人教版九年级数学上册考点与题型归纳：25.1随机事件与概率（基础与培优）（Word版 含解析）

人教版九年级数学上册第二十五章
概率初步
25.1
随机事件与概率
一：考点归纳
考点一、必然事件、不可能事件与随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为
必然事件
．相反地，有些事件必然不会发生，
这样的事件称为
不可能事件
；必事件与不可能事件统称为
确定性事件
．
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为
随机事件
．
在必然事件、不可能事件与随机事件的定义中提到的“一定条件下”是指试验要在相同条件下进行，不同的条件可能会导致不同的事件归类．
②事件的分类：
随机事件
又叫偶然性事件，它与确定性事件相对，即事件可分为确定性事件与偶然性事件两类．必然事件，不可能事件，?随机事件
事件?确定性事件?
考点二、概率
定义：一般地，对于一个随机事件
A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件
A发生的概率
，记为
P（A）．
计算公式：一般地，如果在一次试验中，有
n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件
A包含其中的
m种结果，那么事件
A发生的概率
P（A）．
取值范围：0≤P（A）≤1.特别地，当
A为必然事件时，P（A）=1；当
A为不可能事件时，P（A）=0；
事件发生的可能性越大，它的概率越接近
1；反之，事件发生的可能性小，它的概率越接近
0．
二：【题型归纳】
题型一：随机事件
1．下列事件中，是必然事件的是（
）
A．购买一张彩票，中奖
B．明天一定是晴天
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．今天是星期三，明天是星期四
2．下列事件中，是必然事件的是（
）
A．2021年日本东京举办奥运会
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
题型二：可能性大小
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（
）
A．每两次必有1次反面朝上
B．可能有50次反面朝上
C．必有50次反面朝上
D．不可能有100次反面朝上
4．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（　　）
A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件
B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为
题型三、等可能事件
4．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
5．下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（　　）
A．交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率
B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率
C．小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率
D．小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率
6．在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个实验中不能代替此实验的是（　　）
A．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
B．扔一枚正六面体的骰子
C．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人
D．两张扑克，“方块”代替“正面”，“梅花”代替“反面”
题型四、概率计算
7．小芳挪一枚质地均匀的硬币10次，有7次正面向上，当她挪第11次时，正面向上的概率为（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
8．“从一布袋中随机摸出1球恰是黄球的概率为”的意思是
（
▲
）
A．摸球5次就一定有1次摸中黄球
B．摸球5次就一定有4次不能摸中黄球
C．如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次就有一次摸中黄球
D．布袋中有1个黄球和4个别的颜色的球
三：基础巩固和培优
一、单选题
1．下列事件，是必然事件的是（
）
A．投掷一枚硬币，向上一面是正面
B．射击一次，击中靶心
C．天气热了，新冠病毒就消失了
D．任意画一个多边形，其外角和是360°
2．下列说法中错误的是（
）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是
B．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件
C．为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式
D．某种彩票的中奖率为1%，买100张彩票一定有1张中奖
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．某同学连续5次抛掷质量均匀的硬币，1次正面向上，因此正面向上的概率是20%
D．在连续6次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定
4．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（
）
A．11
B．13
C．24
D．30
5．在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，是黑球的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．下列事件中，属于必然事件的是（
）
A．购买一张彩票，中奖
B．三角形的两边之和大于第三边
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．对角线相等的四边形是矩形
7．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
8．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少是（
）
A．3位
B．4位
C．5位
D．6位
9．在新型冠状病毒防控期间，小静坚持每天测量自己的体温，并把5次的体温（单位：）分别写在5张完全相同的卡片上：36，36.1，35.9，35.5，背面，把这5张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，已知P（一次抽到36），这5张卡片上数据的方差为（
）
A．35.9
B．0.22
C．0.044
D．0
