沪教版数学九年级上册26.1待定系数法求二次函数的解析式教案（表格式 含答案）

教育个性化辅导授课案
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.
课题
待定系数法求二次函数的解析式
教学目标考点分析
1.
能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2.
经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．
教学
重点难点
重点：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式
教学过程
【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式
：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x2+x；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c
(a≠0).举一反三：【变式】已知：抛物线经过A（0，），B（1，），C（，）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设(a≠0)，据题意列，解得，所得函数为对称轴方程：，顶点.2.（2015?巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）．（2）令，得，解方程，得，．
∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.3．（2016?丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　
　．当x　
　时，y＞0．【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y＞0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值．【答案】y=x2﹣4x+3．x＜1，或x＞3【解析】解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），将（0，3）代入，3=a（0﹣1）（0﹣3），解得a=1．故函数表达式为y=x2﹣4x+3．由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．4.
已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】
设所求抛物线的解析式为（）.由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围.5.
（2016?丹阳市校级模拟）形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为　
　．【思路点拨】形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为y=﹣2（x﹣h）2+k，其中（h，k）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．【答案】y=﹣2x2﹣5．【解析】
解：∵形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为y=﹣2（x﹣h）2+k，将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x﹣0）2﹣5，即y=﹣2x2﹣5．∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．6.
已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：
，，
则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，所以抛物线的函数关系式为；解法：设抛物线的函数关系式为两点式：(a≠0)，把（－1，4）代入得，所以抛物线的函数关系式为：；【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【变式】已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式　
．【答案】y=﹣x2﹣2x+　.提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+，将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0，解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+，∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+．类型二、用待定系数法解题7．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)求△ABC的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得，∴
．∴
．
即．(2)由(1)知C(0，8)，∴
．【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．8.（2015春?石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．
【答案与解析】
解：（1）由二次函数图象知，函数与x轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），又∵函数与y轴交于点（0，2），代入解析式得，a×（﹣3）=2，∴a=﹣，∴二次函数的解析式为：，即；（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=，∴△ABP的面积S===．【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.举一反三：【变式】已知二次函数图象的顶点是，且过点．（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）；（2）证明：若点在此二次函数的图象上，则．
得．
△=，该方程无实根．
所以原结论成立．
教学反思
本次课后作业
一、选择题
1.
（2016?厦门校级模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）A．E，F
B．E，G
C．E，H
D．F，G2．二次函数有(
)
A．最小值-5
B．最大值-5
C．最小值-6
D．最大值-63．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（
）A.
y=3(x－3)2+2
B.y=3(x+3)2+2
C.y=3(x－3)2－2
D.
y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为
(
)
A.(2，3)
B.(3，2)
C.(3，3)
D.(4，3)5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为(
)A．1
B．2
C．3
D．46．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x-7-6-5-4-3-2Y-27-13-3353
则当x＝1时，y的值为
(
)
A．5
B．-3
C．-13
D．-27二、填空题7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____
____．
第7题
第10题8．（2016?河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　
　．9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是____
____．11．已知二次函数
(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：…-101……-2-20…
则该二次函数的解析式为_____
___．12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为___
_____．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．
(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；
(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；
(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．15．（2015?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
【答案与解析】一、选择题
1.【答案】C．【解析】∵F（2，2），G（4，2），∴F和G点为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∴H（3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+1，把E（0，10）代入得9a+1=10，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）2+1．2.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即，
∵
a＝1＞0，∴
x＝-1时，．3.【答案】A；
4.【答案】D；【解析】∵
点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，
∴
点A与点B关于对称轴x＝2对称，
又∵
A(0，3)，
∴
AB＝4，yB＝yA＝3，
∴
点B的坐标为(4，3)．5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，∴
移动的距离．6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．
观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．
∴
x＝1时，y＝-27．二、填空题7．【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则．8.【答案】（1，4）．【解析】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，∴代入得：，解得：b=2，c=3，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．9．【答案】(1)x＝1；(1，3)；
【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.
10．【答案】；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b＝-1，
∴
对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11．【答案】；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，用待定系数法求解．
设二次函数解析式为(a≠0)，
由表知
解得
∴
二次函数解析式为．
12．【答案】；【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】
(1)∵
顶点是(1，2)，
∴
设(a≠0)．
又∵
过点(2，3)，∴
，∴
a＝1．
∴
，即．
(2)设二次函数解析式为(a≠0)．
由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得
解得
故所求的函数解析式为．
(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，
∴
设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵
过点(0，-3)，
∴
a(0-1)(0-3)＝-3，∴
a＝-1，∴
y＝-(x-1)(x-3)，即．14.【答案与解析】
过C点作CD⊥x轴于D．
在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．
由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，
∴
AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，
∴
C点的坐标为(3，1)．
设所求抛物线的解析式为，
则有，解得，
∴
所求抛物线的解析式为．
15.【答案与解析】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．
课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成□
提前完成□
延后完成□
学生的接受程度：完全能接受□
部分能接受□
不能接受□
学生的课堂表现：很积极□
比较积极□
一般□
不积极□
学生上次的作业完成情况：数量
%
完成质量
分,存在问题:
教师留言：
教师签名：家长留言：
家长签名：
时间
教研组长审批
教学校长审批
Syman