2020-2021学年江苏泰州高三上数学第二次月考试卷 Word版含解析

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷
一、选择题
?
1. 若?π2<α<0，则点P(tanα,?cosα)位于(? ? ??)




A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
?
2. 已知点P(sin34π，?cos34π)落在角θ的终边上，且θ∈[0,?2π)，则θ的值为(? ? ? ? )




A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4
?
3. 若角α终边落在射线y=?x(x≥0)上，则sinα1?sin2α+1?cos2αcosα=(? ? ? ? )




A.0 B.1 C.?1 D.2
?
4. 若cos?α=?45，α是第三象限的角，则sin(α+π4)=(? ? ? ? )




A.?7210 B.7210 C.?210 D.210
?
5. 若函数f(x)=?cosπx，x>0，f(x+1)+1，x≤0，?则f(?43)的值为(? ? ? ? )




A.0 B.52 C.?52 D.2
?
6. sin29π6+cos?29π3?tan25π4=(? ? ? ? )




A.0 B.1 C.?12 D.12
?
7. 已知函数f(x)=tan(π2x+π3)的最小正周期是(? ? ? ? )




A.1 B.2 C.3 D.4
?
8. 若函数y=2cos?x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(? ? ? ? )




A.4 B.8 C.2π D.4π
?
9. 已知函数f(x)=sinx+acosx(a∈R)图象的一条对称轴是x=π6，则a的值为(? ? ? ? )




A.5 B.5 C.3 D.3
?
10. 将函数y=5sin2x+φ的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能值为(? ? ? ? )




A.3π4 B.π2 C.π4 D.?π4
?
11. 下列函数中，是奇函数的是(? ? ? ? )


A.y=x2sinx B.y=sinx?，x∈0,2π
C.y=sinx?，x∈?π,π D.y=xcosx
?
12. 把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=fx的图象，对于函数y=fx有以下四个判断，其中正确的是(? ? ? ? )
A.函数的解析式为y=2sin2x+π6
B.函数图象关于点π3,0对称
C.函数在0,π6上是增函数
D.函数y=fx+a在0,π2上的最小值为3，则a=23
?
13. 在△ABC中， A=30?，b=3，c=1，则a=(? ? ? ? )




A.2 B.3 C.2 D.1
?
14. 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则C=(? ? ? ? )




A.30? B.60? C.120? D.150?
?
15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=60?，b=2，c=1，则△ABC的面积为(? ? ? ? )




A.12 B.32 C.1 D.3
?
16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2B=bcosAcosB，则△ABC的形状是(? ? ? ? )




A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
二、多选题
?
17. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有(? ? ? ? )
A.sin(B+C)=sinA
B.cos(A+B)=cosC
C.若A>B，则sinA>sinB
D.若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
?
18. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=6，sinA=2sinC，则以下四个结论正确的有(? ? ? ? )
A.△ABC不可能是直角三角形
B.△ABC有可能是等边三角形
C.当A=B时，△ABC的周长为15
D.当B=π3时， △ABC的面积为63
三、填空题
?
19. 若sin(π?α)=45，α∈(0,?π2)，则sin2α?cos2?α2的值等于________.
?
20. 已知函数f(x)=2?|x|,x≤2，(x?2)2，x>2，函数g(x)=b?f(2?x)，其中b∈R，若函数y=f(x)?g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是________.
?
21. cos1，cos2，cos3的大小关系是________.（用">"连接）
?
22. 将函数y=sinωx+π3ω>0的图像向左平移π2个单位后，所得到图像与原图像的对称中心相同，则ω的最小值为________.
?
23. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=13，b=3，A=60?，则△ABC的面积为________.
?
24. 设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知A=π3，b=1，且(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C?sin2A)，则a=________.
四、解答题
?
25. 已知函数g(x)=x2?(2a+1)x+alnx.
(1)当a=1时，求函数g(x)的单调增区间；

(2)求函数g(x)在区间[1,?e]上的最小值；
?
26. 已知函数fx=2cosxsinx+cosx+a，当x∈0,π2时， fx的最小值为?1.
(1)求a的值及fx的单调递增区间；

(2)若fα=23，α∈π8,3π8，求cos2α的值．
?
27. 已知函数fx=3sinωx?cosωx+cos2ωx?12ω>0，其最小正周期为π.
(1)求fx的解析式；

(2)将函数fx的图像向右平移π12个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图像，若关于x的方程g2x?a+3gx+3a=0在?π3,2π3上有两个实数根，求实数a的取值范围.
?
28. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2?b2=2ac.
(1)求B的值；

