6.2.2 排列数
课标要求
素养要求
1.能利用计数原理推导排列数公式.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.
通过排列数公式的学习，提升数学抽象素养及逻辑推理素养.
新知探究
在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
问题 上述情景中的问题能否用一个公式来表示？
提示 上述问题情景中的问题可以用公式A来表示．
1．排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
2．排列数公式
注意排列数公式的特征：m个连续自然数之积；最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N
，m≤n)＝.
3．全排列
将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是n个元素的全排列数公式可以写成：A＝n!
，另外规定，0！＝1.
拓展深化
[微判断]
1．排列与排列数的含义相同．(×)
提示 “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．
2．从4个不同元素中任取3个元素的排列数为A＝24.(√)
[微训练]
1．A等于( )
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
答案 C
2．若A＝10×9×…×5，则m＝__________．
答案 6
[微思考]
1．排列数A公式的特点是什么？
提示 第一个因数是n，后面一个因数比它前面的一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共m个因数相乘．
2．从1，2，3，4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？
提示 4×3×2＝24(个).
题型一
排列数公式及应用
【例1】 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N
且，n<55)；
(2)计算eq
\f(2A＋7A,A－A).
(3)证明A－A＝mA.
(1)解 因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
(2)解 eq
\f(2A＋7A,A－A)
＝
＝＝1.
(3)证明 法一 因为A－A
＝－
＝·
＝·
＝m·＝mA，
所以A－A＝mA.
法二 A表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有A个．
含有a1的可这样进行排列：
先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有A种排法．
故A＝mA＋A，
所以mA＝A－A.
规律方法 排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．
【训练1】 不等式A<6A的解集为( )
A．[2，8]
B．[2，6]
C．(7，12)
D．{8}
解析 由A<6A，得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7又
所以2≤x≤8，②
由①②及x∈N
，得x＝8.
答案 D
题型二 排队问题
【例2】 三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解 (1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法，因此共有A·A＝4
320(种)不同的排法．
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此共有A·A＝14
400(种)不同的排法．
(3)法一 (位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14
400(种)不同的排法．
法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14
400(种)不同的排法．
法三 (元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14
400(种)不同的排法．
(4)法一 (位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36
000(种)不同的排法．
法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36
000(种)不同的排法．
规律方法 排队问题的相邻、不相邻问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻等问题．
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素视为一个整体进行排列．
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决，即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.
【训练2】 分别求出符合下列要求的不同排法的种数．
(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．
解 (1)分排与直排一一对应，故排法种数为A＝720.
(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A种选法，然后其他5人排，有A种排法，故排法种数为AA＝480.
(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有AA＝480(种)排法．
题型三 定序问题
【例3】 五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种．
(1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)；
(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻)．
解 (1)首先五个人站成一排，共有A种排法，其中A，B，C三人的全排列有A种排法，而A，B，C从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共eq
\f(A,A)＝20(种)．
(2)同(1)，不过此题中A和B，C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共eq
\f(A,A·A)＝30(种)．
规律方法 在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，则先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有eq
\f(A,A)种满足条件的不同排法；
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
【训练3】 (1)7人排成一列，甲必须在乙的后面(可以不相邻)，有__________种不同的排法．
(2)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有__________个七位数符合条件．
解析 (1)7人排队，2人顺序固定，∴共有eq
\f(A,A)＝2
520(种)不同的排法．
(2)若1，3，5，7的顺序不定，有A＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的，故有A＝210(个)七位数符合条件．
答案 (1)2
520 (2)210
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．
3．求解排列问题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
二、素养训练
1．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有( )
A．10种
B．60种
C．125种
D．243种
解析 依题意，满足题意的不同的填法共有A＝60(种)，选B.
答案 B
2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种
B．216种
C．240种
D．288种
解析 根据甲、乙的位置要求分为两类：第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．
所以共有120＋96＝216(种)方法．
答案 B
3．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有( )
A．720种
B．360种
C．240种
D．120种
解析 将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有A种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有A·A＝240(种)．
答案 C
4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．
解析 5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A＝96(种)．
答案 96
5．解方程A＝140A.
解 根据题意，原方程等价于
即
整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N
)，
解得x＝3.
基础达标
一、选择题
1．4·5·6·…·(n－1)·n等于( )
A．A
B．A
C．n！－4!
D．A
解析 因为A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)(n－2)·…·6·5·4.
答案 D
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( )
A．60种
B．48种
C．36种
D．24种
解析 把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A＝24(种)排法．
答案 D
3．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100
m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有( )
A．24种
B．36种
C．48种
D．72种
解析 若第一棒选A，则有A种选派方法；若第一棒选B，则有2A种选派方法．由分类加法计数原理知，共有A＋2A＝3A＝36(种)选派方法．
答案 B
4．已知A－A＝10，则n的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析 因为A－A＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，即n＝5.
