圆周角(1)
1顶点在________,并且两边______________的角叫做圆周角.
2一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__________.
3下列∠1是圆周角的是(
)
4如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,若∠OBA=50°,则∠C的度数为(
)
A.30°
B.40°
C.50°
D.80°
5如图,已知点A,B,C在⊙O上,ACB为优弧.下列选项中,与∠AOB度数相等的是(
)
A.2∠C
B.4∠B
C.4∠A
D.∠B+∠C
6如图,△ABC内接于⊙O,若∠A=a,则∠OBC等于(
)
A.180-a
B.2a
C.90+a
D.90-a
7如图,CD是⊙O的直径,弦4B⊥CD于点H,若∠D=30°,CH=1cm,则AB=____cm.
8如图,AD和AC分别是⊙O的直径和弦,且∠CAD=30°,OB⊥AD,交AC于点B,若OB=3,则BC=_____________.
9如图,OD是⊙O的半径,弦AB⊥OD于E,若∠O=70°,则∠A+∠C=_____度.
10如图,在⊙O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD=___________.
11如图,AB为半圆O的直径,OC⊥AB,OD平分∠BOC交半圆于点D,AD交OC于点E,试求∠AEO的度数.
12如图,若∠AOB=100°,则∠A+∠B等于(
)
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
13若在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是(
)
A.30°
B.30°或150°
C.60°
D.60°或120°
14如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=30°,BC=2,把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED,则⊙O的半径为(
)
A.1
B.
C.
D.2
15
P是⊙O外一点,PA,PB分别交⊙O于C,D两点,已知⌒AB,⌒CD的度数分别为88°,32°,则∠P的度数为(
)
A.26°
B.28°
C.30°
D.32°
16如图,在半径为2的⊙O中,弦AB=2,⊙O上存在点C,使得弦AC=2,则∠BOC=____________.
17如图,以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB=20°,则∠OCD=_____________.
18如图,正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形连接OA并延长,交以O为圆心、OB长为半径的⊙O于点E,连接BD并延长交⊙O于点F,连接EF,则EFB的度数为__________度.
19如图,直线AB,CD分别交⊙O于A,B,C,D四点AB,CD相交于点P,若⌒AC的度数是m,⌒BD的度数为n,(m>m)则∠BPD=(m+n).
(1)你认为结论是正确的吗?请说明理由
(2)若AB,CD交于⊙O外一点P,则∠BPD=_____________.
答案
1圆上
都与圆还有另一个公共点
2
一半
3
C
4
B
5
A
6
B
7
23
8
3
9
55
10
80°
11解:∵OC⊥AB,∴,∠AOE=∠COB=90又∵OD平分∠BOC
∴∠DOB=0∠COB=45
∴∠A=∠DOB=22.5°,
∴∠AEO=90°-22.5°=67.5°
12
B
13
B
14
B
15
B
16
150°或30°
17
65°
18
37.5
19解:(1)结论正确.连接BC、DO、BO、AO、CO.∵∠BCD和∠BOD分别是BD所对的圆周角和圆心角,∴∠BCD=∠BOD=n
同理,∠ABC=2∠AOC=m
∴∠BPD=∠BCD+∠ABC=(m+n)
(2)同(1),∠BPD=∠ABC-∠BCD=(m-n)圆周角(2)
1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_____,相等的圆周角所对的弧________.
2半圆(或直径)所对的圆周角是_______,90°的圆周角所对的弦是_____.
3如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD,如果∠BOC=70°,那么∠A的度数为(
)
A.70°
B.35°
C.30°
D.20°
4如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠BAC=50°,则∠ADC=_________.
5如图,AB是半圆的直径,点D是AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于(
)
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
6如图,在⊙O中,若直径CD垂直于弦AB,则下列结论正确的是(
)
A.AD=AB
B.∠BOC=2∠D
C.∠D+∠BC=90°
D.∠D=∠B
7如图,CD是⊙O的直径,已知∠1=30°,则∠2=(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.70°
8如图所示,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于点H,若AC=8,AH=6,⊙O的半径OC=5,则AB的值为(
)
A.5
B.
C.7
D.
9如图,⊙O是△ABC的外接圆,CD是直径,若∠B=40°,则∠ACD的度数是_____.
10如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上,若∠ADC=54°,则∠BAC的度数是_____________.
11如图,AB是⊙O的直径,点D、E在⊙O上,AE,BD的延长线交于点C,且AB=AC.求证:BD=DE.
12如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器半圆的直径重合,点D对应54°,则∠BCD的度数为(
)
A.27°
B.54°
C.63°
D.36°
13如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为(
)
A.30°
B.35°
C.45°
D.70°
14如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44,则∠CAD的度数为(
)
A.68°
B.88°
C.90°
D.112°
15如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD=_________.
16如图,已知A,B,C,D,E均在⊙O上,若AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________.
17如图,⊙O的直径AB长为6,弦AC的长为2,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求四边形ADBC的面积.
18如图,已知AB是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为D,AE⊥AB于E,AE=AC,BE交⊙O于点F.求证EF·EB=AD·AB.
19如图,在足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻当他带球冲到A点时,同伴乙已经助攻冲到B点有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.仅从射门角度考虑,应选择第___________种射门方式.
20如图,⊙O的直径为5,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D.
(1)求证:△ABC~△PDC.
2)当PC=4.5时,求CD的长
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积.
