人教版九年级下册28.1 锐角三角函数 测量类应用题（讲义 含简单答案）

测量类应用题（讲义）
??课前预习
一、填写下面学过的知识
1.?_______．
2.?在进行测量时，
从下往上看，视线与水平线的夹角叫做_______；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做_______．
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3.?利用三角函数求解时，往往需要构造直角三角形，把已知角度信息放到直角三角形中求解，常见图形如下：图3
??知识点睛
1.?正切常用来描述山坡的坡度．坡度也叫_________，指的是坡面的___________与____________的比．
2.?测量类应用题常见类型有：测量物体的高度、船是否会触礁，侧重于___________和_____________．
①解直角三角形，需要在________和________集中处，寻找或构造_________，利用三角函数，表达线段长、建等式；
②结果判断指的是根据题意确定符合要求的标准或范围，计算结果与标准对比来确定符合题意的结果．
??精讲精练
1.?某次地震后，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象．如图，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，试确定生命所在点C的深度．
（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
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2.?如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2?m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13?m的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求教学楼AB的高度；
（2）学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
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3.?如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
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4.?如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11?km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地比原来少走多少路程？（结果精确到0.1?km，参考数据：≈1.41，≈0.60，≈0.80）
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5.?如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（说明：两问的计算结果均精确到0.1米，参考数据：≈1.41，
≈1.73，≈2.24，≈2.45）
（1）求新传送带AC的长度；
（2）若需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
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?6.?如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C处折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角
∠ADC=60°，AD=4?m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：
≈1.4，≈1.7，≈2.4）
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7.?已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16?km，一艘货轮从B港口以
40?km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15?min后到达C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长．（精确到0.1?km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24）
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测量类应用题（习题）
??例题示范
例：某市为了改善市区交通状况市，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，B之间的距离，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，）
解：由题意，∠BAC=90°，∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82，设AD=a米，则AC=(a+82)米
在Rt△BAD中，∠BDA=76.1°，AD=a∴AB=4a
在Rt△BAC中，∠BCA=68.2°，AC=a+82，∴AB=2.5(a+82)∴4a=2.5(a+82)．
∴米即AB的长约为546.7米．
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??巩固练习
1.?如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C位于北偏西30°的方向上，轮船继续航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C位于北偏西60°的方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向上的D处时，求轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）
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2.?如图，在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1?km的飞机跑道MN，在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．
（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）
（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．
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3.?如图，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=30米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=30°，然后沿河岸走了50米达到B处，测得∠CBN=60°，求河流的宽度CE．
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4.?如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡度为的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
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5.?小亮和课外兴趣小组的伙伴们在课外活动中观察大吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′=2米，当吊臂顶端由A′点降落至A点（吊臂长度不变）时，所吊装的重物（大小忽略不计）从B′处恰好放到地面上的B处，紧绷着的吊缆AB=A′B′，AB垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=20米，且cosA，．
（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；
（2）求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）
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??思考小结
1.?我们已经学习过方程与不等式应用题，一次函数应用题以及测量类应用题，应用题的处理流程为：
①?理解题意，梳理信息
②?建立模型
③?求解验证，回归实际
2.?我们已经学习过相似，也学习过了三角函数，现在来思考一下它们的联系．
在学习相似三角形判定时知道“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，
即当∠B=∠E，时，△ABC∽△DEF
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特别地，当∠B=∠E=90°时，若，则△ABC∽△DEF
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根据比例的性质我们知道可以改写成，而，我们得到
当∠B=∠E=90°时，若，则△ABC∽△DEF，
∠C=∠F．
借助上面的分析，请在下图中进行证明：若，则∠C=∠F．（描述辅助线，给出证明过程）
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【参考答案】
??课前预习
1.?3
2.?仰角；俯角．
??知识点睛
1.?坡比，铅直高度，水平宽度．
2.?解直角三角形，结果判断．①线段，角度，直角三角形．
??精讲精练
1.?3.5米
2.?（1）教学楼AB的高度为12
m；（2）A，E之间的距离为27
m．
3.?这块宣传牌CD的高度为2.7米．
4.?比原来少走4.9
km．
5.?（1）新传送带AC的长度为5.6米；（2）需要挪走，理由略．
6.?（1）75°；（2）这棵大树折断前的高度为10?m．
7.?货轮与A观测点之间的距离AC的长为13.4
km．
【参考答案】
??巩固练习
1.?海里
2.?（1）千米/小时
（2）能，理由略
3.?米
4.?236.5米
5.?（1）6米?（2）（）米
??思考小结
2.?证明略