人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的定义、判定及性质（讲义）（含简单答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的定义、判定及性质（讲义）（含简单答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-11 14:53:28 | ||
图片预览
文档简介
相似三角形的定义、判定及性质（讲义）
??课前预习
一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：
A．能够完全重合的两个图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．全等三角形的对应边相等，对应角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS”
E．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA”
F．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS”
G．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS”
??知识点睛
1.?相似三角形：
定义：_________、__________的两个三角形叫做相似三角形．
相似三角形对应线段的比等于相似比．
?
???符号表示????????????????三边成比例
△ABC∽△______
??????
2.?相似三角形的判定：
①?________________________________________________；
②?________________________________________________；
③?________________________________________________；
④?________________________________________________
_______________________________________．
3.?相似三角形的性质：
①由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②相似三角形___________，_______________，___________都等于相似比；
③相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_________．
??精讲精练
1.?如图，△ABC∽△ADE，连接BD．
（1）若AB=9，AE=4，AD=AC，BC=8，则AD，DE的长分别是多少？△ABC与△ADE的相似比是多少？
（2）若∠DBA=30°，∠ADB=110°，则∠CAE是多少度？
?
?
?
?
2.?如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，其中BO=2AO，AD=3.5，OC，且△AOB∽△COD，则△AOB与△COD的相似比为______；若AB，则OC:CD:DO=________．
?
第2题图??????????????????????第3题图
3.?如图，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，写出对应的相似三角形并写出对应的证明过程．
（1）若∠A=∠D，则_______∽______；
（2）若∠A=∠B，则_______∽______；
（3）若，则______∽______；
（4）若AC∥BD，则______∽______．
4.?如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．给出下列条件：①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③∠ADE=∠B；
④；⑤．其中能判断△ABC∽△AED的有_______________（填序号）．?
5.?如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（????）
?
A．?B．
C．?D．
6.?如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与
原三角形不相似的是（????）
?
?
?
A．B．
C．D．
7.?如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FCBC，则图中相似三角形共有（????）
A．1对?B．2对?C．3对?D．4对
?
8.?如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（????）
A．?B．
C．?D．
?
9.?如图，线段AE，BD相交于点C，连接AB，DE，其中AB:DE=1:2，AC=2，BC=3．若AB∥DE，则CE=________，CD=________；若∠A=∠D，则CE=_______，CD=_______．
???????
10.?如图，若AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，则AB=_______．
?????
第10题图
?????????????第11题图
11.?如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，其中，则∠BAC=______；当AD:DC=1:2，AD=4时，BC=_______．
12.?如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC上一点，点D是边BC上一点（不与B，C重合）．若∠EDF=∠B，BE=2，BD=3，BC=6，则FC的长为______________．
?
13.?如图，点M，N在线段AB上，△PMN是等边三角形．
（1）若AM·BN=PN·PM，求∠APB的度数．
（2）若∠APB=120°，求证：△AMP∽△PNB．
?
14.?如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．
（1）求证：△ABD∽△CBE．
（2）若BE=1，EC=2，则AB长是多少？
?
?
?
?
?
?
?
15.?如图，l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3和l6相交于点B，E，C，F．若BC=2，则EF的长是________．
?
16.?如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（????）
A．1?B．?C．?D．
?
相似三角形的定义、判定及性质（习题）
??复习巩固
1.?在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x=______，y=______，m=______，n=______．
?
2.?如图，△ADE∽△ABC，AD=BC，BD=4，DE=9，则AD=____，________．
?
3.?如图，在△ABC中，AC=8，BC=10，AB=12，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的动点，且始终满足△ABC∽△AED．当AE=AC时，BD=____；当AE=BD时，AE=____，____；在D，E移动的变化过程中，AD:DE:AE=_________．
?
4.?如图，在△ABC中，点P为边AB上一点，则下列四个条件：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③；
④．其中能判定△ABC∽△ACP相似的是__________．
5.?
如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且
，AE=BE，则有（????）
A.△AED∽△BED
B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD
D.△BAD∽△BCD
6.?在如图4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（????）
?
?
A
????
?B
?????????C
???????D
7.?如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，，若OA=1，，则OD=_____，______．
?
第7题图????????????????????