答案 B
5．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50
000的偶数共有( )
A．60个
B．48个
C．36个
D．24个
解析 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有2A＝48，大于50
000的偶数共有2A＝12，所以小于50
000的偶数共有48－12＝36(个)．
答案 C
二、填空题
6．从班委会的5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__________种(用数字作答)．
解析 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．
答案 36
7．不等式A－n＜15的解集为__________．
解析 由不等式A－n＜15，得n(n－1)－n－15＜0，
整理得n2－2n－15＜0，解得－3＜n＜5.
又因为n≥2且n∈N
，所以n＝2，3，4.
答案
8．用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．
解析 分两类：0夹在1，3之间有AA种排法，0不夹在1，3之间又不在首位有AAAA种排法．所以一共有AA＋AAAA＝28(种)排法．
答案 28
三、解答题
9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
解 (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14
400(种)．
(2)先不考虑排列要求，有A种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37
440(种)．
10．4个男同学和3个女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排．
(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
解 (1)3个女同学是特殊元素，共有A种排法；
由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男同学排队，应有A种排法．
由分步乘法计数原理得，有AA＝720(种)不同的排法．
(2)先将男同学排好，共有A种排法，再在这4个男同学的中间及两头的5个空当中插入3个女同学，则有A种方法．
故符合条件的排法共有AA＝1
440(种)．
(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A种排法；
由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；
最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A种排法．
所以共有AAA＝960(种)不同的排法．
能力提升
11．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )
A．24
B．18
C．16
D．10
解析 第一类，甲是最后一个体验，则有A种方法；第二类，甲不是最后一个体验，则有AA种方法，所以小李旅游的方法共有A＋AA＝10(种)，故选D.
答案 D
12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．
(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
解 (1)先排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步乘法计数原理，知共有AA＝720(种)分工方案．
(2)7人中任意分工方案有A种，其中A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A－AA＝3
600(种)．
创新猜想
13．(多选题)下列等式成立的是( )
A．A＝(n－2)A
B.A＝A
C．nA＝A
D.A＝A
解析 A中右边＝(n－2)(n－1)n＝A＝左边；
C中左边＝n(n－1)(n－2)×…×2＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝A＝右边；
D中左边＝·＝＝A＝右边，只有B不正确．
答案 ACD
14．(多空题)由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．
(1)若x＝9，则其中能被3整除的共有__________个；
(2)若x＝0，则其中的偶数共有__________个；
(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x＝__________．
解析 (1)因为各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，所以共有2×A＝12(个)．
(2)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：①0在个位的，有A＝6个．
②个位是2或4的，有A×A×A＝8个．
所以偶数共有6＋8＝14(个)．
(3)显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A·A次，
所以这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)·A·A，
即(1＋2＋4＋x)·A·A＝252，
所以7＋x＝14，所以x＝7.
答案 (1)12 (2)14 (3)7(共31张PPT)
6.2.2 排列数
课标要求
素养要求
1.能利用计数原理推导排列数公式.
2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.
通过排列数公式的学习，提升数学抽象素养及逻辑推理素养.
新知探究
在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
问题 上述情景中的问题能否用一个公式来表示？
1．排列数的定义
2．
排列数公式
注意排列数公式的特征：m个连续自然数之积；最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1
拓展深化
[微判断]
1．排列与排列数的含义相同．
(
)
提示 “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．
×
√
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
答案 C
提示 第一个因数是n，后面一个因数比它前面的一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共m个因数相乘．
2．从1，2，3，4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？
提示 4×3×2＝24(个).
题型一
排列数公式及应用
【例1】 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N
且，n<55)；
(1)解 因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
含有a1的可这样进行排列：
规律方法 排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．
A．[2，8]
B．[2，6]
C．(7，12)
D．{8}
化简得x2－19x＋84<0，解得7所以2≤x≤8，②
由①②及x∈N
，得x＝8.
答案 D
题型二 排队问题
【例2】 三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
规律方法 排队问题的相邻、不相邻问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻等问题．
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素视为一个整体进行排列．
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决，即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.
【训练2】 分别求出符合下列要求的不同排法的种数．
(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．
题型三 定序问题
【例3】 五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种．
(1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)；
(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻)．
【训练3】 (1)7人排成一列，甲必须在乙的后面(可以不相邻)，有__________种不同的排法．
(2)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有__________个七位数符合条件．
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．
3．求解排列问题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
二、素养训练
1．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有( )
A．10种
B．60种
C．125种
D．243种
2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种
B．216种
C．240种
D．288种
所以共有120＋96＝216(种)方法．
答案 B
3．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有( )
A．720种
B．360种
C．240种
D．120种
4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．
答案 96
整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N
)，
