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第五章
数 列
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
数列的历史悠久，中国、古印度、阿拉伯、古希腊等数学历史
中都有数列的主题，分布广泛，人类对数列的认识很早，不
晚于函数，而且各个国家、地区对数列的认识水平较深入.
《庄子》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；古代《易经》中有“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，这里包含了数列的涵意.中国的刘徽《九章算术》、西方的欧几里得《几何原本》都有丰富的数列内容.它们表明，数列是非常古老的数学对象，无论东方还是西方，古往今来，数列始终是数学研究的重要问题之一，历史悠久，文化灿烂.
[读图探新]——发现现象背后的知识
发现规律的能力是各行各业的人都需要具备的，因此，很多职业测试中都会有数字推理的考查内容.例如，以下是“行政职业能力测验”中的一道题，你能快速地做出来并说明理由吗？
根据1，2，4，7，( )，16中各数字之间的关系，填出括号中的数.
解答此类题目的关键无疑是要找出其中数字出现的规律.事实上，很久以前人们就开始了对类似问题的研究.
例如，古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4，9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示.
依据这一规律，我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等.
你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现.
19世纪的时候，门捷列夫将当时已有的原子量约为7至14的元素按从小到大的顺序排列后，得到了如下结果：
元素 锂 硼 碳 铍 氮
原子量
7
11
12
13.5
14
化合价
＋1
＋3
＋4
＋2
＋5
仔细观察，你是否发现了其中的不“和谐”的地方？
门捷列夫当时猜测，铍的原子量可能不是13.5，而应该约为9，这一猜测后来在实验室得到验证！
数学上，通常将按一定顺序排列的数称为数列.本章我们要学习的就是数列的基础知识，以及两种规律比较常见的数列.
5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
课标要求
素养要求
1.通过日常生活和实例，了解数列的概念和表示方法，理解数列的通项公式.
2.了解数列是一种特殊函数.
通过实例了解数列的概念，用数列的通项公式表示数列，发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.
新识探究
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图1.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图2.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.那么数列的概念是什么？可分为哪几类？就让我们一起进入今天的学习吧.
1.数列的概念
按照__________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的____，各项依次称为这个数列的第1项(或______)，第2项，…，组成数列的数的______称为数列的项数.
一定次序
项
首项
个数
2.数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的________
(也称n为an的序号，其中n为正整数)，称为数列的______，此时，一般将整个数列简记为__________.
3.数列的通项
如果数列的第n项an与n之间的关系可以用________________来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.
第n项
通项
{an}
an＝f(n)
4.数列与函数的关系
数列{an}总可以看成定义域为________________的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取________
时对应的________，而数列的通项公式也就是相应函数的________，数列也可以用平面直角坐标系中的____来直观地表示.
5.数列的分类
(1)数列按项数可分为__________和__________，项数______的数列叫做有穷数列，项数______的数列叫做无穷数列.
(2)从第2项起，每一项都______它的前一项的数列，称为递增数列；从第2项起，每一项都______它的前一项的数列，称为递减数列；各项都______的数列称为常数列.
正整数集的子集
正整数值
函数值
解析式
点
有穷数列
无穷数列
有限
无限
大于
小于
相等
拓展深化
[微判断]
1.同一个数在一个数列中只能出现一次.(
)
提示 数列中的数讲究顺序，可以出现相同的数.
2.每一个数列有且只有一个通项公式.(
)
提示 并不是每一个数列都有通项公式，而且有的数列的通项公式可能不唯一.
3.如果一个数列不是递增数列，则一定是递减数列.(
)
提示 也有可能是常数列，或既不是递增数列，也不是递减数列.
×
×
×
[微训练]
1.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( )
A.an＝n，n∈N＋
B.an＝n＋1，n∈N＋
C.an＝n＋2，n∈N＋
D.an＝2n，n∈N＋
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N＋.
答案 B
解析 从第2项起，每一项大于它的前一项的数列是递增数列，故③⑤是，项数无限的数列有①②③④，是无穷数列.
答案 ③⑤ ①②③④
[微思考]
1.数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列吗？数列与集合的列举法有什么区别？
提示 数列1，2，3与3，2，1不是同一个数列，因为顺序不一样，数列中的数有顺序要求，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.
