导数专题练习15题集（Word含解析）

导数专题练习15题集
【题文1】
若，则
?????
A.
B.
C.
D.
【题文2】
已知曲线在点处的切线经过坐标原点，则
A.
B.
C.
D.
【题文3】
抛物线上一点在第四象限到焦点的距离等于，点关于轴的对称点为，抛物线在处的切线交其准线于点，则
A.
B.
C.
D.
【题文4】
设点是曲线上的任意一点，则点到直线的距离的最小值为
A.
B.
C.
D.
【题文5】
已知，，则的最小值是
A.
B.
C.
D.
【题文6】
已知函数，则?
?
A.
B.
C.
D.
【题文7】
函数的图象如图所示，则不等式的解集为
A.
B.
C.?
D.
【题文8】
若对任意的恒成立，则实数的最小值是?
A.
B.
C.
D.
【题文9】
已知，直线与函数的图像在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数
A.有最小值
B.有最小值
C.有最大值
D.有最大值
【题文10】
物体做直线运动，其运动规律是为时间，单位是，为路程，单位是，则它在时的瞬时速度为
A.
B.
C.
D.
【题文11】
若曲线：与曲线：在处的切线互相垂直，则实数的值为______．
【题文12】
已知函数是定义在上的偶函数，，，则不等式的解集是______
．
【题文13】
已知是函数的导函数，定义为的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点，经研究发现，所有的三次函数都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设，则______．
【题文14】
已知，．
若时，求函数在点处的切线方程；
若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【题文15】
已知．
若，求函数的单调减区间
若有两个极值点，且，求证：为自然对数的底数．
参考答案
1【参考答案】
【试题解析】
【分析】
本题考查导数的定义及其计算，属基础题．
利用导数的定义对已知式进行适当变形，借助已知导数值可得答案．
【解答】
解：
，
故选C．
2【参考答案】
【试题解析】
解：由，
得，
，
由题知，
解得：．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得值．
本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查两点求斜率公式的应用，是中档题．
3【参考答案】
【试题解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质及几何意义，考查导数的几何意义，属于中档题．
由题意得，点在第四象限坐标为，抛物线在第四象限部分的解析式，利用导数的几何意义可得抛物线在处切线方程，即可得点坐标，从而可得的长．
【解答】
解：由点到焦点的距离等于可知到准线的距离亦为，
因此得的横坐标为，
因为点在第四象限，所以，
抛物线在第四象限部分的解析式，其导数，
根据导数的几何意义知，处的切线斜率为，
于是抛物线在处切线方程为，
因此，而，
故．
故选D．
【参考答案】
4【试题解析】
【分析】
本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值，导数的几何意义及点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
令，求导得，所以曲线的图象在直线的上方，令，求出距离最小时的点坐标，即可得解．
【解答】
解：令，
则，令，得或，
当时，，则函数单调递减，
易知，
所以曲线的图象在直线的上方，
，令，得或，
因为，所以点到直线的距离的最小值．
故选A．
5【参考答案】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查导数的几何意义以及点到直线的距离，属于中档题．
把转化为曲线上的点与直线上的点的距离的平方，求出某点处与平行的切线，则切线和直线之间的距离的平方即是所求．
【解答】
解：根据题意得，即，，
所以，
构造曲线，
所以转化为：
曲线上的点与直线上的点的距离的平方，
设曲线上的切点为，
所以，则，解得，
所以曲线上的一条切线方程为，该直线与平行，
此时该两条直线的距离的平方即为所求的最小距离的平方，
所以，
故选D．
6【参考答案】
【试题解析】
【分析】
本题考查导数的运算，属于基础题．
求出函数的导函数，即可求出结果．
【解答】
解：，
．
故选C．
7【参考答案】
【试题解析】
【分析】
本题考查导数与函数单调性的关系及不等式的求解，是基础题．
由图象结合导数与函数单调性的关系，得在不同区间的符号，然后分类讨论求解即可．
【解答】
解：由图知，的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以在区间及上，，在上，，
又，
所以或
得或，
即不等式的解集为．
故选D．
8【参考答案】
【试题解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
由题意得到在上恒成立，设，求出在的最大值即可．
【解答】
解：要使对任意的恒成立，
则在上恒成立，
设，，
则，
当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减，
故当时，有极大值也是最大值为，
故．
故选A．
9．【参考答案】
【试题解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，最值，求切线的斜率，不等式恒成立问题．
求得的导数，可得切线的斜率，解方程可得，，求出的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到的最值．?
【解答】
解：，
，
，
又点在直线上，?
，
，
，
，
当时，，
在上单调递增，?
，
在上单调递增，?
，
，
的最大值为，无最小值．
故选D．
10.
【参考答案】
【试题解析】
解：，，
当时，．
故选：．
根据题意，对进行求导，然后令代入即可得到答案．
本题比较容易，考查导数的物理意义，同时考查了运算能力，属基础题．
11.
【参考答案】
【试题解析】
解：由，得，
，
由，得，
．
曲线：与曲线：在处的切线互相垂直，
，解得：．
故答案为：．
分别求出两个函数的导函数，求得两函数在处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于，由此求得的值．
本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线过该点的切线的斜率，是中档题．
12.【参考答案】
【试题解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性及利用导数研究函数单调性，属基础题目．
【解答】
解：构造函数，，
，
由题意，，
因为，即．
是定义在上的偶函数．
所以在?为奇函数，
的解集为，
不等式的解集，
故答案为．
13.【参考答案】
【试题解析】
解：，
，，
由可得，而，
根据已知定义可知，的对称中心，
从而有，
则．
故答案为：
结合题意先求出函数的对称中心，根据对称中心的性质可得，进而可求．
本题以新定义为载体，主要考查了函数导数的基本运算及函数值的求解，解题的关键是发现的规律．
14.【参考答案】
解：时，，
，
曲线在点处的切线方程为，即
，记，
函数在区间上单调递减
在区间上恒成立
，，
．
【试题解析】
求导函数，确定确定坐标，与切线的斜率，即可求得切线方程；
求导数，记，利用函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立，从而可建立不等式组，即可求的取值范围．
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．
15.【参考答案】
解：?，
令，得?，
故函数的单调减区间为，
欲证，需证．
由函数有两个极值点，，可得函数有两个零点，
又，所以，是方程的两个不同实根。
于是有?，
①②可得，即，
②①可得，即，
从而可得，??
于是
．
又，设，则，
因此，．
要证，即证，
即证当时，有．
令，
则，
所以为上的增函数，
因此．
于是当时，有．
所以有成立，即．
【试题解析】
本题考查利用导数求函数单调区间，以及与函数极值相关的不等式的证明问题，属于较难题．
根据导数研究函数单调性的方法即可得出函数的单调递减区间；
欲证，转化证明依题意可得又，设，则，因此，要证，即证即可．