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两类动力学问题
综合复习
人教版（2019）必修第一册
简介
动力学问题是运动学与牛顿定律结合的一类综合问题，一般可分为“已知受力求运动”和“已知运动求受力”两类基本问题。解决动力学问题要抓住两个分析，即受力分析和运动过程的分析；一个桥梁，即加速度的求解。
本节复习中，我们还将讲解超重和失重与等时圆的相关问题，进一步认识牛顿第二定律与运动学的综合问题。
基础知识储备
1.受力分析需要书写的方程：①
无加速度的方向书写平衡方程；②
有加速度的方向书写牛顿第二定律
2.运动学问题分析
(1)
运动过程的分析
①
加速度a与速度v同向→加速运动
若加速度恒定→匀加速直线运动
若加速度增大→加速度增大的加速运动
若加速度减小→加速度减小的加速运动
基础知识储备
1.受力分析需要书写的方程：①
无加速度的方向书写平衡方程；②
有加速度的方向书写牛顿第二定律
2.运动学问题分析
(1)
运动过程的分析
②
加速度a与速度v反向→减速运动
若加速度恒定→匀减速直线运动
若加速度增大→加速度增大的减速运动
若加速度减小→加速度减小的减速运动
基础知识储备
一、已知受力求运动
【例1】如图所示，一倾角为θ的斜面固定在水平面上，一物块（可视为质点）从静止开始，沿斜面顶端滑下，斜面的高为h，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，则物块从斜面顶端滑至底端所用时间为多大？
【解析】
对物块受力分析如图
建立直角坐标系
☆首要原则：加速度要放在某一个坐标轴上，若加速度无法落在坐标轴上（需要分解的力太多），分解加速度即可。
一、已知受力求运动
【例1】如图所示，一倾角为θ的斜面固定在水平面上，一物块（可视为质点）从静止开始，沿斜面顶端滑下，斜面的高为h，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，则物块从斜面顶端滑至底端所用时间为多大？
加速度沿斜面向下，牛顿第二定律有
垂直于斜面上，无加速度，平衡方程有
滑动摩擦力有，联立上述方程有
解得加速度为
一、已知受力求运动
【例1】如图所示，一倾角为θ的斜面固定在水平面上，一物块（可视为质点）从静止开始，沿斜面顶端滑下，斜面的高为h，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，则物块从斜面顶端滑至底端所用时间为多大？
物块从静止开始下滑，根据运动学公式有
解得下滑时间为
一、已知受力求运动
【例1】如图所示，一倾角为θ的斜面固定在水平面上，一物块（可视为质点）从静止开始，沿斜面顶端滑下，斜面的高为h，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，则物块从斜面顶端滑至底端所用时间为多大？
【斜面上物体运动的讨论】
①
若，则，物体做加速运动
②
若，则，物体做运动运动或恰好静止
③
若，则，物体静止于斜面上
一、已知受力求运动
【练习1】如图所示，一个物体由A点出发分别沿三条光滑轨道到达C1、C2、C3，则（ ）
A．物体到达C1点时的速度最大
B．物体分别在三条轨道上的运动时间相同
C．物体到达C3的时间最短
D．在C3上运动的加速度最小
【答案】C
一、已知受力求运动
【练习2】一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示。在A点，物体开始与弹簧接触，到B点时，物体速度为零，然后被弹回。则下列说法中正确的是（ ）
A．物体在A点的速率最大
B．物体由A点到B点做的是匀减速运动
C．物体在B点时所受合力为零
D．物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大后减小
【答案】D
【解析】
物体在A点时只受重力，仍向下加速，故A错误。
从A点向下运动到B点过程中，弹簧弹力增大，合力方向先是向下，逐渐减小，后又变为向上，逐渐增大，所以物体先加速后减速，故B错误。
物体能从B点被弹回，说明物体在B点受到的合力不为零，故C错误。
从B上升到A过程中，合力先向上后向下，方向与运动方向先相同后相反，也是先加速后减速，D正确。
一、已知受力求运动
【练习3】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m的小球，小球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变。若手持挡板A以加速度a(a
<
gsin
θ)沿斜面匀加速下滑，求：
(1)从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间；
(2)从挡板开始运动到小球的速度达到最大，小球经过的最小路程。
一、已知受力求运动
【练习3】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m的小球，小球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变。若手持挡板A以加速度a(a