?第8题图
8.?如图，∠APB=120°，点M，N在线段AB上，△PMN是等边三角形．若，AB=26，则NB长为_______．
9.?如图，在△ABC中，∠A=90°，点E在线段AB上，点D在线段AC上，且满足△ABC∽△ADE，若AE=6，EB=3，2AD=DC，则AD=______，DE=______．?
10.?如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=8，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=3，CE=2．
求证：△ABD∽△BCE．
?
?
11.?如图，在△ABC中，CD=CE，∠A=∠ECB．求证：CD2=AD·BE．
?
12.?将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC面积的一半．已知BC=2，求△ABC平移的距离．
?
13.?求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：
①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
?
?
?
?
14.?如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（
???）
A．16?B．18?C．20?D．24
?
15.?如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG:GH:HC=4:6:5，则△ADE与△FGH的面积比为何？（????）
A．2:1?B．3:2?C．5:2?D．9:4
?
??思考小结
1.?回顾相似三角形相关概念，并填空．
①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．
以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．
不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是______，三角形相似是______．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．
参考答案】
??课前预习
一、A；DEFG；B；C
??知识点睛
1.?三角对应相等；三边对应成比例；DEF
2.?①两角对应相等的两个三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③三边对应成比例的两个三角形相似；
④平行于三角形一边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
3.?②对应高的比；对应角平分线的比；对应中线的比．
③相似比；相似比的平方
??精讲精练
1.?（1）AD=6；DE=；相似比为；
（2）∠CAE是40°．
2.?；2:5:4
3.?（1）△AOC；△DOB；（2）△AOC；△BOD；
（3）△AOC；△DOB；（4）△AOC；△BOD
4.?①②④
5.?C
6.?C
7.?C
8.?D
9.?4；6；6；4
10.?4
11.?90°；10
12.?
13.?（1）∠APB=120°；（2）证明略．
14.?（1）证明略；（2）AB长为．
15.?5
16.?C
【参考答案】
??复习巩固
1.?32；；70°；60°
2.?12；3
3.?；7.2；；4:5:6
4.?①②③
5.?B
6.?B
7.?；
8.?18
9.?；
10.?证明略．
11.?证明略．
12.?△ABC平移的距离为．
13.?证明略．
14.?B
15.?D
??思考小结
1.?条件；结论
??课前预习
一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：
A．能够完全重合的两个图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．全等三角形的对应边相等，对应角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS”
E．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA”
F．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS”
G．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS”
??知识点睛
1.?相似三角形：
定义：_________、__________的两个三角形叫做相似三角形．
相似三角形对应线段的比等于相似比．
?
???符号表示????????????????三边成比例
△ABC∽△______
??????
2.?相似三角形的判定：
①?________________________________________________；
②?________________________________________________；
③?________________________________________________；
④?________________________________________________
_______________________________________．
3.?相似三角形的性质：
①由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②相似三角形___________，_______________，___________都等于相似比；
③相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_________．
??精讲精练
1.?如图，△ABC∽△ADE，连接BD．
（1）若AB=9，AE=4，AD=AC，BC=8，则AD，DE的长分别是多少？△ABC与△ADE的相似比是多少？
（2）若∠DBA=30°，∠ADB=110°，则∠CAE是多少度？
?
?
?
?
2.?如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，其中BO=2AO，AD=3.5，OC，且△AOB∽△COD，则△AOB与△COD的相似比为______；若AB，则OC:CD:DO=________．
?
第2题图??????????????????????第3题图
3.?如图，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，写出对应的相似三角形并写出对应的证明过程．
（1）若∠A=∠D，则_______∽______；
（2）若∠A=∠B，则_______∽______；
（3）若，则______∽______；
（4）若AC∥BD，则______∽______．
4.?如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．给出下列条件：①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③∠ADE=∠B；
④；⑤．其中能判断△ABC∽△AED的有_______________（填序号）．?
5.?如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（????）
?
A．?B．
C．?D．
6.?如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与
原三角形不相似的是（????）
?
?
?
A．B．
C．D．
7.?如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FCBC，则图中相似三角形共有（????）
A．1对?B．2对?C．3对?D．4对
?
8.?如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（????）
A．?B．
C．?D．
?
