. 解：根据题意，圆C：，圆心为，半径，
直线l的方程为，
圆心C在直线l上，则；
故答案为：4．
根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分析可得圆心C在直线l上，则，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交时弦长的计算，属于基础题．
14. 【分析】本题考查椭圆的标准方程和离心率．
利用椭圆方程表示出a，b，c，再由离心率求得a，b，c，得到椭圆方程，进而得到m的值
【解答】解：当时，椭圆的焦点在x轴上，
所以，，，
此时，解得
当时，椭圆的焦点在y轴上，
所以，，，
此时，解得．
15. 【分析】
本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，属于中档题．
由定义知，，两式相加再结合已知即可求解．
【解答】
解：由题意知：，，故．
由双曲线的定义知
，
，
得：，
所以，，
所以的周长是．
故答案为28．
16. 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，属于较难题．
写出直线AB的方程，代入，整理并写出韦达定理，四边形是直角梯形，利用面积公式可得，将最后用韦达定理表示出来，建立关于p的方程，解方程即可．
【解答】
解：因为抛物线的焦点为，
所以直线AB的方程为，
代入，整理得．
设，，
则由方程的根与系数的关系，得，．
又，且四边形是直角梯形，其面积为48，
所以，即．
，
所以，解得，
又，所以，故抛物线的方程为
17. 本题考查椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、椭圆的性质及几何意义，属于基础题．
根据题意求出a和b的值，即可求出结果；
分焦点在x轴上和y轴上两种情况，即可求出结果．
18. 本题考查直线方程的求法，考查两直线交点、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．当时，利用点斜式即可得出直线l的方程；当MN的中点在直线l时，利用点斜式即可得出直线l的方程．
19. 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，结合圆外切以及直线和圆相交时的弦长公式建立方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力，难度中等．
求出圆心坐标和半径，结合圆与圆外切的等价条件建立方程进行求解即可．
根据相交弦的弦长公式建立方程进行求解即可．
20. 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系，难度适中．
由抛物线的几何意义，解得标准方程．
利用直线与抛物线的关系，得，可得直线过定点．
21. 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
利用椭圆的离心率，三角形的面积的最值列出方程，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．?
设直线PQ的方程为联立，得?设，，利用韦达定理求出PQ的中点，由，可得直线TN是线段PQ的垂直平分线，由，建立t的函数即可．
22. 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与圆及其抛物线相切等，考查点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
Ⅰ利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出；
Ⅱ设：，由与相切可得，直线与抛物线方程联立可得，利用直线与抛物线相切，可得可得，联立解出k，得出Q坐标，，直线方程，利用点到直线的距离公式可得到的距离．