<
gsin
θ)沿斜面匀加速下滑，求：
(1)从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间；
(2)从挡板开始运动到小球的速度达到最大，小球经过的最小路程。
一、已知受力求运动
【练习4】两个质量相同的小球悬挂在天花板上，A小球通过细绳栓接在天花板上，A、B小球之间用轻弹簧连接，则剪短细绳瞬间，A、B两小球的加速度为多大？
【答案】，
【解析】
剪断细绳前对A、B两球受力分析如图
剪断瞬间，绳子拉力发生突变，弹簧由于形变较为明显，不发生突变，受力分析如图
B球的加速度为0
一、已知受力求运动
【练习4】两个质量相同的小球悬挂在天花板上，A小球通过细绳栓接在天花板上，A、B小球之间用轻弹簧连接，则剪短细绳瞬间，A、B两小球的加速度为多大？
【答案】，
【方法总结】
形变不明显的物体，如绳、杆等，受力容易发生突变；
形变明显的物体，如弹簧、弹性绳等，受力不容易发生突变。
二、已知运动求受力
【例1】民用航空客机的机舱除通常的舱门外还设有紧急出口，发生意外情况的飞机着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊组成的斜面，机舱中的乘客就可以沿斜面迅速滑行到地面上来。若某型号的客机紧急出口离地面高度为4.0
m，构成斜面的气囊长度为5.0
m。要求紧急疏散时，乘客从气囊上由静止下滑到达地面的时间不超过2.0
s（g取10
m/s2），则：
(1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大？
(2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多少？（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)2.5
m/s2；(2)0.92
二、已知运动求受力
【例1】民用航空客机的机舱除通常的舱门外还设有紧急出口，发生意外情况的飞机着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊组成的斜面，机舱中的乘客就可以沿斜面迅速滑行到地面上来。若某型号的客机紧急出口离地面高度为4.0
m，构成斜面的气囊长度为5.0
m。要求紧急疏散时，乘客从气囊上由静止下滑到达地面的时间不超过2.0
s（g取10
m/s2），则：
(1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大？
(2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多少？（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)2.5
m/s2；(2)0.92
(2)在乘客下滑过程中，对乘客受力分析如图所示
沿x轴方向有
沿y轴方向有
又，联立方程解得
二、已知运动求受力
【练习5】如图所示，有一辆汽车满载西瓜在水平路面上匀速前进．突然发现意外情况，紧急刹车做匀减速运动，加速度大小为a，则中间一质量为m的西瓜A受到其他西瓜对它的作用力的大小是（ ）
【答案】C
二、已知运动求受力
【练习6】如图所示，质量为m2的物体2放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为m1的物体1，与物体1相连接的绳与竖直方向成θ角，则（ ）
【答案】BD
二、已知运动求受力
【练习7】在静止的车厢内，用细绳a和b系住一个小球，绳a斜向上拉，绳b水平拉，如图所示，现让车从静止开始向右做匀加速运动，小球相对于车厢的位置不变，与小车静止时相比，绳a、b的拉力Fa、Fb的变化情况是（ ）
A．Fa变大，Fb不变
B．Fa变大，Fb变小
C．Fa不变，Fb变小
D．Fa不变，Fb变大
【答案】C
【解析】
以小球为研究对象，分析受力情况，如图所示，根据牛顿第二定律得
二、已知运动求受力
【练习8】某气枪子弹的出口速度达100
m/s，若气枪的枪膛长0.5
m，子弹的质量为20
g，若把子弹在枪膛内的运动看做匀变速直线运动，则高压气体对子弹的平均作用力为（ ）
A．1×102
N
B．2×102
N
C．2×105
N
D．2×104
N
【答案】B
二、已知运动求受力
二、已知运动求受力
三、超重和失重
三、超重和失重
1．超重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）大于物体所受重力的现象
(2)产生条件：物体具有向上的加速度
2．失重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）小于物体所受重力的现象
(2)产生条件：物体具有向下的加速度
3．完全失重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）等于零的现象
(2)产生条件：物体竖直向下的加速度等于g
三、超重和失重
