5.1.2 数列中的递推
课标要求
素养要求
1.了解用递推公式表示数列，会由递推公式写出数列的前n项.2.会利用数列的前n项和求出数列的通项公式.
由一些简单的递推公式求数列的通项公式，发展学生的数学抽象素养、数学运算素养和逻辑推理素养.
新知探究
历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.
第一个月，只有1对兔子；
第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；
第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；
第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；
第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；
问题1 过了一年之后，会有多少对兔子？
提示 我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.
问题2 兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n项an，第n＋1项an＋1，第n＋2项an＋2有何关系？
提示 an＋an＋1＝an＋2.
1.递推公式
如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
2.数列的前n项和
一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和.如果数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
拓展深化
[微判断]
1.递推公式是表示数列的一种方法.(√)
2.所有的数列都有递推公式.(×)
提示 递推公式是数列的一种表示方法，与通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
3.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn>Sn－1，则数列是递增数列.(×)
提示 Sn－Sn－1＝an，其中n≥2，由Sn>Sn－1得an>0，并不能判断{an}是否为递增数列.
[微训练]
1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )
A.an＋1＝an＋n，n∈N＋
B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
解析 a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，故an－an－1＝n，且n≥2，n∈N＋.
答案 B
2.在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5＝________.
解析 a1＝，∴a2＝2a1＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝.
答案
3.数列{an}的前n项和Sn＝3n，则通项公式为________.
解析 n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1.
答案 an＝
[微思考]
数列的通项公式与递推公式有何区别？
提示 通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
题型一 数列的递推公式
角度1 由数列的若干项归纳递推公式
【例1】 分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第6项.
(1)13，31，49，67，…，
(2)1，3，7，15，….
解 (1)由a2－a1＝31－13＝18，a3－a2＝49－31＝18，a4－a3＝67－49＝18，
故可得，递推公式为an＝an－1＋18(n≥2)，
∴a5＝67＋18＝85，a6＝a5＋18＝103.
(2)由a2－a1＝2，a3－a2＝4＝22，a4－a3＝8＝23，
所以an－an－1＝2n－1(n≥2)，
a5＝a4＋24＝31，a6＝a5＋25＝63.
规律方法 递推公式是反映数列相邻两项(或几项)间的关系的，所以寻找数列的递推关系，也常从数列相邻项有何变化着手，常考虑的变化有：数列是递增数列还是递减数列，若递增，增幅有什么规律.
【训练1】 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则a2＝a1＋________，a3＝a2＋________，a4＝a3＋________，由此归纳出an＝an－1＋________.
(2)图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，这个数列的递推公式为________.
解析 (1)a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.
(2)由图知，这四个三角形图案中着色的小三角形个数分别为a1＝1，a2＝3a1＝3，a3＝3a2＝9，a4＝3a3＝27，故有递推公式为an＋1＝3an，a1＝1，n∈N＋.
答案 (1)2 3 4 n (2)an＋1＝3an，a1＝1(n∈N＋)
角度2 由递推公式求数列的前若干项
【例2】 已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；(2)a1＝1，an＋1＝.
解 (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
(2)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
∴它的前5项依次是1，，，，.
规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【训练2】 设数列{an}满足写出这个数列的前5项.
解 由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝1＋＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.
题型二 由递推公式求通项
【例3】 已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋(n≥2)给出.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)求数列{an}的通项公式.
解 (1)a1＝1；a2＝a1＋＝；a3＝a2＋＝；
a4＝a3＋＝；a5＝a4＋＝.
(2)由an＝an－1＋得an－an－1＝(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝＋＋…＋＋＋1
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋1
＝－＋1＋1＝2－＝(n∈N＋).
规律方法 由递推公式求通项公式的技巧
(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧.
(2)当an－an－1＝f(n)且满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1来求an.
(3)当＝f(n)且满足一定条件时，常用an＝··…···a1来求an.
【训练3】 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1，2，3，…)，求它的通项公式.
解 ∵(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，
∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
又∵an>0，∴an＋1＋an>0.∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
即＝.
∴···…·＝×××…×.
∴＝.又
a1＝1，∴an＝.
题型三 由Sn求an
【例4】 已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式.
(1)Sn＝(－1)n＋1n；
(2)Sn＝4n－2.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n·(－2n＋1).
令n＝1，则a1＝(－1)1×(－2×1＋1)＝1＝S1.
综上可得，an＝(－1)n·(－2n＋1)(n∈N＋).
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1.
令n＝1，则a1＝3×41－1＝3≠S1.
