华东师大版数学九年级上册 24.2 直角三角形的性质教学 课件（25张）

(共25张PPT)
24.2
直角三角形的性质
温故知新
1.我们已经学习了直角三角形的哪些性质？
例如：1、角与角的关系：
直角三角形的两锐角互余。
2、边与边的关系：（勾股定理）
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3、边角关系：
这将是本章要研究的内容，在学习它之前，我们先来探索直角三角形的其他性质。
其逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足
，那么这个三角形是直角三角形，且c边对的是直角。
2、什么是直角三角形？
有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
直角三角形可表示：
Rt△ABC
A
C
B
斜边
直角边
直角边
猜想：直角三角形的两个锐角有什么关系？
的性质
直角三角形
矩形的判定：
定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
有一个角是直角的平行四边形叫是矩形
温故知新
直角三角形的两个锐角互余
定理1
B
A
C
在Rt
△ABC中，∠C=90
°
∠A
+∠B=90
°.
已知：
求证：
证明：
∵在
△ABC中，
∠A
+∠B+∠C=180
°
（三角形的内角和是180
°）
又∵∠
C=90
°（已知）
∴
∠A
+∠B=90
°（等式性质）
∵
∴
符号语言
直角三角形的两个锐角互余
定理1
B
A
C
在Rt
△AB
C中，∠ACB=90
°
（1）如果∠B=75°，则
∠A=___
°;
练习1：
（2）如果∠A-∠B=10°,则
∠
A=____°,
∠
B=____°;
（3）如果CD是AB边上的高,
图中有____对互余的角;
有___对相等的锐角.
D
1
2
∠A
+∠2=90
°
∠A
+∠B=90
°
∠1
+∠B=90
°
∠1
+∠2=90
°
15
50
40
4
2
c
a
b
定理2;
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么
a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
弦
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3，性质定理2
B
A
C
在Rt△ABC中，?ACB=90°，
CM是斜边AB上的中线
已知：
求证：
∵
∴
CM=
AB.
M
符号语言
B
A
C
M
E
F
B
A
C
M
C1
截半
倍长
胜者的“钥匙”
证明命题的一般步骤:
回顾与思考
?
(1)根据题意,画出图形；
(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
(3)在“证明”中写出推理过程.
　　依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.
已知：如图在RtΔABC中，∠ACB=900,CD是斜边AB上的中线。
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=DB
又∵DE=CD，
∴CE=AB
又∵
∠ACB=900
求证：CD=
AB
E
延长CD到E，使DE=CD,连接AE，BE。
证明：
∴四边形ACBD是平行四边形。
∴四边形ACBD是矩形，
∴CD=
CE
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
性质3：
C
B
A
D
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
推论：
几何语言：
在ΔABC中，CD是边AB上的中线，
且
∴ΔABC是直角三角形
小结：
1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的定理：
“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”
2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段使它等于短，再证中点。
（2）如图，
∠BCA=900一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2，则斜坡的坡比为______
练一练
（1）在Rt△ABC中，∠C=900，AC=
BC=1，则AB边上的中线长为________
练一练
（3）如图，在Rt△ABC中,中∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线,已知∠DCA=250,
∠A=
,
∠B=
;
250
650
P104练习第1题
1、已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和
cm。求斜边上的中线的长。
C
B
A
D
(3)
4,已知：如图，在△
ABC中，AD
⊥
BC，
E、F分别是AB、AC的中点，且DE=DF
求证：AB=AC.
D
：
直角三角形的性质
A
B
C
E
F
等腰三角形底边上的中点
中点
直角三角形斜边上的中点
在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于30°
A
B
C
求证：∠A=
30°
D
说明：上面两个性质只能局限于填空和选择题
已知：在RtΔABC中，∠ACB=900,
BC=
AB
例:求证：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的一半。
已知：在RtΔABC中，∠ACB=900,
∠A=
30°
A
B
C
D
证明其逆命题
求证：BC=
AB
证明：
作斜边AB上的中线CD，则
CD=
AB=AD=BD
斜边上的中线等于斜边的一半）
(直角三角形
∵
∠A=300
∴
∠B=600
∴
ΔCDB是等边三角形。
∴BC=BD=
AB
性质4：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的一半。
P104
的练习第2题
北
东
A
.
D
O
600
B
2、如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点O处时，发现A岛在北偏东600
的方向，且与轮船相距
海里。该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗？
P104
的练习第3题
3、如图是某商店营业大厅主动扶梯的示意图，主动扶梯AB的倾斜角为300
，大厅两层之间的距离BC为6米，你能算出主动扶梯AB的长吗？
A
C
B
300
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于30°
1、性质定理(3)
逆定理
2、性质定理(4)
逆定理
小结
例:已知：如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F分别是BC，DE的中点。试判断FG与DE的位置关系，并加以证明。
证明：
连接GE、GD.
∵
BD，CE是高，
FG
⊥DE.理由如下：
∴∠BDC=∠BEC=900
又∵G是BC的中点
∴GD=
BC
GE=
BC
∴GD=GE
又∵F是DE的中点
∴
FG
⊥DE
(等腰三角形“三线合一”。）
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.）
变式：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=
∠ADC=900，M是AC的中点，N是BD的中点。试判断MN与BD的位置关系，并加以证明。
课堂小结：
证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，
（１）常用的定理：
（2）添辅助线的方法：
“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”
延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的上截取中点,再证中点取得的一半等于短的，
P105习题中第3题
3、如图，小明在汽车上看见前面山上有个气象站，仰角为150
，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明看气象站的仰角为300
。你能算出这个气象站离地面的高度吗？
150
300
4千米
150