【例3】在田径运动会跳高比赛中，小明成功跳过了1.7
m的高度。若忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小明起跳时地面对他的支持力等于他的重力
B．小明起跳以后在上升过程中处于超重状态
C．小明下降过程处于失重状态
D．小明起跳以后在下降过程中重力消失了
【答案】C
【解析】
小明起跳的初始阶段加速度的方向向上，所以地面对他的支持力大于他的重力，故A错误；
起跳以后在上升过程，只受重力的作用，有向下的重力加速度，是处于完全失重状态，故B错误；
起跳以后在下降过程，也是只受重力的作用，有向下的重力加速度，是处于完全失重状态，故C正确；
小明起跳以后在下降过程中处于完全失重状态，重力提供向下的加速度，没有消失，故D错误。
三、超重和失重
【练习10】如图所示，在托盘测力计的托盘内固定一个质量为M的光滑的斜面体，现将一个质量为m的物体放在斜面上，让它自由滑下，则测力计的示数（ ）
A．N＝(M＋m)g
B．N＝Mg
C．N
>
(M＋m)g
D．N
<
(M＋m)g
【答案】D
【解析】
物体加速下滑，其加速度有竖直向下的分量，可视为系统处于失重状态，物体与斜面体整体对测力计的压力小于它们的总重力，D正确。
三、超重和失重
【练习11】如图所示，A、B两物体叠放在一起，以相同的初速度竖直上抛（不计空气阻力）。下列说法正确的是（ ）
A．在上升和下降过程中A对B的压力一定为零
B．上升过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
C．下降过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
D．在上升和下降过程中A对B的压力等于A物体受到的重力
【答案】A
【解析】
由于空气阻力不计，两物体只受重力作用，处于完全失重状态，A对B的压力在上升和下降阶段都为零，若二者之间有作用力，加速度就不是重力加速度g，A正确。
三、超重和失重
【练习12】放在电梯地板上的一个木箱，被一根处于伸长状态的弹簧拉着而处于静止状态，如图所示，后发现木箱突然被弹簧拉动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，据此可判断出电梯的运动情况是（ ）
A．匀速上升
B．加速上升
C．减速上升
D．减速下降
【答案】C
【解析】木箱静止时的受力情况如图所示
则支持力N＝mg，静摩擦力f＝F，若木箱突然被弹簧拉动，说明最大静摩擦力减小，则压力减小，即木箱所受支持力N减小，所以竖直方向mg
>
N，物体处于失重状态，则电梯可能加速下降，也可能减速上升，C正确。
四、等时圆模型
等时圆模型是一类典型的已知受力求运动的题型，通过圆这个典型的对称图形的特征，在光滑的条件下，形成了特殊的运动学现象。
基本的等时圆模型容易理解，遇到构造圆和临界问题时处理较为困难，所以我们这里即讲解基本等时圆模型，也进行拓展，开阔学生视野，提高对牛顿定律的认识。
四、等时圆模型
【例4】如图所示，ad，bd，cd是竖直面内3根固定的光滑细杆，a，b，c，d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点，每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），3个滑环分别从a，b，c处释放（初速为零），用t1，t2，t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ ）
【答案】D
【解析】
设圆环半径为R，杆与水平面的夹角为α，则杆长可表示2Rsinα
四、等时圆模型
【练习13】如图所示，光滑细杆BC，DC和AC分别构成矩形ABCD的两邻边和对角线，，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a，b，d，3小球的质量比为1
∶
2
∶
3
，现让3小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a，b，d
3小球在各杆上滑的时间之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
如图构造等时圆，可知三根光滑杆处于同一个外接圆中
所以下落时间均相同，A正确。
四、等时圆模型
【练习14】如图所示，AB
和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P，有一个
小球由静止分别从A滑到B和从C滑到D，所用的
时间分别为t1和t2，则t1和t2之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
四、等时圆模型
【练习15】如图是一倾角为α的输送带，A处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在A与输送带间建立一光滑管道，使原料从A处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大?