综上可得，an＝
规律方法 对于任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都有这样的关系：an＝
若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2)，则要用分段形式表示an.要注意运用关系式an＝Sn－Sn－1时，前提条件是n≥2，而当n＝1时，a1＝S1.
【训练4】 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an.
解 当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，
且n＝1时不适合an＝2n，
∴an＝
一、素养落地
1.由一些简单的递推公式求通项公式，提升学生的数学抽象素养、数学运算素养和逻辑推理素养.
2.递推公式的理解与应用
(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值可逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
3.数列前n项和Sn与an的关系
在n＝1时，a1＝S1，而n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即an＝若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若不适合就写成分段函数形式.
二、素养训练
1.已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an＋an－1，则这个数列的第5项是( )
A.1
B.
C.
D.
解析 a1＝，则a2＝a2＋，∴a2＝－1，－a3＝a3－1，∴a3＝，则a4＝－1，a5＝.
答案 B
2.已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于( )
A.
B.
C.2
D.3
解析 由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝.
答案 A
3.已知数列an的前n项和为Sn＝2n－1，则an＝________.
解析 由Sn＝2n－1得，当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，且a1＝20＝1，∴an＝2n－1.
答案 2n－1
4.若数列{an}的前n项和Sn＝log3(n＋1)，则a5＝________.
解析 a5＝S5－S4＝log36－log35＝log3.
答案 log3
基础达标
一、选择题
1.已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.不能确定
解析 an＋1－an＝3>0，故数列{an}为递增数列.
答案 A
2.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是( )
A.an＝2n－1
B.an＝2n＋1
C.an＝2n
D.an＝2n
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
答案 B
3.在数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
答案 C
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an等于( )
A.2＋ln
n
B.2＋(n－1)ln
n
C.2＋nln
n
D.1＋n＋ln
n
解析 由题意可知：an＋1＝an＋ln，
即an＋1－an＝ln(n＋1)－ln
n，
于是an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝ln
n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln
2－ln
1＋2＝2＋ln
n.
答案 A
5.若a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的第4项是( )
A.
B.
C.
D.
解析 a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.
答案 C
二、填空题
6.在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是________.
解析 数列从第3项起，每一项都等于它前面相邻两项的和，则x＝8＋13＝21.
答案 21
7.在数列{an}中，a1＝1，an＋1an＝a＋(－1)n＋1(n∈N＋)，则＝________.
解析 a2＝2，a3＝，＝＝eq
\f(a＋1,a－1)＝.
答案
8.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋10n＋11，则其通项公式为________.
解析 n＝1时，a1＝S1＝20；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋10n＋11)－[－(n－1)2＋10(n－1)＋11]＝－2n＋11，∴an＝
答案 an＝
三、解答题
9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想数列的通项公式.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋).
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N＋).
(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N＋).
解 (1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2.
(2)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.
(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.猜想an＝2n－1＋1.
10.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求{an}的通项公式.
解 ∵an＋1＝an，∴＝.∴＝2，＝，＝，…，＝(n≥2).
把上述等式左右两边分别相乘，
得×××…×＝2×××…×，
即＝n，而a1＝2，∴an＝2n.
能力提升
11.已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2
021＝________.
解析 计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又知2
021除以3等于673余2，所以a2
021＝a2＝.
答案
12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝pan＋qn，其中p，q均为正数，且a2＝3，a4＝13.
(1)求p，q的值；
(2)求an＋3与an的递推关系式.
解 (1)由已知可得a2＝pa1＋q，即p＋q＝3，
a4＝pa3＋3q＝p(pa2＋2q)＋3q＝p2a2＋2pq＋3q，
即3p2＋2pq＋3q＝13，
由得或
因为p，q均为正数，所以p＝1，q＝2.
(2)由(1)知an＋1＝an＋2n，
则an＋2＝an＋1＋2(n＋1)＝(an＋2n)＋2(n＋1)＝an＋4n＋2.
故an＋3＝an＋2＋2(n＋2)＝an＋6n＋6.
创新猜想
13.(多选题)已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是( )
A.x2
020＝a
B.x2
022＝a－b
C.x11＝x2
021
D.x1＋x2＋…＋x2
020＝2b－a
解析 x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，
x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，
x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
∴{xn}是周期数列，周期为6，
∴x2
020＝x4＝－a，A不正确；
x2
022＝x6＝a－b，B正确；
x2
021＝x5＝x11，C正确；
x1＋x2＋…＋x2
020＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a，D正确.