答案
1
相等
相等
2直角
直径
3
B
4.40°
5
C
6
B
7
C
8
D
9
50°
10
36
11证明:连接AD
AB是⊙O的直径,∴AD⊥B
∵AB=AC,
△ABC是等腰三角形,
AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠DAC,
⌒BD=⌒DE
BD=DE
12
C
13
B
14
B
15
60°
16
90°
17解:AB为直径,∴∠ACB=∠ADB=90°∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,
∴∠ACD=45°,∴∠ABD=45°
∵AB=6,AC=2,
∴BC=4,AD=BD=3
∴S△ABC=AC·BC=4,
S△ABD=AD·BD=9,
∴S四边形ADBC=9+4
18解:连接AF,BC∵AB是直径,AE⊥AB,∴∠EFA=∠EAB=90°
又∵∠E=∠E,
△AEF∽△BEA,
∵AB是直径,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠ADC=90°
又∵∠CAD=∠BAC
∴△ACD∽△ABC,
AE=AC,
∴EF·EB=AD·AB
19
二
20解:(1)∵AB是直径,∴∠ACB=∠PCD=90.又∵∠A=∠P,
∴△ABC∽△PDC
(2)由(1)知,△ABC∽△PDC,
CD=6.
(3)S△PCD=PC·CD=PC2
当PC为直径时,△PCD的面积最大,最大面积为圆周角(3)
1一个多边形的所有顶点都在_____,这个多边形叫做_____,这个圆叫做这个多边形的_____.
2圆内接四边形的对角__________,且任何一个外角都等于___________.
3如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为DC延长线上一点,∠A=50°,则∠BCE的度数为(
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.130°
4如图,四边形ABCD内接于⊙OB=AD,连接BD,若∠C=120°,AB=2,则△ABD的周长是(
)
A.3
B.4
C.6
D.8
5如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠B=80°,则∠ADC的度数是(
)
A.60°
B.90°
C.80°
D.100°
6如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知∠ADC=130°,则∠AOC的大小是(
)
A.80°
B.100°
C.60°
D.40°
7如图,圆O的内接四边形ABCD中,BC=DC,∠BOC=130°,则∠BAD的度数是(
)
A.120°B.130°C.140°D.150O
8如图,四边形ABCD内接于⊙O,△ACD是等边三角形,AB∥OC,则∠ACB的度数是(
)
A.45°
B.50°
C.20°
D.30°
9如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是(
)
10如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠C=110.若点E在圆上,则∠E=____.
11如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,延长DC,AB交于点E,且BE=BC.
(1)求证:△ADE是等腰三角形;
(2)若∠D=90°,⊙0的半径为5,BC:DC=1:,求△CBE的周长.
12如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点,且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105,∠BAC=25°,则∠E的度数为(
)
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
13如图,四边形ACDB内接于⊙O,若∠BDC=∠BOC,则∠BAC的度数为(
)
A.50°
B.60°
C.45°
D.90°
14如图,四边形ABCD内接于⊙O,四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC=(
)
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
15如图,四边形ABCD内接于⊙O点E在AB的延长线上,BF∥AC,AB=BC,∠ADC=130°,则∠FBE=____________.
16如图,正方形ABCD内接于⊙O,M为AD中点,连接BM,CM.
(1)求证:BM=CM;(2)当⊙O的半径为2时,求⌒BM的长.
17如图,⊙O的半径为5,点P在⊙O外,PB交⊙O于A,B两点,PC交⊙O于D,C两点.
(1)求证:PA·PB=PD·PC.
(2若PA=,AB=,PD=DC+2求点O到PC的距离.
18如图,已知圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点N,点M在对角线BD上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN.
求证:(1)M为BD的中点;
(2):.
答案
1同一个圆上
圆的内接多边形
外接圆
2互补
它的内对角
3
B
4
C
5
D
6
B
7
B
8
D
9
105°
10
125
11(1)证明:BE=BC,
∴∠BCE=∠E.又∠A=∠BCE,
∠A=∠E,∴DA=DE,
即△ADE是等腰三角形
(2)解:连接AC.∵∠D=90°,∴AC是圆O的直径，
设BC=k,则CD=k
∵∠D=90°,∴∠CBE=∠D=90°
又BE=BC,∴∠E=45°,
∴BE=BC=k,EC=k,
AD=DE=2k,∴AC=k
⊙O的半径为5,∴k=10,
解得k=,
△CBE的周长为2+2
12
B
13
B
14
C
15(1)证明:四边形ABCD是正方形,∴AB=CD
∴⌒AB=⌒CD
M为⌒AD中点
∴⌒AM=⌒DM,
即⌒BM=⌒CM,
∴BM=CM.
(2)解:∵⊙O的半径为2
∴⊙O的周长为4
∵⌒AM=⌒DM=⌒AD=⌒AB
BM=ABTAMS-3a
AB
⌒BM的长=
16(1)证明:连接AD.BC.
∵四边形ABCD内接于⊙O∠PAD=∠PCB,∠PDA=∠PBC,△PAD∽△PCB,
PA·PB=PC·PD
(2)解:连接OD,作OE⊥DC,垂足为E.PA=，AB=，PD=DC+2
PB=16,PC=2DC+2.
PA·PB=PD·PC
×16=(DC+2)(2DC+2)
解得DC=8或DC=-11(舍去)
∴DE=4.∵OD=5
∴OE=3,即点O到PC的距离为3
17证明:(1)∵∠DAN=∠DBC,∠DCN=∠DBA,∠DAN=∠BAM,∠BCM=∠DCN
∴∠BAM=∠MBC,∠ABM=∠BCM,∴△BAM∽△CBM,
,即BM2=AM·CM①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM∠ACB=∠ADB
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM
∴△DAM∽△CDM,则DM2=AM·CM②
由式①、②,得BM=DM,
即M为BD的中点
(2)延长AM交圆于点P,连接CP
∵∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC∴PC∥BD,
∴
又∠MCB=∠DCA=∠ABD,
∠DBC=∠PCB,
∴∠ABC=∠MCP
∵∠ABC=∠APC,∴∠APC=∠MCP,∴MP=CM④由式③、④,得AN=AM