谢谢
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两类动力学问题综合复习
动力学问题是运动学与牛顿定律结合的一类综合问题，一般可分为“已知受力求运动”和“已知运动求受力”两类基本问题。解决动力学问题要抓住两个分析，即受力分析和运动分析；一个桥梁，即加速度的求解。
本节复习中，我们还将讲解超重和失重与等时圆的相关问题，进一步认识牛顿第二定律与运动学的综合问题。
1.受力分析需要书写的方程：
①
无加速度的方向书写平衡方程
②
有加速度的方向书写牛顿第二定律
2.运动学问题分析
(1)
运动过程的分析
①
加速度a与速度v同向→加速运动
若加速度恒定→匀加速直线运动
若加速度增大→加速度增大的加速运动
若加速度减小→加速度减小的加速运动
②
加速度a与速度v反向→减速运动
若加速度恒定→匀减速直线运动
若加速度增大→加速度增大的减速运动
若加速度减小→加速度减小的减速运动
(2)
匀变速直线运动中的常用公式
①
基本运动学公式
速度与时间的关系：
位移与时间的关系：
②
常用的运动学公式推论
位移与速度的关系：
平均速度法：
一、已知受力求运动
【例1】如图所示，一倾角为θ的斜面固定在水平面上，一物块（可视为质点）从静止开始，沿斜面顶端滑下，斜面的高为h，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，则物块从斜面顶端滑至底端所用时间为多大？
【练习1】如图所示，一个物体由A点出发分别沿三条光滑轨道到达C1、C2、C3，则（ ）
A．物体到达C1点时的速度最大
B．物体分别在三条轨道上的运动时间相同
C．物体到达C3的时间最短
D．在C3上运动的加速度最小
【练习2】一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示。在A点，物体开始与弹簧接触，到B点时，物体速度为零，然后被弹回。则下列说法中正确的是（ ）
A．物体在A点的速率最大
B．物体由A点到B点做的是匀减速运动
C．物体在B点时所受合力为零
D．物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大后减小
【练习3】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m的小球，小球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变。若手持挡板A以加速度a(a
<
gsin
θ)沿斜面匀加速下滑，求：
(1)从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间；
(2)从挡板开始运动到小球的速度达到最大，小球经过的最小路程。
【练习4】两个质量相同的小球悬挂在天花板上，A小球通过细绳栓接在天花板上，A、B小球之间用轻弹簧连接，则剪短细绳瞬间，A、B两小球的加速度为多大？
二、已知运动求受力
【例1】民用航空客机的机舱除通常的舱门外还设有紧急出口，发生意外情况的飞机着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊组成的斜面，机舱中的乘客就可以沿斜面迅速滑行到地面上来。若某型号的客机紧急出口离地面高度为4.0
m，构成斜面的气囊长度为5.0
m。要求紧急疏散时，乘客从气囊上由静止下滑到达地面的时间不超过2.0
s（g取10
m/s2），则：
(1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大？
(2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多少？（结果保留两位有效数字）
【练习5】如图所示，有一辆汽车满载西瓜在水平路面上匀速前进．突然发现意外情况，紧急刹车做匀减速运动，加速度大小为a，则中间一质量为m的西瓜A受到其他西瓜对它的作用力的大小是（ ）
A．
B．ma
C．
D．m(g＋a)
【练习6】如图所示，质量为m2的物体2放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为m1的物体1，与物体1相连接的绳与竖直方向成θ角，则（ ）
A．车厢的加速度为gsin
θ
B．绳对物体1的拉力为
C．底板对物体2的支持力为(m2－m1)g
D．物体2所受底板的摩擦力为m2gtan
θ
【练习7】在静止的车厢内，用细绳a和b系住一个小球，绳a斜向上拉，绳b水平拉，如图所示，现让车从静止开始向右做匀加速运动，小球相对于车厢的位置不变，与小车静止时相比，绳a、b的拉力Fa、Fb的变化情况是（ ）
A．Fa变大，Fb不变
B．Fa变大，Fb变小
C．Fa不变，Fb变小
D．Fa不变，Fb变大
【练习8】某气枪子弹的出口速度达100
m/s，若气枪的枪膛长0.5
m，子弹的质量为20
g，若把子弹在枪膛内的运动看做匀变速直线运动，则高压气体对子弹的平均作用力为（ ）
A．1×102
N
B．2×102
N
C．2×105
N
D．2×104
N