(2)若cosA=13，求sinC的值．
?
29. 在①sinA=2sinB，②c=5，③a2+b2?c2=?2ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c且cosB=31010，________，________，求△ABC的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
由于?π2<α<0，可得tanα<0，cosα>0，从而可得答案．
【解答】
解：∵ ?π2<α<0，
∴ tanα<0，cosα>0，即点P(tanα,?cosα)位于第二象限．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
三角函数线
【解析】
解出点P的具体坐标，即可求解θ的值．
【解答】
解：点P(sin34π，?cos34π)?，即(22，?22)，
它落在角θ的终边上，且θ∈[0,?2π)，
∴ θ=7π4.
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
三角函数线
【解析】
由题意可得，α为第IV象限的角，从而可知sinα<0，cosα>0，可得答案．
【解答】
解：∵ 角α终边落在射线y=?x(x≥0)上，
∴ α为第四象限的角，且sinα<0，cosα>0，
∴ sinα1?sin2α+1?cos2αcosα=sinαcosα+(?sinαcosα)=0.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．
【解答】
解：∵ α是第三象限的角，
∴ sinα=?1?1625=?35，
∴ sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4
=?35×22?45×22=?7210．
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
【解析】
利用分段函数解析式，结合特殊角的三角函数，即可得出结论．
【解答】
解：∵ f(x)=?cosπx，x>0，f(x+1)+1，x≤0，
∴ f(?43)=f(?43+1)+1=f(?43+2)+2=?cos2π3+2=52.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
无
【解答】
解：原式=sin5π6+cos?10π+π3?tan6π+π4
=sin?5π6+cos?π3?tan?π4
=sinπ?π6+12?1
=sin?π6?12
=12?12=0．
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
正切函数的周期性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于函数f(x)=tan(π2x+π3)，
它的周期等于T=ππ2=2．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
余弦函数的图象
【解析】
画出函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，作出y＝2的图象，容易求出封闭图形的面积．
【解答】
解：观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，
有S1=S2，S3=S4，因此函数y=2cos?x的图象与直线y=2所围成的图形面积，
可以等价转化为求矩形OABC的面积.
∵ |OA|=2，|OC|=2π，
∴ S矩形OABC=2×2π=4π．
∴ 所求封闭图形的面积为4π．
故选D.
9.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的对称性
【解析】
利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x=π6，函数取得最值，求出a的值即可．
【解答】
解：∵ y=sinx+acosx=a2+1sin(x+φ)，
其中tanφ=a，
其在对称轴x=π6处取得最大值或最小值，
∴ sinπ6+acosπ6=±a2+1，
∴ 12+3a2=±a2+1，
解得a=3.
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的奇偶性
【解析】
无
【解答】
解：将函数y=5sin2x+φ的图象沿x轴向左平移π8个单位后，
得到fx=5sin2x+π4+φ.
由于fx=5sin2x+π4+φ为偶函数，
所以π4+φ=kπ+π2，?k∈Z，整理得φ=kπ+π4k∈Z.
当k=0时，φ=π4．
故选C．
11.
【答案】
A,C,D
【考点】
余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
函数奇偶性的判断
【解析】
无
【解答】
解：对A，由y=fx=x2sinx，定义域为R，
且f?x=?x2sin?x=?x2sinx=?fx，
故函数y=x2sinx为奇函数，故A正确；
对B，由函数的定义域为x∈[0,2π]，故该函数为非奇非偶函数，故B错；
对C，y=gx=sinx，定义域关于原点对称，且g?x=sin?x=?sinx=?gx，是奇函数，故C正确；
对D，y=mx=xcosx的定义域为R，且m?x=?xcos?x=?xcosx=?mx，
故该函数为奇函数，故D正确．
故选ACD．
12.
【答案】
B,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移π6个单位得到
y=sin2x+π6=sin2x+π3的图象，
然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin2x+π3的图象，所以A不正确．
y=fπ3=2sin2×π3+π3=2sinπ=0，
