2020年北师大版八年级下册课时训练：1.1 《等腰三角形》 （Word版 含解析）

2020年北师大版八年级下册课时训练：1.1 《等腰三角形》
一．选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝72°，则∠A＝（　　）
A．72° B．45° C．36° D．30°
2．等腰三角形的周长是20cm，其中一边长4cm，则腰长为（　　）
A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．无法确定
3．如图，E为△ABC的边AB上一点，AC＝BC＝BE，AE＝EC，BD⊥AC的延长线于点D，则∠CBD的度数为（　　）
A．18° B．28° C．36° D．15°
4．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为（　　）
A．36 B．18 C．9 D．3
5．如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3.6 D．4.8
6．等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为（　　）
A．8 B．7 C．5 D．4
7．已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．100° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝7，DE＝3，则BC的长度是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
11．在△ABC中，AB＝AC＝7，∠C＝60°，则BC的长为　 　．
12．等腰三角形的周长为16，且边长为正整数，则底边长为　 　．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是平分线，若AD＝BC，则∠A的度数为　 　．
14．某等腰三角形一腰上的高与该腰上的中线重合，若该等腰三角形的顶角为n°，则n＝　 　．
15．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若AB＝4，则AD＝　 　．
16．等腰三角形的周长为16cm，一边长为4cm，则腰长为　 　cm．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，若∠A＝40°，求∠CBD的度数．
18．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果底边长是腰长的一半，那么各边的长是多少？
（2）如果围成的等腰三角形有一边的长是5cm，求另两边的长？
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．
求证：（1）∠B＝∠C；
（2）△ABC是等边三角形．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，交AD于点E，交AC于点G
（1）求证：AE＝AG；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，若∠C＝30°，求证：AG＝GF＝FC．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝72°，
∴∠A＝180°﹣72°×2＝36°．
故选：C．
2．解：若4cm为等腰三角形的腰长，则底边长为20﹣4﹣4＝12（cm），4+4＝8（cm），不符合三角形的三边关系；
若4cm为等腰三角形的底边，则腰长为（20﹣4）÷2＝8（cm），此时三角形的三边长分别为8cm，8cm，4cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为8cm，
故选：B．
3．解：设∠A＝x°，
∵AC＝BC，AE＝EC，
∴∠ABC＝∠A＝x°∠ACE＝∠A＝x°，
∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝2x°，
∵BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE＝2x°，
在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴2x+2x+x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝∠ABC＝36°，
∴∠CBD＝90°﹣∠A﹣∠ABC＝18°．
故选：A．
4．解：如图所示，过B作BD⊥AC于D，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴S△ABC＝AC×BD＝＝9，
故选：C．
5．解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，
∴AD＝AB＝3.6，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴DE＝AD＝1.8，
故选：A．
6．解：
过C作CD⊥BA，交BA的延长线于D，则∠D＝90°，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，
∴CD＝＝，
故选：C．
7．解：（1）若等腰三角形一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°；
（2）等腰三角形的顶角为80°．
因此这个等腰三角形的顶角的度数为20°或80°．
故选：D．
8．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE＝EM
∵BE＝7，DE＝3，
∴DM＝EM﹣DE═7﹣3＝4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝2，
∴BN＝5，
∴BC＝2BN＝10，
故选：B．
9．解：如图，连接AO，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC，
∴＝，即＝，
∴OE+OF＝2；
故选：D．
10．解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABD+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF，故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明BH＝CH，故④错误，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵△ABC中，AB＝AC＝7，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝7；
故答案为：7．
12．解：由题意得：2x+y＝16，
∵三角形的两边之和大于第三边，
∴符合条件的三角形有：腰长为5，底边为6；腰长为6，底边为4；腰长为7，底边为2；
∴底边长为2，4，6，
故答案为：2或4或6．
13．解：∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠C＝∠BDC＝2∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠C＝180°，
把∠C＝2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A＝180°，
解得∠A＝36°．
故答案为：36°．
14．解：∵等腰三角形一腰上的高与该腰上的中线重合，
∴腰与底边相等，
∴此三角形为等边三角形，
∴等腰三角形的顶角为60°，
即n＝60．
故答案为：60．
15．解：∵△ABC是等边三角形，AB＝4，
∴AB＝AC＝4，
∵BD⊥AC，
∴AD＝AC＝×4＝2．
故答案为：2．
16．解：①4cm是腰长时，底边为：16﹣4×2＝8cm，
三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，
②4cm是底边长时，腰长为：×（16﹣4）＝6cm，
三角形的三边长分别6cm、6cm、4cm，
能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是6cm．
故答案为：6．
三．解答题
17．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∵BD⊥AC，
∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°．
18．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，
由题意得：2x+2x+x＝20，
解得：x＝4，
∴2x＝8，
∴各边长为：8cm，8cm，4cm；
（2）①当5cm为底时，腰长＝（20﹣5）＝7.5（cm）；
②当5cm为腰时，底边＝2﹣5﹣5＝10（cm），
因为5+5＝10，不能构成三角形，故舍去；
∴另两边的长为7.5cm、7.5cm．
19．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），
∴∠A＝∠C，
由（1）知，∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
20．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD＝CE＝DE，
∴AD＝DE＝DE，
∴△ADE是等边三角形．
21．证明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠AGB+∠ABG＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BED+∠DBE＝90°，
又∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠DBE，
∴∠AGB＝∠BED，
∵∠BED＝∠AEG，
∴∠AGB＝∠AEG，
∴AE＝AG；
（2）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝30°，
∴∠CBG＝∠C，∠BAD＝∠ABG，∠AGB＝90°﹣30°＝60°，
∴BG＝CG，AE＝BE，
由（1）得：AE＝AG，
∴△AEG是等边三角形，
∴AG＝GE＝AE＝BE，
又∵EF∥BC，
∴∠GEF＝∠CBG＝30°，∠GFE＝∠C＝30°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∴GE＝BE＝FC＝GF，
∴AG＝GF＝FC．