【练习9】研究表明，一般人的刹车反应时间（即图甲中“反应过程”所用时间），但饮酒会导致反应时间延长。在某次试验中，志愿者少量饮酒后驾车以的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离、减速过程中汽车位移s与速度v的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动。取重力加速度大小为。求：
(1)减速过程中汽车加速度的大小及所用时间。
(2)饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少。
(3)减速过程中汽车对志愿者作用力的大小与志愿者所受重力大小的比值。
三、超重和失重
1．超重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）大于物体所受重力的现象
(2)产生条件：物体具有向上的加速度
2．失重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）小于物体所受重力的现象
(2)产生条件：物体具有向下的加速度
3．完全失重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）等于零的现象
(2)产生条件：物体竖直向下的加速度等于g
【例3】在田径运动会跳高比赛中，小明成功跳过了1.7
m的高度。若忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小明起跳时地面对他的支持力等于他的重力
B．小明起跳以后在上升过程中处于超重状态
C．小明下降过程处于失重状态
D．小明起跳以后在下降过程中重力消失了
【练习10】如图所示，在托盘测力计的托盘内固定一个质量为M的光滑的斜面体，现将一个质量为m的物体放在斜面上，让它自由滑下，则测力计的示数（ ）
A．N＝(M＋m)g
B．N＝Mg
C．N
>
(M＋m)g
D．N
<
(M＋m)g
【练习11】如图所示，A、B两物体叠放在一起，以相同的初速度竖直上抛（不计空气阻力）。下列说法正确的是（ ）
A．在上升和下降过程中A对B的压力一定为零
B．上升过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
C．下降过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
D．在上升和下降过程中A对B的压力等于A物体受到的重力
【练习12】放在电梯地板上的一个木箱，被一根处于伸长状态的弹簧拉着而处于静止状态，如图所示，后发现木箱突然被弹簧拉动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，据此可判断出电梯的运动情况是（ ）
A．匀速上升
B．加速上升
C．减速上升
D．减速下降
四、等时圆模型
等时圆模型是一类典型的已知受力求运动的题型，通过圆这个典型的对称图形的特征，在光滑的条件下，形成了特殊的运动学现象，基本的等时圆模型容易理解，遇到构造圆和临界问题时处理较为困难，所以我们这里即讲解基本等时圆模型，也进行拓展，开阔学生视野，提高对牛顿定律的认识。
【例4】如图所示，ad，bd，cd是竖直面内3根固定的光滑细杆，a，b，c，d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点，每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），3个滑环分别从a，b，c处释放（初速为零），用t1，t2，t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【练习13】如图所示，光滑细杆BC，DC和AC分别构成矩形ABCD的两邻边和对角线，，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a，b，d，3小球的质量比为1
∶
2
∶
3
，现让3小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a，b，d
3小球在各杆上滑的时间之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【练习14】如图所示，AB
和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P，有一个
小球由静止分别从A滑到B和从C滑到D，所用的
时间分别为t1和t2，则t1和t2之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【练习15】如图是一倾角为α的输送带，A处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在A与输送带间建立一光滑管道，使原料从A处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大?
