人教版数学九年级下册第二十七章 相似模型讲义（二）（含简单答案）

相似模型（二）（讲义）
??课前预习
1.?按要求解决下列问题：
①如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是线段BD上一点，连接AC，CE，AC⊥CE．求证：△ABC∽△CDE．
?
②如图，将两个全等的等腰直角三角形如图摆放（顶点A重合），所有的点都在同一平面内．请找出图中的相似三角形（不包括全等）．
?
③如图，已知A是等边三角形PQR的边RQ延长线上的点，B是QR延长线上的点．若∠APB=120°，请找出图中的相似三角形．
?
??知识点睛
1.?相似综合模型
一线三等角
图形
?
特征
三等角
结论
△ABC∽△CDE
旋转放缩
图形
?????????
特征
成比例线段共端点
结论
ABC∽△ADE或△ABD∽△ACE
△十字模型
图形
?????????
特征
矩形背景下，DE⊥CF（平行四边形背景下，∠B+∠EGC=180°）
结论
2.?“斜直角”特征——斜直角放正，得相似
?????
3.?“相似”与“∽”
“相似”与“∽”的区别在于两个三角形的对应关系是否确定．“相似”只能表示两个三角形的形状相同，但对应关系不确定；出现“相似”时，一般需要分类讨论．
??精讲精练
1.?如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE=5，AB=8，则S△ABF:S△FCE=_____．
?
2.?如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=6?cm，BC=14?cm，∠B=60°．P为下底BC上一点（不与点B，C重合），连接AP，过点P作射线PE交线段DC于点E，使得
∠APE=∠B．若DE:EC=5:3，则BP=_________．
??
3.?如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，如果AE=3，EF=2，AF=，那么正方形ABCD的边长等于__________．
?
4.?如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=，则MF的长是（????）
A．?
B．
C．1?D．?
5.?如图，在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC．将△DAE绕点A顺时针旋转若干角度，得到△AD′E′，连接BD′，CE′．若AC=3，AB=4，则_________．
?
6.?如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，AC=6，CD⊥AB于点D，点E是线段AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交线段BC于点F，连接EF．若EC=2，则EF=_____．
?
?如图，矩形ABCD中，AD=nAB，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，
EG⊥FH．
（1）当n=1，FH=3时，EG=___________；
（2）当n=2，FH=时，四边形EFGH的面积为_______．
?
8.?在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在线段AB上．若将
△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线AC上的A′处，则AP的长为_____________．
9.?矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．若CB′为1，则AE的长为___________．
?
10.?如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（????）
A．18?B．?C．?D．
??
11.?在平面直角坐标系中，将一含30°角的直角三角板放置在坐标系中．
（1）如图1，若该三角板直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为(-1，2)，∠ABO=30°，顶点B在第一象限，则点B的坐标为_______．
（2）如图2，若该三角板直角顶点落在点C(2，2)，顶点A的坐标为(3，0)，∠ABC=30°，顶点B在第一象限，则点B的坐标为___________．
???
图1
??????????????????
????图2
12.?如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=，则BD的长为___________．
?
13.?在下图中，根据线段DE补全△DEF，使得△DEF与△ABC相似．（△DEF的顶点F在直线DE的上方）
?
?
14.?将三角形纸片ABC按如图1所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，AB=AC=3，BC=4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF=___________．
?
图1
????????????????????备用图
?
15.?如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止运动，设运动时间为t秒．当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则t的值为________．
?
16.?如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点E在BC边上，AB=3，CD=2，BC=7．若△ABE与△ECD相似，则CE=___________．
?
相似模型（二）（习题）
??复习巩固
1.?如图，等腰Rt△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=，D为AC上一点．若∠APD=45°，则CD=______．
?
2.?如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=3，CD=．点P在线段AB上，若△PCD是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP=__________．
?
3.?如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置．若点B的坐标为(2，4)，则点D的坐标是__________．
?
4.?如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF．设，则给出下列结论：①△ABE∽△ECF；②AE平分∠BAF；③当k=1时，△ABE∽△ADF．其中正确的是_____________．
?
5.?如图，在矩形ABCD中，E，N，F，M分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且EF⊥MN，求证：．
?
?
?
6.?如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，有下列说法：①AC⊥DE；②∠BCE=∠ACD；
③△AED∽△ECB；④△AFE∽△DFC；⑤AD∥BC；⑥四边形ABCD面积的最大值为．其中正确的是__________．
?
7.?如图，D是Rt△ABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延长线于点F，连接AF．求证：AF⊥AB．
?
8.?如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是AC上的点，若AF⊥BE，垂足为F．求证：∠BFD=∠C．
?
9.?
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，AD与BE相交于点F．
求证：（1）；
（2）△BCE∽△ADM；
（3）猜想AM与BE的位置关系，并说明理由．
?
10.?如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，直线l：y=-2x+4分别与x轴、y轴相交于B，C两点．
（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________．
（2）在直线l上是否存在点P，使得△APO是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
?
11.?将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，AB=AC=4，BC=5，若以B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则CF=______．
?????
第11题图??????????????????第12题图
12.?如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC，CD上，若以M，N，C为顶点的三角形与△AED相似，则CM的长为_________．
13.?如图，在Rt△ABC中，AB=3?cm，AC=6?cm．动点M从点A出发沿AB方向以1?cm/s的速度向点B匀速运动；同时动点N从点C出发沿CA方向以2?cm/s的速度向点A匀速运动，当一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．是否存在某一时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
?
【参考答案】
??课前预习
1.?①证明略．
②△EDA∽△EAB，△DEA∽△DAC，△BAE∽△CDA．
③△AQP∽△PRB，△AQP∽△APB，△PBR∽△ABP．
??精讲精练
1.?4:1
2.?2或12?cm
3.?
4.?D
5.?
6.?
7.?（1）3；（2）12
8.?
9.?
10.?B
11.?（1）(，)；（2）(，)
12.?
13.?作图略．
14.?或2
15.?或
16.?1，6或
【参考答案】
??复习巩固
1.?
2.?1或6
3.?(，)
4.?①②
5.?证明略．
6.?②④⑤⑥
7.?证明略．
8.?证明略．
9.?（1）证明略；
（2）证明略；
（3）AM⊥BE，理由略．
10.?（1）(2，0)；(0，4)；
（2）存在，P1(，)，P2(，)．
11.?或
12.?或
13.?存在，或，理由略．