所以函数图象关于点π3,0对称，所以B正确．
由?π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，?k∈Z，得?5π12+kπ≤x≤π12+kπ?，k∈Z.
即函数的单调增区间为?5π12+kπ,π12+kπ，?k∈Z.
当k=0时，增区间为?5π12,π12，所以C不正确．
y=fx+a=2sin2x+π3+a，
当0≤x≤π2时，π3≤2x+π3≤4π3，
故?32≤sin2x+π3≤1.
所以当2x+π3=4π3，即x=π2时，函数fx取得最小值，
ymin=2sin4π3+a=?3+a=3，
所以a=23.
所以D正确．
故选BD．
13.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
?
【解答】
解：∵ A=30?，B=3，c=1，
∴ a2=b2+c2?2bccosA
=(3)2+12?2×3×1×cos30?
=1，
∴ a=1.
故选D．
14.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
由已知及正弦定理知：sinA:sinB:sinC=a:b:c=3:5:7，根据大边对大角，故∠C最大，不妨设：a=3t，b=5t，c=7t，t>0即可求得cosC的值，从而可求C的值．
【解答】
解：由已知及正弦定理知：sinA:sinB:sinC=a:b:c=3:5:7，
根据大边对大角，故∠C最大，
不妨设：a=3t，b=5t，c=7t，t>0，
cosC=a2+b2?c22ab=?15t230t2=?12，
由于0<∠C<180?，
所以∠C=120?.
故选C.
15.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
直接利用三角形的面积公式，求△ABC的面积．
【解答】
解：在△ABC中，
∵ A=60?，b=2，c=1，
∴ S△ABC=12bc?sinA=12×2×1×32=32．
故选B.
16.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的余弦公式
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为asin2B=bcosAcosB，
所以sinAsin2B=sinBcosAcosB，
所以sinB(sinAsinB?cosAcosB)=0，
即?sinBcos(A+B)=0.
因为0所以A+B=π2，
故△ABC是直角三角形.
故选B.
二、多选题
17.
【答案】
A,C
【考点】
命题的真假判断与应用
正弦定理
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
利用三角形的内角和以及正弦定理，三角方程转化求解判断选项的正误即可．
【解答】
解：因为三角形中，A=π?(B+C)，
所以sinA=sin(π?B?C)=sin(B+C)，所以A正确；
cosA=cos[π?(B+C)]=?cos(B+C)，所以B不正确；
在△ABC中，若A>B，则a>b，即有2RsinA>2RsinB，故sinA>sinB，所以C正确；
sin2A=sin2B，可得2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以D不正确.
故选AC.
18.
【答案】
C,D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
?
【解答】
解：由正弦定理得a=2c，
对选项A，若A直角，则a2=b2+c2?(2c)2=36+c2?c=23，
所以存在△ABC是直角三角形，故A错误；
对选项B，因为a=2c，
所以不存在在△ABC是等边三角形，故B错误；
对选项C，若A=B，则a=b=6，c=3，△ABC的周长为15，
故C正确；
对选项D，cosB=a2+c2?b22ac=4c2+c2?362×2c2=12，
解得c=23，a=43，
所以S=12acsinB=63，故D正确．
故选CD.
三、填空题
19.
【答案】
425
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
根据三角函数的诱导公式求出cosα，结合三角函数的倍角公式进行化简即可．
【解答】
解：由sin(π?α)=45，α∈(0,?π2)，
得sinα=45，cosα=35，
则sin2α?cos2α2
=2sinαcosα?1+cosα2
=2×35×45?1+352
=2425?45=425.
故答案为：425.
20.
【答案】
74【考点】
根的存在性及根的个数判断
分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】
求出函数y=f(x)?g(x)的表达式，构造函数h(x)=f(x)+f(2?x)，作出函数h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】
解：∵ g(x)=b?f(2?x)，
∴ y=f(x)?g(x)=f(x)?b+f(2?x)，
由f(x)?b+f(2?x)=0，得f(x)+f(2?x)=b.
设h(x)=f(x)+f(2?x)，
若x<0，则?x>0，2?x>2，
则h(x)=f(x)+f(2?x)=2+x+x2，
若0≤x≤2，则?2≤?x≤0，0≤2?x≤2，
则h(x)=f(x)+f(2?x)=2?x+2?2+x=2，
若x>2，?x则h(x)=f(x)+f(2?x)
=(x?2)2+2?|2?x|=x2?5x+8．
即h(x)=x2+x+2，x<0，2,0≤x≤2x2?5x+8，x>2，，
作出函数h(x)的图象如图：
当x≤0时，h(x)=2+x+x2=(x+12)2+74≥74，
当x>2时，h(x)=x2?5x+8=(x?52)2+74≥74，
故当b=74时，h(x)=b，有两个交点，