两类动力学问题综合复习
动力学问题是运动学与牛顿定律结合的一类综合问题，一般可分为“已知受力求运动”和“已知运动求受力”两类基本问题。解决动力学问题要抓住两个分析，即受力分析和运动分析；一个桥梁，即加速度的求解。
本节复习中，我们还将讲解超重和失重与等时圆的相关问题，进一步认识牛顿第二定律与运动学的综合问题。
1.受力分析需要书写的方程：
①
无加速度的方向书写平衡方程
②
有加速度的方向书写牛顿第二定律
2.运动学问题分析
(1)
运动过程的分析
①
加速度a与速度v同向→加速运动
若加速度恒定→匀加速直线运动
若加速度增大→加速度增大的加速运动
若加速度减小→加速度减小的加速运动
②
加速度a与速度v反向→减速运动
若加速度恒定→匀减速直线运动
若加速度增大→加速度增大的减速运动
若加速度减小→加速度减小的减速运动
(2)
匀变速直线运动中的常用公式
①
基本运动学公式
速度与时间的关系
位移与时间的关系
②
常用的运动学公式推论
位移与速度的关系
平均速度法
一、已知受力求运动
【例1】如图所示，一倾角为θ的斜面固定在水平面上，一物块（可视为质点）从静止开始，沿斜面顶端滑下，斜面的高为h，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，则物块从斜面顶端滑至底端所用时间为多大？
【答案】
【解析】
对物块受力分析如图
建立直角坐标系
☆首要原则：加速度要放在某一个坐标轴上，若加速度无法落在坐标轴上（需要分解的力太多），分解加速度即可。
加速度沿斜面向下，牛顿第二定律有
垂直于斜面上，无加速度，平衡方程有
滑动摩擦力有，联立上述方程有
解得加速度为
物块从静止开始下滑，根据运动学公式有
解得下滑时间为
【斜面上物体运动的讨论】
①
若，则，物体做加速运动
②
若，则，物体做运动运动或恰好静止
③
若，则，物体静止于斜面上
【练习1】如图所示，一个物体由A点出发分别沿三条光滑轨道到达C1、C2、C3，则（ ）
A．物体到达C1点时的速度最大
B．物体分别在三条轨道上的运动时间相同
C．物体到达C3的时间最短
D．在C3上运动的加速度最小
【答案】C
【解析】
在沿斜面方向上，物体受重力沿斜面向下的分力，所以根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度，斜面倾角越大，加速度越大，所以C3上运动的加速度最大，根据几何知识可得：物体发生位移为，物体的初速度为零，所以解得
倾角越大，时间越短，物体到达C3的时间最短，根据得，，知到达底端的速度大小相等，故C正确。
【练习2】一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示。在A点，物体开始与弹簧接触，到B点时，物体速度为零，然后被弹回。则下列说法中正确的是（ ）
A．物体在A点的速率最大
B．物体由A点到B点做的是匀减速运动
C．物体在B点时所受合力为零
D．物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大后减小
【答案】D
【解析】
物体在A点时只受重力，仍向下加速，故A错误。从A点向下运动到B点过程中，弹簧弹力增大，合力方向先是向下，逐渐减小，后又变为向上，逐渐增大，所以物体先加速后减速，故B错误。物体能从B点被弹回，说明物体在B点受到的合力不为零，故C错误。从B上升到A过程中，合力先向上后向下，方向与运动方向先相同后相反，也是先加速后减速，D正确。
【练习3】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m的小球，小球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变。若手持挡板A以加速度a(a
<
gsin
θ)沿斜面匀加速下滑，求：
(1)从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间；
(2)从挡板开始运动到小球的速度达到最大，小球经过的最小路程。
【答案】(1)；(2)
【解析】
(1)当小球与挡板分离时，挡板对小球的作用力恰好为零，对小球由牛顿第二定律得
解得小球做匀加速运动的位移为
由得从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间为
(2)小球的速度达到最大时，其加速度为零，则有
得小球从开始运动到速度达到最大，经过的最小路程为
【练习4】两个质量相同的小球悬挂在天花板上，A小球通过细绳栓接在天花板上，A、B小球之间用轻弹簧连接，则剪短细绳瞬间，A、B两小球的加速度为多大？
【答案】，
【解析】
剪断细绳前对A、B两球受力分析如图
剪断瞬间，绳子拉力发生突变，弹簧由于形变较为明显，不发生突变，受力分析如图
则A的加速度为
B球的加速度为0。
【方法总结】
形变不明显的物体，如绳、杆等，受力容易发生突变；
形变明显的物体，如弹簧、弹性绳等，受力不容易发生突变。
二、已知运动求受力
【例1】民用航空客机的机舱除通常的舱门外还设有紧急出口，发生意外情况的飞机着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊组成的斜面，机舱中的乘客就可以沿斜面迅速滑行到地面上来。若某型号的客机紧急出口离地面高度为4.0
m，构成斜面的气囊长度为5.0