9.?如图，线段AE，BD相交于点C，连接AB，DE，其中AB:DE=1:2，AC=2，BC=3．若AB∥DE，则CE=________，CD=________；若∠A=∠D，则CE=_______，CD=_______．
???????
10.?如图，若AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，则AB=_______．
?????
第10题图
?????????????第11题图
11.?如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，其中，则∠BAC=______；当AD:DC=1:2，AD=4时，BC=_______．
12.?如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC上一点，点D是边BC上一点（不与B，C重合）．若∠EDF=∠B，BE=2，BD=3，BC=6，则FC的长为______________．
?
13.?如图，点M，N在线段AB上，△PMN是等边三角形．
（1）若AM·BN=PN·PM，求∠APB的度数．
（2）若∠APB=120°，求证：△AMP∽△PNB．
?
14.?如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．
（1）求证：△ABD∽△CBE．
（2）若BE=1，EC=2，则AB长是多少？
?
?
?
?
?
?
?
15.?如图，l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3和l6相交于点B，E，C，F．若BC=2，则EF的长是________．
?
16.?如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（????）
A．1?B．?C．?D．
?
相似三角形的定义、判定及性质（习题）
??复习巩固
1.?在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x=______，y=______，m=______，n=______．
?
2.?如图，△ADE∽△ABC，AD=BC，BD=4，DE=9，则AD=____，________．
?
3.?如图，在△ABC中，AC=8，BC=10，AB=12，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的动点，且始终满足△ABC∽△AED．当AE=AC时，BD=____；当AE=BD时，AE=____，____；在D，E移动的变化过程中，AD:DE:AE=_________．
?
4.?如图，在△ABC中，点P为边AB上一点，则下列四个条件：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③；
④．其中能判定△ABC∽△ACP相似的是__________．
5.?
如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且
，AE=BE，则有（????）
A.△AED∽△BED
B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD
D.△BAD∽△BCD
6.?在如图4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（????）
?
?
A
????
?B
?????????C
???????D
7.?如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，，若OA=1，，则OD=_____，______．
?
第7题图????????????????????
?第8题图
8.?如图，∠APB=120°，点M，N在线段AB上，△PMN是等边三角形．若，AB=26，则NB长为_______．
9.?如图，在△ABC中，∠A=90°，点E在线段AB上，点D在线段AC上，且满足△ABC∽△ADE，若AE=6，EB=3，2AD=DC，则AD=______，DE=______．?
10.?如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=8，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=3，CE=2．
求证：△ABD∽△BCE．
?
?
11.?如图，在△ABC中，CD=CE，∠A=∠ECB．求证：CD2=AD·BE．
?
12.?将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC面积的一半．已知BC=2，求△ABC平移的距离．
?
13.?求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：
①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
?
?
?
?
14.?如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（
???）
A．16?B．18?C．20?D．24
?
15.?如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG:GH:HC=4:6:5，则△ADE与△FGH的面积比为何？（????）
A．2:1?B．3:2?C．5:2?D．9:4
?
??思考小结
1.?回顾相似三角形相关概念，并填空．
①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．
以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．
不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是______，三角形相似是______．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．
参考答案】
??课前预习
一、A；DEFG；B；C
??知识点睛
1.?三角对应相等；三边对应成比例；DEF
2.?①两角对应相等的两个三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③三边对应成比例的两个三角形相似；
④平行于三角形一边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
3.?②对应高的比；对应角平分线的比；对应中线的比．
③相似比；相似比的平方
??精讲精练
1.?（1）AD=6；DE=；相似比为；
（2）∠CAE是40°．
2.?；2:5:4
3.?（1）△AOC；△DOB；（2）△AOC；△BOD；
（3）△AOC；△DOB；（4）△AOC；△BOD
4.?①②④
5.?C
6.?C
7.?C
8.?D
9.?4；6；6；4
10.?4
11.?90°；10
12.?
13.?（1）∠APB=120°；（2）证明略．
14.?（1）证明略；（2）AB长为．
15.?5
16.?C
【参考答案】
??复习巩固
1.?32；；70°；60°
2.?12；3
3.?；7.2；；4:5:6
4.?①②③
5.?B
6.?B
7.?；
8.?18
9.?；
10.?证明略．
11.?证明略．
12.?△ABC平移的距离为．
13.?证明略．
14.?B
15.?D
??思考小结
1.?条件；结论