10．如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同．一只自由飞翔的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，则小鸟落在草坪上的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是___________．
12．如图，任意转动转盘次，当转盘停止运动时，有下列事件：①指针落在标有的区域内；②指针落在标有的区域内；③指针落在标有奇数的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为_________
．
13．桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不慎遗失了其中2个红球，现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为______．
14．在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax?中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是______．
15．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线国案，下列四张分别画有斐波那契螺旋线图案的卡片，它们的背面完全相同．现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图案恰好是中心对称图形的概率是___．
三、解答题
16．在一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分
摇匀后，随机摸出一球．
（）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率．
（）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去个同样的红球或黄球，那么这个球中红球和黄球的
数量分别应是多少？
17．为了调查阳泉市民上班时最常用的交通工具情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A．自行车，B．电动车，C．公交车，D．家庭汽车，E．其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了______名市民；扇形统计图中，C项对应的扇形的圆心角是______度；补全条形统计图；
（2）若甲，乙两人上时从A，B，C，D四种交通工具中随机选择一种，用列表法或画树状图法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
18．为了解业余射击队队员的射击成绩，对某次射击比赛中每一名队员的平均成绩（单位：环，环数为整数）进行了统计，分别绘制了如下统计表和如图所示的频数分布直方图，请你根据统计表和频数分布直方图回答下列问题：
平均成绩
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
0
1
3
3
6
1
0
（1）参加这次射击比赛的队员有多少名？
（2）这次射击比赛平均成绩的中位数落在频数分布直方图的哪个小组内？
（3）这次射击比赛平均成绩的众数落在频数分布直方图的哪个小组内？
（4）若在成绩为8环，9环，10环的队员中随机选一名参加比赛，求选到成绩为9环的队员的概率．
19．为了解家长对“学生在校带手机”现象的看法，某校“九年级兴趣小组”随机调查了该校学生家长若干名，并对调查结果进行整理，绘制如下不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题
(1)这次接受调查的家长总人数为________人；
(2)在扇形统计图中，求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数；
(3)若在这次接受调查的家长中，随机抽出一名家长，恰好抽到“无所谓”的家长概率是多少．
20．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的19张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为3、4、5、7，两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．
(1)若甲先摸，他摸出“石头”的概率是多少？
(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
(3)若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
试卷第4页，总5页
2
参考答案
题型归纳
1．D
【详解】
A、购买一张彩票不一定中奖，故A是随机事件，错误；
B、明天不一定是晴天，故B是随机事件，错误；
C、经过有交通信号灯的路口不一定是红灯，故C是随机事件，错误；
D、今天星期三，明天一定是星期四，故D是必然事件，正确．
故选：D．
2．D
【详解】
A．2021年日本东京举办奥运会，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选：D．
3．B
【详解】
抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）==．m=n，n=抛掷一枚质地均匀的硬币100次，m=×100=50．
故选：B．
4．C
【详解】
解：A.
事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，故错误.
B.
体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故错误.
C.
在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品,正确.
D.
掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为，故错误.
故选:C.
5．D
【详解】
∵交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同，
∴它们发生的概率不相同，
∴它不属于“等可能性事件”，
∴选项A不正确；
∵图钉上下不一样，
∴钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，
∴它不属于“等可能性事件”，
∴选项B不正确；
∵“直角三角形”三边的长度不相同，
∴小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同，
∴它不属于“等可能性事件”，
∴选项C不正确；
∵小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，A、B、C被选中的相同，
∴它属于“等可能性事件”，
∴选项D正确．
故选：D．
6．B
【详解】
解：在抛硬币事件中出现的情况只有两种，A、C、D事件中出现的情况也为两种，
而B出现的情况为六种，
故选B．
7．A
【详解】
∵掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，∴她第11次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：．