m。要求紧急疏散时，乘客从气囊上由静止下滑到达地面的时间不超过2.0
s（g取10
m/s2），则：
(1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大？
(2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多少？（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)2.5
m/s2；(2)0.92
【解析】
(1)由题意可知，h＝4.0
m，L＝5.0
m，t＝2.0
s
设斜面倾角为θ，则
乘客沿气囊下滑过程中，由
得
代入数据得
(2)在乘客下滑过程中，对乘客受力分析如图所示
沿x轴方向有
沿y轴方向有
又，联立方程解得
【练习5】如图所示，有一辆汽车满载西瓜在水平路面上匀速前进．突然发现意外情况，紧急刹车做匀减速运动，加速度大小为a，则中间一质量为m的西瓜A受到其他西瓜对它的作用力的大小是（ ）
A．
B．ma
C．
D．m(g＋a)
【答案】C
【解析】
西瓜与汽车具有相同的加速度a，对西瓜A受力分析如图
F表示周围西瓜对A的作用力，则由牛顿第二定律得
解得
故选C。
【练习6】如图所示，质量为m2的物体2放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为m1的物体1，与物体1相连接的绳与竖直方向成θ角，则（ ）
A．车厢的加速度为gsin
θ
B．绳对物体1的拉力为
C．底板对物体2的支持力为(m2－m1)g
D．物体2所受底板的摩擦力为m2gtan
θ
【答案】BD
【解析】
物体1的合力F＝m1gtan
θ，故车及物体的共同加速度，A错误；绳对物体的拉力，B正确；底板对物体2的支持力，C错误；物体2受到的摩擦力，D正确。
【练习7】在静止的车厢内，用细绳a和b系住一个小球，绳a斜向上拉，绳b水平拉，如图所示，现让车从静止开始向右做匀加速运动，小球相对于车厢的位置不变，与小车静止时相比，绳a、b的拉力Fa、Fb的变化情况是（ ）
A．Fa变大，Fb不变
B．Fa变大，Fb变小
C．Fa不变，Fb变小
D．Fa不变，Fb变大
【答案】C
【解析】
以小球为研究对象，分析受力情况，如图所示，根据牛顿第二定律得
水平方向
①
竖直方向
②
由题知α不变，由②分析知Fa不变，由①知
即Fb变小。
【练习8】某气枪子弹的出口速度达100
m/s，若气枪的枪膛长0.5
m，子弹的质量为20
g，若把子弹在枪膛内的运动看做匀变速直线运动，则高压气体对子弹的平均作用力为（ ）
A．1×102
N
B．2×102
N
C．2×105
N
D．2×104
N
【答案】B
【解析】
根据得
a＝＝
m/s2＝1×104
m/s2
从而得高压气体对子弹的平均作用力
F＝ma＝20×10－3×1×104
N＝2×102
N
【练习9】研究表明，一般人的刹车反应时间（即图甲中“反应过程”所用时间），但饮酒会导致反应时间延长。在某次试验中，志愿者少量饮酒后驾车以的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离、减速过程中汽车位移s与速度v的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动。取重力加速度大小为。求：
(1)减速过程中汽车加速度的大小及所用时间。
(2)饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少。
(3)减速过程中汽车对志愿者作用力的大小与志愿者所受重力大小的比值。
【答案】(1)，；(2)；(3)
【解析】
(1)设减速过程中汽车加速度大小为a，所用时间为t，
由题设可知初速度为，末速度，位移，
根据运动学公式
，
解得
，
(2)设酒后志愿者的反应时间为，反应时间的增加量为，
根据运动学公式
代入数据解得
(3)对志愿者进行受力分析，如图所示
则志愿者所受合力为，汽车对志愿者的作用力满足
则
三、超重和失重
1．超重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）大于物体所受重力的现象
(2)产生条件：物体具有向上的加速度
2．失重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）小于物体所受重力的现象
(2)产生条件：物体具有向下的加速度
3．完全失重
(1)定义：物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）等于零的现象
(2)产生条件：物体竖直向下的加速度等于g
【例3】在田径运动会跳高比赛中，小明成功跳过了1.7
m的高度。若忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小明起跳时地面对他的支持力等于他的重力
B．小明起跳以后在上升过程中处于超重状态
C．小明下降过程处于失重状态
D．小明起跳以后在下降过程中重力消失了
【答案】C
【解析】
小明起跳的初始阶段加速度的方向向上，所以地面对他的支持力大于他的重力，故A错误；起跳以后在上升过程，只受重力的作用，有向下的重力加速度，是处于完全失重状态，故B错误；起跳以后在下降过程，也是只受重力的作用，有向下的重力加速度，是处于完全失重状态，故C正确；小明起跳以后在下降过程中处于完全失重状态，重力提供向下的加速度，没有消失，故D错误。