答案 BCD
14.(多选题)在数列{an}中，已知a1＝1，Sn＝n2an，则下列式子成立的是( )
A.a2＝
B.Sn＝
C.＝
D.an＝
解析 a1＝1，S2＝4a2，S2－S1＝a2，
即4a2－a1＝a2，∴a2＝，A正确.
又Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
∴(n2－1)an＝(n－1)2an－1，即＝，故C错.
∴an＝··…·＝，代入Sn＝n2an＝，故B，D正确.
答案 ABD(共32张PPT)
5.1.2 数列中的递推
课标要求
素养要求
1.了解用递推公式表示数列，会由递推公式写出数列的前n项.
2.会利用数列的前n项和求出数列的通项公式.
由一些简单的递推公式求数列的通项公式，发展学生的数学抽象素养、数学运算素养和逻辑推理素养.
新识探究
历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.
第一个月，只有1对兔子；
第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；
第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；
第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；
第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；
问题1 过了一年之后，会有多少对兔子？
提示 我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.
问题2 兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n项an，第n＋1项an＋1，第n＋2项an＋2有何关系？
提示 an＋an＋1＝an＋2.
1.递推公式
如果已知数列的__________________，且数列的__________或__________的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
首项(或前几项)
相邻两项
两项以上
拓展深化
[微判断]
1.递推公式是表示数列的一种方法.(
)
2.所有的数列都有递推公式.(
)
提示 递推公式是数列的一种表示方法，与通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
3.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn>Sn－1，则数列是递增数列.(
)
提示 Sn－Sn－1＝an，其中n≥2，由Sn>Sn－1得an>0，并不能判断{an}是否为递增数列.
√
×
×
[微训练]
1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )
A.an＋1＝an＋n，n∈N＋
B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
解析 a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，故an－an－1＝n，且n≥2，n∈N＋.
答案 B
3.数列{an}的前n项和Sn＝3n，则通项公式为________.
解析 n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1.
[微思考]
数列的通项公式与递推公式有何区别？
提示 通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
题型一 数列的递推公式
角度1 由数列的若干项归纳递推公式
【例1】 分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第6项.
(1)13，31，49，67，…，
(2)1，3，7，15，….
解 (1)由a2－a1＝31－13＝18，a3－a2＝49－31＝18，a4－a3＝67－49＝18，
故可得，递推公式为an＝an－1＋18(n≥2)，
∴a5＝67＋18＝85，a6＝a5＋18＝103.
(2)由a2－a1＝2，a3－a2＝4＝22，a4－a3＝8＝23，
所以an－an－1＝2n－1(n≥2)，a5＝a4＋24＝31，a6＝a5＋25＝63.
规律方法 递推公式是反映数列相邻两项(或几项)间的关系的，所以寻找数列的递推关系，也常从数列相邻项有何变化着手，常考虑的变化有：数列是递增数列还是递减数列，若递增，增幅有什么规律.
【训练1】 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则a2＝a1＋________，a3＝a2＋________，a4＝a3＋________，由此归纳出an＝an－1＋________.
(2)图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，这个数列的递推公式为________.
解析 (1)a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.
(2)由图知，这四个三角形图案中着色的小三角形个数分别为a1＝1，a2＝3a1＝3，a3＝3a2＝9，a4＝3a3＝27，故有递推公式为an＋1＝3an，a1＝1，n∈N＋.
答案 (1)2 3 4 n (2)an＋1＝3an，a1＝1(n∈N＋)
解 (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
又∵an>0，∴an＋1＋an>0.∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
题型三 由Sn求an
【例4】 已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式.
(1)Sn＝(－1)n＋1n；(2)Sn＝4n－2.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n·(－2n＋1).
令n＝1，则a1＝(－1)1×(－2×1＋1)＝1＝S1.
综上可得，an＝(－1)n·(－2n＋1)(n∈N＋).
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1.
令n＝1，则a1＝3×41－1＝3≠S1.
【训练4】 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an.
解 当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，
且n＝1时不适合an＝2n，
一、素养落地
1.由一些简单的递推公式求通项公式，提升学生的数学抽象素养、数学运算素养和逻辑推理素养.
2.递推公式的理解与应用
(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值可逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
答案 B
答案 A
3.已知数列an的前n项和为Sn＝2n－1，则an＝________.
解析 由Sn＝2n－1得，当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，且a1＝20＝1，∴an＝2n－1.
答案 2n－1
4.若数列{an}的前n项和Sn＝log3(n＋1)，则a5＝________.