故选：A．
8．C
【详解】
从一只布袋里闭上眼睛随机地摸出1球恰是黄球的概率为”的意思，黄球占布袋中总球的，或如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次就有1次摸中黄球．
故选C．
三：基础巩固和培优
1．D
【详解】
解：A、投掷一枚硬币，向上一面是正面，是随机事件；
B、射击一次，击中靶心，是随机事件；
C、天气热了，新冠病毒就消失了，是不可能事件；
D、任意画一个多边形，其外角和是360°，是必然事件；
故选：D．
2．D
【详解】
A、掷一枚普通的正六面体骰子，共有6种等可能的结果，则出现向上一面点数是2的概率是，所以A选项的说法正确；
B、从装有10个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，则摸出1个白球是不可能事件，所以B选项的说法正确；
C、为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，而不应采用普查的方式，所以C选项的说法正确；
D、某种彩票的中奖率为1%，是中奖的频率接近1%，所以买100张彩票可能中奖，也可能没中奖，所以D选项的说法错误；
故选D．
3．D
【详解】
解：A、为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式；故选项A不符合题意；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式；故选项B不符合题意；
C、某同学连续5次抛掷质量均匀的硬币，1次正面向上，因此正面向上的概率不一定是20%；故选项C不符合题意；
D、在连续6次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定；故选项D符合题意；
故选：D．
4．B
【详解】
解：设袋中有黑球x个，
由题意得：＝0.2，
解得：x＝13，
经检验x＝13是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有13个．
故选：B．
5．A
【详解】
∵在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，共5个球，
∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P=．
6．B
【详解】
解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是必然事件，故选项正确；
C、是随机事件，故选项错误；
D、是随机事件，故选项错误；
故选：B．
15．C
【7详解】
设正方形的边长为，
针尖落在黑色区域内的概率．
故选C．
8．B
【详解】
因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为．
故密码的位数至少需要4位．
故选B．
9．C
【详解】
∵抽到写有“36”的卡片的概率是，
∴卡片中36的个数为5×＝2，
则这组数据为36，36.1，35.9，35.5，36，
∵＝（36＋36.1＋35.9＋35.5＋36）＝35.9，
∴方差为×[2×（36?35.9）2＋（36.1?35.9）2＋（35.9?35.9）2＋（35.5?35.9）2]＝0.044，
故选：C．
10．B
【详解】
P(小鸟落在草坪上)=，
故选：B．
11．
【详解】
解：过O作OA⊥CE于A，OB⊥CF交CF延长线于B，
∵点O为正方形的中心，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=90?=∠AOB
，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOA+∠AOF=90?,∠AOF+∠FOB=90?，
∴∠EOA=∠FOB，
∴△EOA≌△FOB，
Ｓ四边形EOFC
=Ｓ△AOE+Ｓ四边形AOFC
=Ｓ△BOF+Ｓ四边形AOFC=Ｓ正方形AOBC=S大正方形，
S四边形EOFC=S正方形AOBC=S大正方形，
如图所示：
，
P=，
因此米粒落在图中阴影部分的概率是．
故答案为：
12．②①③
【详解】
解：①指针落在标有5的区域内的概率是；
②指针落在标有10的区域内的概率是0；
③指针落在标有奇数的区域内的概率是；
将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：②①③，
故答案为：②①③．
13．
【详解】
P(摸到白球)．
故答案为：．
14．
【详解】
解：从，，1，2，3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有1、2、3这3种结果，
该二次函数图象开口向上的概率是，
故答案为：．
15．
【详解】
解：∵四张卡片中中心对称图形从左往右数第二个是中心对称图形，
∴卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率为，
故答案为：
16．(1)
;(2)
5个和2
个
【解析】
试题分析:（1）直接利用概率公式计算即可求出摸出的球是红球和黄球的概率,
（2）设放入红球x个,则黄球为（7－x）个,由摸出两种球的概率相同建立方程,解方程即可求出7个球中红球和黄球的数量分别是多少,
试题解析:（）因为袋子中装有个红球和个黄球,所以随机摸出一球是红球和黄球的概率分别是，,
（）设放入红球个,则黄球为个,由题意列方程得:
,解得,
所以这个球中红球和黄球的数量分别应是个和个.
17．
【详解】
解：（1）250÷25%=1000；
1000-50-150-250-150=400，400÷1000×360°=144°；
补全条形统计图如图：
（2）根据题意列表如下：
从表格可以看出，所有等可能的结果共有16种，其中，甲、乙两人恰好选择同一种工具上班（记为事件A）的结果有4种．
∴甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为：．
18．
【详解】
解：（1）由统计表可得2.5～4.5小组有3+3=6（人），8.5～10.5小组有1人，所以参加这次射击比赛的队员有：（人）；
（2）33个数，中位数应是大小排序后的第17个数，落在4.5～6.5这个小组内；
（3）0～2.5有4个数，可得平均数为2的人数为3；6.5～8.5有15个数，则平均数为7的人数为人；平均数为5和6的人数共为7人；所以众数为7，落在6.5～8.5这个小组内．
（4）8环，9环，10环的队员共有7人，成绩为9环的队员1人，则选到成绩为9环的队员的概率为．
19．
【详解】
解：（1）50÷25%=200（人），所以这次调查的学生家长总人数为200；
故答案为：200；
（2）“无所谓”人数=200×20%=40（人）
∴“很赞同”人数=200－50－40－90=20（人）
∴“很赞同”对应的扇形圆心角=×360°=36°
故答案为：36°；
（3）∵“无所谓”的家长人数=40，∴抽到“无所谓”的家长概率=．
20．（1）；（2）；（3）甲摸锤子获胜的可能性最大.
【详解】
(1)P（甲摸石头）=；
(2)P（乙胜）=；
(3)P（甲摸锤子胜）=，
P（甲摸石头胜）=，
P（甲摸剪子胜）=，P
（甲摸布胜）=，
，
∴甲摸锤子获胜的可能性最大．
【点睛】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．