6．2 排列与组合
6.2.1 排列
课标要求
素养要求
1.通过实例理解排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
“排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行摇奖的，“排列三”，“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码，每日进行开奖．
问题 福彩3D即“排列三”摇出的号码的总的结果数是多少？
提示 以第1位数为例，第1位的奖号是从0到9这10个数字中摇出一个，每个数字都有相同概率摇出，所以第1位上就有10种可能，同理第2位、第3位都各有10种可能，前3位总共就有1
000种组合方法．
排列的定义
排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序”
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
拓展深化
[微判断]
1．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)
提示 在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列与原来的排列不同．
2．在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)
3．从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列．(×)
提示 从1，2，3，4中任选两个元素并按照一定的顺序排成一列，才能组成一个排列．
4．从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(√)
[微训练]
1．有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则送法共有( )
A．5种
B．3种
C．60种
D．15种
解析 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种送法，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此，共有送法5×4×3＝60(种)．
答案 C
2．从5名同学中选出正、副组长各1名，有__________种不同的选法(用数字作答)．
解析 从5名同学中选出正、副组长各1名，即从5个不同元素中选出2个元素进行排列，不同的选法种数为5×4＝20.
答案 20
[微思考]
用1，2，3这三个数字共可以排成多少个无重复数字的三位数？123与321是不是相同的排列？
提示 共可以得到6个三位数，123与321是不同的排列，只有两个排列元素相同，顺序也相同时，才是同一个排列.
题型一 排列的概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)，(5)，(6)属于排列问题.
规律方法 判断一个具体问题是否为排列问题的方法
【训练1】 下列问题是排列问题吗？
(1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？
解 (1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．
理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．
题型二 排列的列举问题
【例2】 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成无重复数字的两位数，一共可以组成多少个？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
解 (1)由题意作“树状图”，如下．
故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．
(2)由题意作“树状图”，如下．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
规律方法 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
【训练2】 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．
解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
题型三 排列的简单应用
【例3】 用具体数字表示下列问题．
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．
解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9
900(个)．
(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个)．
(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．
规律方法 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.
【训练3】 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法．
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理知，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象素养及数学运算素养．
2．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．
二、素养训练
1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1
B．3
C．2
D．4
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．
答案 C
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
解析 选出两人，两人的不同顺序都要考虑．
答案 C
3．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．8种
B．16种
C．18种
D．24种
解析 可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有2种；第三步，余下的两个排公益宣传广告，有2种．根据分步计数原理，不同的播放方式共有2×2×2＝8(种)．故选A.
答案 A
4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有__________种不同的种法(用数字作答)．
解析 本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1
680(种)．
答案 1
680
5．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示______种不同的信号．
解析 第1类，挂1面旗表示信号，有3种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有3×2＝6(种)不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有3×2×1＝6(种)不同方法．
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有3＋6＋6＝15(种)．
答案 15
基础达标
一、选择题
1．(多选题)下面问题中，不是排列问题的是( )
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
解析 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．
答案 BCD
2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6
B．4
C．8
D．10
解析 列“树状图”如下：
故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4种排列方法．
答案 B
3．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有( )
A．6个
B．10个
C．12个
D．16个
解析 不同结果有4×3＝12(个)．
答案 C
4．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg
a－lg
b的不同值的个数是( )
A．9
B．10
C．18
D．20
解析 lg
a－lg
b＝lg
，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lg
＝lg
，lg＝lg
，故其可得到18种结果．
答案 C
5．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )
A．6
B．9
C．12
D．24
解析 组成的四位数列举如下：
1
012，1
021，1
102，1
120，1
201，
1
210，2
011，2
101，2
110，共9个．
答案 B
二、填空题
6．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__________条毕业留言(用数字作答)．
解析 根据题意，得40×39＝1
560，故全班共写了1
560条毕业留言．
答案 1
560
7．2020北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为__________．
解析 由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．
答案 60
8．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有__________种不同的招聘方案(用数字作答)．
解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有5×4×3＝60(种)．
答案 60
三、解答题
9．判断下列问题是否为排列问题：
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
(4)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?
解 (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
(4)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．
10．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1
318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？
解 对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站，因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列的个数为21×20＝420.所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．
能力提升
11．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( )
A．54
B．45
C．5×4×3×2
D．5
解析 由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．
答案 D
12．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树状图列出所有可能的排法．
解 由题意作“树状图”，如下：
故所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种．
创新猜想
13．(多选题)下列问题中是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C．从a，b，c，d中选出3个字母
D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
解析 由排列的定义知AD是排列问题．
答案 AD
14．(多空题)从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____________个以b为首的不同的排列，它们分别是___________________________________．
解析 画出树状图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
答案 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed(共26张PPT)
6.2 排列与组合
6.2.1 排
列
课标要求
素养要求
1.通过实例理解排列的概念.
2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
“排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行摇奖的，“排列三”，“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码，每日进行开奖．
问题 福彩3D即“排列三”摇出的号码的总的结果数是多少？
提示 以第1位数为例，第1位的奖号是从0到9这10个数字中摇出一个，每个数字都有相同概率摇出，所以第1位上就有10种可能，同理第2位、第3位都各有10种可能，前3位总共就有1
000种组合方法．
排列的定义
排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序”
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
一定的顺序
拓展深化
[微判断]
1．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．
(
)
提示 在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列与原来的排列不同．
2．在一个排列中，同一个元素不能重复出现．
(
)
3．从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列．
(
)
提示 从1，2，3，4中任选两个元素并按照一定的顺序排成一列，才能组成一个排列．
4．从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．
(
)
×
√
×
√
[微训练]
1．有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则送法共有( )
A．5种
B．3种
C．60种
D．15种
解析 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种送法，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此，共有送法5×4×3＝60(种)．
答案 C
2．从5名同学中选出正、副组长各1名，有__________种不同的选法(用数字作答)．
解析 从5名同学中选出正、副组长各1名，即从5个不同元素中选出2个元素进行排列，不同的选法种数为5×4＝20.
答案 20
[微思考]
用1，2，3这三个数字共可以排成多少个无重复数字的三位数？123与321是不是相同的排列？
提示 共可以得到6个三位数，123与321是不同的排列，只有两个排列元素相同，顺序也相同时，才是同一个排列.
题型一 排列的概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)，(5)，(6)属于排列问题.
规律方法 判断一个具体问题是否为排列问题的方法
【训练1】 下列问题是排列问题吗？
(1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？
解 (1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．
理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．
题型二 排列的列举问题
【例2】 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成无重复数字的两位数，一共可以组成多少个？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
解 (1)由题意作“树状图”，如下．
故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．
(2)由题意作“树状图”，如下．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
规律方法 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
【训练2】 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能
站法．
解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
题型三 排列的简单应用
【例3】 用具体数字表示下列问题．
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．
解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9
900(个)．
(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个)．
(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．
规律方法 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.
【训练3】 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法．
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理知，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象素养及数学运算素养．
2．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．
二、素养训练
1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1
B．3
C．2
D．4
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．
答案 C
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
解析 选出两人，两人的不同顺序都要考虑．
答案 C
3．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．8种
B．16种
C．18种
D．24种
解析 可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有2种；第三步，余下的两个排公益宣传广告，有2种．根据分步计数原理，不同的播放方式共有2×2×2＝8(种)．故选A.
答案 A
4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有__________种不同的种法(用数字作答)．
解析 本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1
680(种)．
答案 1
680
5．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示______种不同的信号．
解析 第1类，挂1面旗表示信号，有3种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有3×2＝6(种)不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有3×2×1＝6(种)不同方法．
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有3＋6＋6＝15(种)．
答案 15