当b=2时，h(x)=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f(x)?g(x)恰有4个零点，
即h(x)=b恰有4个根，
则满足74故答案为：7421.
【答案】
cos1>cos2>cos3
【考点】
余弦函数的单调性
【解析】
利用余弦函数的单调性即可判断cos1，cos2，cos3的大小关系．
【解答】
解：∵ 余弦函数y=cosx在(0,?π)上单调递减，
又∵ 0<1<2<3<π，
∴ cos1>cos2>cos3．
故答案为：cos1>cos2>cos3.
22.
【答案】
2
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：函数y=sinωx+π3ω>0的图象向左平移π2个单位后，
所得到图像与原图象的对称中心相同，
所以π2=kπω，则ω=2k，当k=1时有最小值2．
故答案为：2．
23.
【答案】
33
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由余弦定理得a2=b2+c2?2bccos?A，
整理得c2?3c?4=0，且c>0，
解得c=4.
∴ △ABC的面积为S△ABC=12bcsin?A=12×3×4×32=33．
故答案为：33．
24.
【答案】
2
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解．
【解答】
解：因为(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C?sin2A)，
所以(a2+4b2)c=8(b2+c2?a2)，又b=1，
所以(a2+4b2)bc=8(b2+c2?a2)，
所以a2+4b22=8×b2+c2?a22bc=8cosA=4，
则a2+42=4，
解得a=2．
故答案为：2.
四、解答题
25.
【答案】
解：(1)当a=1时，g(x)=x2?3x+lnx，
∴ g′(x)=2x2?3x+1x>0，
解得x>1或x<12．
∴ 函数f(x)的单调增区间为(0,?12)，(1,?+∞)．
(2)g(x)=x2?(2a+1)x+alnx，
g′(x)=2x?(2a+1)+ax
=2x2?(2a+1)x+ax
=(2x?1)(x?a)x.
当a≤1时，x∈[1,?e]，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=?2a.
当1x∈(1,?a)，则g′(x)<0，g(x)单调递减．
x∈(a,?e)，则g′(x)>0，g(x)单调递增．
g(x)min=g(a)=?a2?a+alna，
当a≥e时，x∈[1,?e]，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
g(x)min=e2?(2a+1)e+a．
∴ g(x)?min=?2a，a≤1，?a2?a+alna，1【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
(1)由g′(x)=2x2?3x+1x>0，能求出函数f(x)的单调增区间．
(2)g′(x)=2x?(2a+1)+ax=(2x?1)(x?a)x=0，由此根据a的取值范围分类讨论，能求出g(x)min．
【解答】
解：(1)当a=1时，g(x)=x2?3x+lnx，
∴ g′(x)=2x2?3x+1x>0，
解得x>1或x<12．
∴ 函数f(x)的单调增区间为(0,?12)，(1,?+∞)．
(2)g(x)=x2?(2a+1)x+alnx，
g′(x)=2x?(2a+1)+ax
=2x2?(2a+1)x+ax
=(2x?1)(x?a)x.
当a≤1时，x∈[1,?e]，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=?2a.
当1x∈(1,?a)，则g′(x)<0，g(x)单调递减．
x∈(a,?e)，则g′(x)>0，g(x)单调递增．
g(x)min=g(a)=?a2?a+alna，
当a≥e时，x∈[1,?e]，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
g(x)min=e2?(2a+1)e+a．
∴ g(x)?min=?2a，a≤1，?a2?a+alna，126.
【答案】
解：(1)fx=sin2x+1+cos2x+a
=2sin2x+π4+a+1，
因为x∈0,π2，所以2x+π4∈π4,5π4，
即2x+π4=54π时，fx取得最小值．
故fxmin=2×?22+a+1=?1，即a=?1．
所以fx=2sin2x+π4．
由于?π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，
所以?38π+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，
所以fx的单调递增区间为?38π+kπ,π8+kπ，k∈Z．
(2)因为fα=23，
所以sin2α+π4=13.
又α∈π8,3π8，
所以2α+π4∈π2,π，cos2α+π4=?223，
所以cos2α=cos(2α+π4)?π4，
=cos(2α+π4)cosπ4+sin(2α+π4)sinπ4=2?46．
【考点】
两角和与差的余弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
运用诱导公式化简求值
函数的单调性及单调区间
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)fx=sin2x+1+cos2x+a
=2sin2x+π4+a+1，
因为x∈0,π2，所以2x+π4∈π4,5π4，
即2x+π4=54π时，fx取得最小值．
故fxmin=2×?22+a+1=?1，即a=?1．
所以fx=2sin2x+π4．