2.如何进行数列的递增或递减的判断？
提示 (1)按定义判断：若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1
(2)利用函数f(n)在(0，＋∞)上的单调性判断.
解析 A是无穷递减数列；B是无穷摆动数列；D是有限数列.
答案 C
规律方法 (1)有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.
(2)数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列.
【训练1】 下列数列：
①1，2，22，23，…，263；②1，0.5，0.52，0.53，…；③0，10，20，30，…，1
000；④－1，1，－1，1，－1，…；⑤7，7，7，7，….
其中有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________.(填序号)
答案 ①③ ②④⑤ ①③ ② ④ ⑤
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系.
(3)各项加1后，变为10，100，1
000，10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.
(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋.
题型三 通项公式的应用
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
解 (1)根据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项.
即an＋1规律方法 单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1③定号；④结论.
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，
法二 ∵n∈N＋，∴an>0.
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
题型五 求数列的最大(小)项
【例5】 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N＋，∴n＝2，3.∴数列中有两项是负数.
又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
解这个不等式组，得2≤n≤3，
又∵n∈N＋，∴n＝2或3.∴a2＝a3且最小.
∴n＝2或3时，an有最小值，且最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
解 假设数列{an}中存在最大项.
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
一、素养落地
1.通过实例了解数列的概念，用数列的通项公式表示数列，提升数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.数列是一类特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上，数列的定义域为正整数集的子集，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
3.数列的通项公式给出了数列的项与项数n之间的关系，如同所有的函数不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式，有的数列有通项公式，且形式上不一定唯一.
答案 D
2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.非任何一项
解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去).
答案 C
3.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项是( )
A.a10
B.a9
C.a7
D.a5
解析 an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，n＝5时，an有最大值.
答案 D
解 (1)中3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，….
所以an＝2n＋1.第五章
数 列
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
数列的历史悠久，中国、古印度、阿拉伯、古希腊等数学历史中都有数列的主题，分布广泛，人类对数列的认识很早，不晚于函数，而且各个国家、地区对数列的认识水平较深入.
《庄子》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；古代《易经》中有“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，这里包含了数列的涵意.中国的刘徽《九章算术》、西方的欧几里得《几何原本》都有丰富的数列内容.它们表明，数列是非常古老的数学对象，无论东方还是西方，古往今来，数列始终是数学研究的重要问题之一，历史悠久，文化灿烂.
[读图探新]——发现现象背后的知识
发现规律的能力是各行各业的人都需要具备的，因此，很多职业测试中都会有数字推理的考查内容.例如，以下是“行政职业能力测验”中的一道题，你能快速地做出来并说明理由吗？
根据1，2，4，7，( )，16中各数字之间的关系，填出括号中的数.
解答此类题目的关键无疑是要找出其中数字出现的规律.事实上，很久以前人们就开始了对类似问题的研究.
例如，古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4，9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示.
依据这一规律，我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等.
你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现.
19世纪的时候，门捷列夫将当时已有的原子量约为7至14的元素按从小到大的顺序排列后，得到了如下结果：
元素 锂 硼 碳 铍 氮
原子量
7
11
12
13.5
14
化合价
＋1
＋3
＋4
＋2
＋5
仔细观察，你是否发现了其中的不“和谐”的地方？
门捷列夫当时猜测，铍的原子量可能不是13.5，而应该约为9，这一猜测后来在实验室得到验证！
数学上，通常将按一定顺序排列的数称为数列.本章我们要学习的就是数列的基础知识，以及两种规律比较常见的数列.
5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
课标要求
素养要求
1.通过日常生活和实例，了解数列的概念和表示方法，理解数列的通项公式.2.了解数列是一种特殊函数.
通过实例了解数列的概念，用数列的通项公式表示数列，发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.
新知探究
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图1.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图2.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.那么数列的概念是什么？可分为哪几类？就让我们一起进入今天的学习吧.
1.数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，组成数列的数的个数称为数列的项数.
2.数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数)，称为数列的通项，此时，一般将整个数列简记为{an}.
3.数列的通项
如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.
4.数列与函数的关系
数列{an}总可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.
5.数列的分类
(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，称为递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，称为递减数列；各项都相等的数列称为常数列.
拓展深化
[微判断]
1.同一个数在一个数列中只能出现一次.(×)
提示 数列中的数讲究顺序，可以出现相同的数.
