6.3平面向量基本定理 同步学案

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平面向量基本定理学案
一．学习目标
理解平面向量基本定理的内容与价值。
这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解
。当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在直角坐标系中分解，此时确定的坐标就称为此向量的坐标（此向量的起点为原点）；所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。
二．基础知识
1.平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使；即三个非零向量共面的充要条件是其中一个向量可以用另外两个向量唯一的线性表示。
2.基底的定义：
若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
3.课前预习：
1.基底有什么特点？平面内基底唯一吗？
提示：基底中的两向量不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．
2.如图，设为三条共端点的射线，为上一点，能否在上分别找一点
，使？
提示：能.
过点作的平行线，分别与相交，交点即为.
3.若向量不共线，且，试判断与能否作为基底．
提示：设存在实数使得，则，即；由于不共线，从而，无解，从而与不共线，故与能作为基底.
三．典例分析与性质总结
题型1：基底的概念
例1：下面说法中，正确的是(　　)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量和一组基底，使成立的实数对一定是唯一的．
A．②④
B．②③④
C．①③
D．①③④
[方法技巧]
根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底。
题型2：用基底表示向量
例2：如图所示，在中，，，分别是边上的点，且
，，设与交于点，用向量表示。
[方法技巧]
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
题型3：平面向量基本定理的应用
例3：如图所示，在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
[方法技巧]
应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系。
四．变式演练与提高
1.设{}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．和
B．和
C．和
D．和
2.如图所示，已知在平行四边形中，分别是边上的中点，若，，试以{}为基底表示
3.如图，在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，求与的值．
五．反思总结
1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点；
2．根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量。
六．课后作业
1.下列说法中，正确说法的个数是(　　)
①在中，{}可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底
A．0
B．1
C．2
D．3
2.如图，设是?ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与；其中可作为该平面内所有向量基底的是(　　)
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
3.已知向量不共线，实数满足，则
。
4.如图所示，向量的长度分别是；，，则
。
5.在平行四边形中，为的中点，为的中点；
设.
(1)以{}为基底，表示；
(2)以{}为基底，表示
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析
因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确；综上可得②③④正确。
[答案]　B
例2：解析
[分析]　利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定.
[解]　∵，，
设，
则，
∵与不共线，∴；∴
∴
例3：解析
∵在中，，，为边上的高，∴在中，.
又，∴，
∴.
∵为的中点，∴
∵，∴，
∴
（四．变式演练与提高）
1.解析：
在B中，因为，所以．所以和不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底。
2.解析：
∵四边形是平行四边形，分别是边上的中点，
∴，，
∴，.
∴
3.解析：
设，，
则，
因为点和点分别共线，所以存在实数使得，.
故.
又，
由平面向量基本定理，
得，解得；
所以，，所以
（六．课后作业）
1.解析：
①③正确，②错误。
2.解析：
与不共线，与平行，与不共线，与平行，则①③可以作为该平面内所有向量的基底。
3.解析：
∵不共线，∴
解得；∴.
4.解析：
不妨设，则.
如图，构建?，其中，且，
则，，
于是，
所以，
所以，
从而，
5.解析：
如图所示．
(1)
(2)∵①
，②
∴由①②消去，得.
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精品试卷·第
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