公式法因式分解
1．平
方
差公式：
因式分解
整式乘法
2、分解因式的一般步骤为：
（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。
（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。
3、分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：=，
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
4、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
5、有些多项式用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
题型一
公式法因式分解
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例
1将下列各式因式分解
点评：：能用平方差公式因式分解的多项式的特征：（1）有且只有两个平方项：
（2）两个平方项异号。
巩
固1、计算
（1）
（2）
（3）
2、已知，求的值。
3、把多项式分解因式
平方差公式中字母不仅可以表示数，而且也可以表示其他代数式。
例2判断下列各式是不是完全平方式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
提示：完全平方式具有：
1、是一个二次三项式
2、有两个“项”平方，而且有这两项的积的两倍或负两倍
3、我们可以根据完全平方公式来进行因式分解。
巩
固1、将下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2、计算
3、利用因式分解解答下列各题
已知：
题型二
分组分解法
例3.将下列各式进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
巩固提高
1、因式分解（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
课后作业
1、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
3、利用因式分解解答下列各题
知识梳理
PAGE十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.
解析：凡是能十字相乘的二次三项
式ax2+bx+c，都要求
>0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数，
例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1
2
解：=
1
3
=
1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：原式=
1
-1
=
1
-6
（-1）+（-6）=
-7
练习5、分解因式(1)
(2)
(3)
练习6、分解因式(1)
(2)
(3)
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例7、分解因式：
分析：
1
-2
3
-5
（-6）+（-5）=
-11
解：=
练习7、分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)=
-8b
解：=
=
练习8、分解因式(1)(2)(3)
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、
例10、
1
-2y
把看作一个整体
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=
-7y
(-1)+(-2)=
-3
解：原式=
解：原式=
练习9、分解因式：（1）
（2）
综合练习10、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）（8）
（9）（10）
思考：分解因式：
五、换元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式（1）
（2）
（3）
例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、（1）
（2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
（2）
解：原式=
=
=
=
练习15、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
七、待定系数法。
例16、分解因式
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。
（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：，解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解：设=
则=
∴
解得，
∴=21
练习17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3）
已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
（4）
为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。十字相乘法因式分解
十字相乘法.
二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
题型一
二次项系数为1的二次三项式
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例
1分解因式：（1）
（2）
总结：用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
【巩固】分解因式：（1）
（2）
（3）
题型二
二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
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例
2分解因式：
【巩固】分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
题型三
二次项系数为1的齐次多项式
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例
3分解因式：
【巩固】分解因式（1）
（2）
（3）
题型四
二次项系数不为1的齐次多项式
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例
4（1）
（2）
【巩固】分解因式：（1）
（2）
题型五
换元法
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例
5分解因式（1）
（2）
【巩固】分解因式（1）
（2）
（3）
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例
6分解因式（1）
（2）
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
【巩固】（1）
（2）
题型六
添项、拆项、配方法
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例
7分解因式（1）
（2）
【巩固】分解因式（1）
（2）
题型七
待定系数法
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例
8分解因式
题型八
根据因式分解求待定系数
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例
9（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。
【巩固】1、已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
2、为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
思考：分解因式：
巩固提高
分解因式（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
课后作业
因式分解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
知识梳理
PAGE提公因式法因式分解
1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
特点：等号的左边：都是多项式
等号的右边：整式1×整式2·×··×整式n
2、分解因式与整式乘法的关系：分解因式与整式乘法为相反变形。
注意：（1）因式分解的对象是“一个多项式”，掌握这一要点对判断、把握一种变形是否是因式分解提供一定的帮助。
（2）因式分解是一种恒等的变形
（3）因式分解的结果是“整式的积”的形式。
3、公因式的概念：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
4、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc
除以m的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法.
5、首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。
题型一
因式分解的认识
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例
1判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（a＋3）（a－3）=－9
（6）
巩
固判断下列各式从左到右的变形是否是因式分解。
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥
⑦
⑧
题型二
因式分解与整式乘法
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例
2计算：，
（1）若。
（2）若的值。
巩
固1、是多项式分解因式的结果，则p的值是（
）。
A、2
B、－2
C、8
D、－8
2、下列各式从左到右的变形是整式乘法的是（
）。
B、
C、
D、
3、下列各式从左到右的变形：①15；②；
③；④，其中是分解因式的有（
）个。
A、0
B、1
C、2
D、3
4、把多项式的值是（
）。
A、2
B、3
C、－2
D、－3
5、若，则m
=
，n
=
。
题型三
提公因式法因式分解
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例
3下面说法正确的是（
）。
多项式；
多项式中各项没有公因式；
；
巩
固1、多项式各项的公因式是
。
多项式
2、分解因式
3、分解因式：
强化练习
1、把多项式分解因式，结果正确的是（
）。
B、
C、
D、
2、下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．
a（x+y）=ax+ay
B．
x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．
10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．
3、下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．
（y﹣1）（y+1）=y2﹣1
B．
x2y+xy2﹣1=xy（x+y）﹣1
C．
（x﹣2）（x﹣3）=（3﹣x）（2﹣x）
D．
x2﹣4x+4=（x﹣2）2
4、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．
（3﹣x）（3+x）=9﹣x2
B．
m3﹣mn2=m（m+n）（m﹣n）
C．
（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）
D．
4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
5、多项式x2﹣4x+m可以分解为（x+3）（x﹣7），则m的值为（ ）
A．
3
B．
﹣3
C．
﹣21
D．
21
6、一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（
）
A、
B、
C、
D、
7、把下列多项式分解因式时，应提取公因式的是（
）。
B、
C、
D、
8、将多项式分解因式时，应提取公因式（
）。
B、
C、
D、
9、计算的结果是（
）。
B、
C、
D、
10、提公因式法因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
11、先分解因式，再求值
，其中。
能力提升
1、将多项式（
）。
B、
C、
D、
2、在分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（
）。
B、+1
C、－1
D、－
3、计算7.6×199.8+4.3×199.8－1.9×199.8=
。
4、若为相反数，则的值为
。
5、若=
。
6、求满足下列等式的的值。
①
②
7、先分解因式，再求值
。
8、能被7整除吗？请说明理由。
知识梳理
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