2.每一个数列有且只有一个通项公式.(×)
提示 并不是每一个数列都有通项公式，而且有的数列的通项公式可能不唯一.
3.如果一个数列不是递增数列，则一定是递减数列.(×)
提示 也有可能是常数列，或既不是递增数列，也不是递减数列.
[微训练]
1.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( )
A.an＝n，n∈N＋
B.an＝n＋1，n∈N＋
C.an＝n＋2，n∈N＋
D.an＝2n，n∈N＋
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N＋.
答案 B
2.已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋，则a1＝________，a10＝________.
解析 a1＝＝1，a10＝＝－.
答案 1 －
3.下列数列中递增数列是________，无穷数列是________.
①1，0.4，0.42，0.43，…；②7，7，7，7，…；
③2，4，6，8，10，…；④，，，，…；
⑤1，3，5，7，…，47，49.
解析 从第2项起，每一项大于它的前一项的数列是递增数列，故③⑤是，项数无限的数列有①②③④，是无穷数列.
答案 ③⑤ ①②③④
[微思考]
1.数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列吗？数列与集合的列举法有什么区别？
提示 数列1，2，3与3，2，1不是同一个数列，因为顺序不一样，数列中的数有顺序要求，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.
2.如何进行数列的递增或递减的判断？
提示 (1)按定义判断：若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1(2)利用函数f(n)在(0，＋∞)上的单调性判断.
题型一 数列的概念及分类
【例1】 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1，，，，…
B.sin
，sin
，sin
，sin
，…
C.－1，－，－，－，…
D.1，2，3，4，…，30
解析 A是无穷递减数列；B是无穷摆动数列；D是有限数列.
答案 C
规律方法 (1)有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.
(2)数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列.
【训练1】 下列数列：
①1，2，22，23，…，263；②1，0.5，0.52，0.53，…；③0，10，20，30，…，1000；④－1，1，－1，1，－1，…；⑤7，7，7，7，….
其中有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________.(填序号)
答案 ①③ ②④⑤ ①③ ② ④ ⑤
题型二 由数列的前n项写出数列的一个通项公式
【例2】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1，7，－13，19，…；
(2)0.8，0.88，0.888，…；
(3)，，－，，－，，…；
(4)，1，，，….
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝(1－).
(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－，至此原数列已化为－，，－，，…，∴an＝(－1)n·.
(4)将数列统一为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为an＝.
规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系.
【训练2】 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；(2)，2，，8；(3)9，99，999，9
999；(4)2，0，2，0.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)各项加1后，变为10，100，1
000，10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.
(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋.
题型三 通项公式的应用
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
解 (1)根据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，∴n＝7或n＝(舍).
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.
∵－2?N＋，?N＋，∴68不是该数列的项.
规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项.
【训练3】 已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋).
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项.
解 (1)a10＝＝.
(2)令＝，化简得：8n2－33n－35＝0，
解得n＝5.当n＝5时，a5＝－≠.
∴不是该数列中的项.
题型四 数列单调性的判断
【例4】 已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋).
(1)求证：an>－2；
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
解 (1)由已知得，an＝(n∈N＋).
∴an＝－＝－2＋.
∵n≥1，n∈N＋，∴>0，∴an>－2.
(2)由an＝－2＋，得an＋1＝－2＋，
∴an＋1－an＝－＝.
∵n≥1，且n∈N＋，∴<0，
即an＋1规律方法 单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1【训练4】 已知数列{an}的通项an＝，试判断数列{an}是递增数列还是递减数列？
解 ∵an＝，∴an＋1＝＝.
法一 an＋1－an＝－
＝＝，
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，
∴数列为递增数列.
法二 ∵n∈N＋，∴an>0.
∵＝＝＝＝1＋>1，∴an＋1>an，∴数列为递增数列.
法三 令f(x)＝(x≥1)，则
f(x)＝＝，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴数列是递增数列.
题型五 求数列的最大(小)项
【例5】 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N＋，∴n＝2，3.∴数列中有两项是负数.
(2)法一 ∵{an}的相应函数为f(x)＝x2－5x＋4＝(x－)2－，可知对称轴方程为x＝＝2.5.