由于?π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，
所以?38π+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，
所以fx的单调递增区间为?38π+kπ,π8+kπ，k∈Z．
(2)因为fα=23，
所以sin2α+π4=13.
又α∈π8,3π8，
所以2α+π4∈π2,π，cos2α+π4=?223，
所以cos2α=cos(2α+π4)?π4，
=cos(2α+π4)cosπ4+sin(2α+π4)sinπ4=2?46．
27.
【答案】
解：(1)fx=3sinωx?cosωx+cos2ωx?12
=32sin2ωx+cos2ωx+12?12
=sin2ωx+π6,
由题意知fx的最小正周期为π，则2ω=2πT=2?，ω=1.
∴ fx=sin2x+π6．
(2)将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，
得到y=sin2x再将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到：gx=sinx.
∵ g2x?a+3sinx+3a=0，
sin2x?a+3sinx+3a=0，
sinx?3sinx?a=0，
解得sinx=3（舍去），sinx=a.
根据题意，求在?π3,2π3上sinx=a有两个实数根时a的取值范围，
由y=sinx，?x∈?π3,2π3与y=a的图象知，
当32≤a<1时，y=sinx，x∈?π3,2π3与y=a的图象有2个交点，
∴ a∈32,1．
【考点】
正弦函数的周期性
由函数零点求参数取值范围问题
三角函数的恒等变换及化简求值
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)fx=3sinωx?cosωx+cos2ωx?12
=32sin2ωx+cos2ωx+12?12
=sin2ωx+π6,
由题意知fx的最小正周期为π，则2ω=2πT=2?，ω=1.
∴ fx=sin2x+π6．
(2)将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，
得到y=sin2x再将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到：gx=sinx.
∵ g2x?a+3sinx+3a=0，
sin2x?a+3sinx+3a=0，
sinx?3sinx?a=0，
解得sinx=3（舍去），sinx=a.
根据题意，求在?π3,2π3上sinx=a有两个实数根时a的取值范围，
由y=sinx，?x∈?π3,2π3与y=a的图象知，
当32≤a<1时，y=sinx，x∈?π3,2π3与y=a的图象有2个交点，
∴ a∈32,1．
28.
【答案】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理可知cos?B=a2+c2?b22ac.
因为a2+c2?b2=2ac，
所以cos?B=22.
又B∈0,π，得B=π4．
(2)因为cos?A=13，A∈0,π，
所以sin?A=1?cos2?4=223.
在△ABC中，A+B+C=π.
则sin?C=sinπ?A+B=sinA+B
=sinA+π4
=22sin?A+22cos?A
=2+46．
【考点】
余弦定理
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理可知cos?B=a2+c2?b22ac.
因为a2+c2?b2=2ac，
所以cos?B=22.
又B∈0,π，得B=π4．
(2)因为cos?A=13，A∈0,π，
所以sin?A=1?cos2?4=223.
在△ABC中，A+B+C=π.
则sin?C=sinπ?A+B=sinA+B
=sinA+π4
=22sin?A+22cos?A
=2+46．
29.
【答案】
解：若选①②，由已知得sinB=1?cos2B=1010，sinA=2sinB=55，
则cosA=±1?sin2A=±255，三角形有两解，不合题意；
若选①③，由已知得cosC=a2+b2?c22ab=?22，C∈0,π?，C=3π4，
sinB=1010，sinA=2sinB=55.
则A角也唯一确定，但三角形的边长不可求，三角形不唯一，不合题意；
只能选②③．
在△ABC中，由余弦定理，得cosC=a2+b2?c22ab，
因为a2+b2?c2=?2ab（*），
所以cosC=?22，
又0故C=3π4．
因为sin2B+cos2B=1，cosB=31010，0所以sinB=1010．
在△ABC中，由正弦定理，?b=csin?Bsin?C=522×1010=1．
又c=5，代入（*）得，a2+2a?4=0，解得a=2（负舍），
于是△ABC存在且唯一．
所以S△ABC=12absinC=12×2×1×22=12．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：若选①②，由已知得sinB=1?cos2B=1010，sinA=2sinB=55，
则cosA=±1?sin2A=±255，三角形有两解，不合题意；
若选①③，由已知得cosC=a2+b2?c22ab=?22，C∈0,π?，C=3π4，
sinB=1010，sinA=2sinB=55.
则A角也唯一确定，但三角形的边长不可求，三角形不唯一，不合题意；
只能选②③．
在△ABC中，由余弦定理，得cosC=a2+b2?c22ab，
因为a2+b2?c2=?2ab（*），
所以cosC=?22，
又0故C=3π4．
因为sin2B+cos2B=1，cosB=31010，0所以sinB=1010．
在△ABC中，由正弦定理，?b=csin?Bsin?C=522×1010=1．
又c=5，代入（*）得，a2+2a?4=0，解得a=2（负舍），
于是△ABC存在且唯一．
所以S△ABC=12absinC=12×2×1×22=12．