【练习10】如图所示，在托盘测力计的托盘内固定一个质量为M的光滑的斜面体，现将一个质量为m的物体放在斜面上，让它自由滑下，则测力计的示数（ ）
A．N＝(M＋m)g
B．N＝Mg
C．N
>
(M＋m)g
D．N
<
(M＋m)g
【答案】D
【解析】
物体加速下滑，其加速度有竖直向下的分量，可视为系统处于失重状态，物体与斜面体整体对测力计的压力小于它们的总重力，D正确。
【练习11】如图所示，A、B两物体叠放在一起，以相同的初速度竖直上抛（不计空气阻力）。下列说法正确的是（ ）
A．在上升和下降过程中A对B的压力一定为零
B．上升过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
C．下降过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
D．在上升和下降过程中A对B的压力等于A物体受到的重力
【答案】A
【解析】
由于空气阻力不计，两物体只受重力作用，处于完全失重状态，A对B的压力在上升和下降阶段都为零，若二者之间有作用力，加速度就不是重力加速度g，A正确。
【练习12】放在电梯地板上的一个木箱，被一根处于伸长状态的弹簧拉着而处于静止状态，如图所示，后发现木箱突然被弹簧拉动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，据此可判断出电梯的运动情况是（ ）
A．匀速上升
B．加速上升
C．减速上升
D．减速下降
【答案】C
【解析】木箱静止时的受力情况如图所示
则支持力N＝mg，静摩擦力f＝F，若木箱突然被弹簧拉动，说明最大静摩擦力减小，则压力减小，即木箱所受支持力N减小，所以竖直方向mg
>
N，物体处于失重状态，则电梯可能加速下降，也可能减速上升，C正确。
四、等时圆模型
等时圆模型是一类典型的已知受力求运动的题型，通过圆这个典型的对称图形的特征，在光滑的条件下，形成了特殊的运动学现象，基本的等时圆模型容易理解，遇到构造圆和临界问题时处理较为困难，所以我们这里即讲解基本等时圆模型，也进行拓展，开阔学生视野，提高对牛顿定律的认识。
【例4】如图所示，ad，bd，cd是竖直面内3根固定的光滑细杆，a，b，c，d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点，每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），3个滑环分别从a，b，c处释放（初速为零），用t1，t2，t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
设圆环半径为R，杆与水平面的夹角为α，则杆长可表示2Rsinα
根据牛顿第二定律
环从静止下落，根据运动学公式有
解得下落时间为
可知下落时间均相同，故D正确。
【练习13】如图所示，光滑细杆BC，DC和AC分别构成矩形ABCD的两邻边和对角线，，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a，b，d，3小球的质量比为1
∶
2
∶
3
，现让3小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a，b，d
3小球在各杆上滑的时间之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
如图构造等时圆，可知三根光滑杆处于同一个外接圆中
所以下落时间均相同，A正确。
【练习14】如图所示，AB
和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P，有一个
小球由静止分别从A滑到B和从C滑到D，所用的
时间分别为t1和t2，则t1和t2之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
根据等时圆的模型很容易得到，小球滑至P点时有初速度，所以PB和PD段不宜再直接使用结论。我们转换思路，直接研究AB整段长度，假设AB杆与竖直方向夹角为α，则根据牛顿第二定律可知
AB长度为，根据运动学公式可知
解得时间为
可知小球下落时间与角度无关，所以下落时间仍然相等，此类模型也是等时圆的经典模型。
【练习15】如图是一倾角为α的输送带，A处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在A与输送带间建立一光滑管道，使原料从A处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大?
【答案】
【解析】
如图所示，首先过A点做一条竖直线AB，在AB上选取一点为圆心，以A点为最高点做等时圆如图虚线1
此时与传送带的交点即为原料的落点，调整圆的方向和大小，直到等时圆与传送带相切，此时原料落在传送带上的时间最短，图中AC即为管道方向，O为圆心，，α为等腰三角形的外角，所以管道与竖直方向的夹角为。
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◎换行后的缩进量():25厘米
○换行后右对齐(H)
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