又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
法二 设第n项最小，由得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
又∵n∈N＋，∴n＝2或3.∴a2＝a3且最小.
∴n＝2或3时，an有最小值，且最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
规律方法 求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项.
【训练5】 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.
解 假设数列{an}中存在最大项.
∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9，10项，且a9＝a10＝.
一、素养落地
1.通过实例了解数列的概念，用数列的通项公式表示数列，提升数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.数列是一类特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上，数列的定义域为正整数集的子集，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
3.数列的通项公式给出了数列的项与项数n之间的关系，如同所有的函数不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式，有的数列有通项公式，且形式上不一定唯一.
二、素养训练
1.下列叙述正确的是( )
A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C.数列0，2，0，2，…是常数列
D.数列{}是递增数列
解析 由数列的通项an＝知，当n的值逐渐增大时，的值越来越接近1，即数列{}是递增数列，故选D.
答案 D
2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.非任何一项
解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去).
答案 C
3.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项是( )
A.a10
B.a9
C.a7
D.a5
解析 an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，n＝5时，an有最大值.
答案 D
4.写出下列数列的一个通项公式：
(1)3，5，9，17，33，…；
(2)，，，，，…；
(3)，－1，，－，，－，….
解 (1)中3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，….
所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21，22，23，24，…，所以an＝.
(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32＋1，42＋1，52＋1，62＋1，按照这样的规律，第1，2两项可分别改写为，－，所以an＝(－1)n＋1.
基础达标
一、选择题
1.下列结论不正确的是( )
A.数列是递增数列
B.任何数列都有通项公式
C.根据通项公式可以求出数列的任何一项
D.一个数列可能有几个不同形式的通项公式
解析 有的数列没有通项公式.
答案 B
2.数列1，0，1，0，…的一个通项公式可能是( )
A.an＝
B.an＝
C.an＝sin
D.an＝|cos
nπ|
解析 将n＝1代入可排除A，n＝2时，可排除D，又n＝3时，排除C.
答案 B
3.数列，，，，…的第10项是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝，当n＝10时，a10＝＝.
答案 C
4.已知数列，，，，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中是该数列中某一项值的数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 数列，，，，…的通项公式为
an＝，0.94＝＝，0.96＝＝，
0.98＝＝，0.99＝，
，，都在数列中，故有3个.
答案 C
5.已知数列，3，，，3，…，，…，则9是这个数列的( )
A.第12项
B.第13项
C.第14项
D.第15项
解析 数列的通项为an＝，由9＝得n＝14.
答案 C
二、填空题
6.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，
，________，，….
解析 由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
答案 3
7.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第________项.
解析 ∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
答案 10
8.已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________.
解析 由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N＋，∴n≤9.
答案 9
三、解答题
9.已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}中的最大项.
解 由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋108.由于n∈N＋，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.
∴数列{an}中的最大项为a7＝108.
10.写出下列数列的一个通项公式(可以不写过程)：
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)，，，，…；
(3)1，0，－，0，，0，－，0，…；
(4)7，77，777，7
777，….
解 (1)an＝2n－1.
(2)an＝.
(3)把数列改写成，，－，，，，－，，…分母依次为1，2，3，…，而分子1，0，－1，0，…周期性出现，因此，我们可以用sin表示，故an＝.
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
能力提升
11.设an＝＋＋＋…＋
(n∈N＋)，那么an＋1－an等于( )
A.
B.
C.＋
D.－
解析 ∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
答案 D
12.已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断该数列的单调性.
解 ∵an＋1－an＝－
＝
＝，
由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列.
创新猜想
13.(多选题)若数列{an}是无穷递减数列，且从第2项起每一项都是它前一项的2倍，则其通项公式可能是( )
A.an＝2n，n∈N＋
B.an＝－2n，n∈N＋
C.an＝－3×2n，n∈N＋
D.an＝3×2n，n∈N＋
解析 AD都是递增数列，BC符合条件.
答案 BC
14.(多选题)已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)且{an}单调递增，则k的值可取( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ∵an＝n2－kn，∴an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)，
∴an＋1－an＝2n＋1－k，
∵数列{an}单调递增，
∴an＋1－an>0，即2n＋1－k>0对?n∈N＋都成立，∴k<2n＋1，n∈N＋，∴k<3，结合选项可选A，B.
答案 AB