北师大版九年级数学上册1.2 矩形的性质与判定同步练习（Word版，附答案解析）

1.2
矩形的性质与判定
一．选择题
1．如图，有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④∠ADC＝∠BAD，从中选取1个作为补充条件，使?ABCD为矩形，其中错误的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
2．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连结CE．若该矩形的周长为20，则△CDE的周长为（　　）
A．10
B．9
C．8
D．5
3．如图，点P是矩形ABCD的边AD上一动点，矩形的两边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
4．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（　　）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1
B．1或4
C．1或2
D．2或4
6．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（　　）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；
④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．
A．2
个
B．3个
C．4
个
D．5个
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A．
B．
C．3
D．4
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AD的中点，点F在DC上，且CF＝1，若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
二．填空题
9．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．若AB＝2，∠EBC＝45°，则BC的长为　
　．
10．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，需要添加一个条件，使它变为矩形，你添加的条件是　
　．（不要添加任何字母和辅助线）
11．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝5厘米，AD＝BC＝4厘米．动点P从A出发，以1厘米/秒的速度沿A→B运动，到B点停止运动；同时点Q从C点出发，以2厘米/秒的速度沿C→B→A运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒（t＞0），当t＝　
　时，S△ADP＝S△BQD．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是　
　．
13．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EB′GF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝　
　．
14．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，当点F是CD的中点时，若AB＝4，则BC＝　
　．
三．解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点C．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts．
（1）a＝　
　cm，b＝　
　cm；
（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．
19．如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
20．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
21．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
23．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．
（1）求四边形PBCQ的面积；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？
参考答案
一．选择题
1．解：当AB＝BC时，则?ABCD为菱形，故①错误；
当∠ABC＝90°时，则?ABCD为矩形，故②正确；
当AC＝BD时，则?ABCD为矩形，故③正确；
当∠ADC＝∠BAD时，可得∠ADC＝∠BAD＝90°，则?ABCD为矩形，故④正确；
故选：A．
2．解：∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴AO＝OC，
∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，
∴AE＝CE，
∵矩形的周长为20，
∴AD+DC＝AB+BC＝10，
∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝10，
故选：A．
3．解：连接OP，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，
解得：PE+PF＝，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴BM＝AB＝2，
∴CM＝＝＝，
∴DM＝CD﹣CM＝2﹣；
故选：D．
5．解：分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，
∴t＝2÷2＝1（s）；
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝16﹣2t，
解集得：t＝4（s），
故选：B．
6．解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
7．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝，
∴MN的最小值为；
故选：A．
8．解：∵AB＝4，BC＝6，四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，DC＝AB＝4，
∵点E是AD的中点，点F在DC上，且CF＝1，
∴DE＝AE＝3，DF＝DC﹣CF＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：EF＝＝＞4，
有三种情况：①当EF为腰，E为顶点时，根据矩形的对称性，可判断点P在BC上存在两个点，在AB上存在一个点，共3个点；
②当EF为腰，F为顶点时，
∵＜6，
∴在BC上存在一个点P满足题意；
③当EF为底边时，点P在EF的垂直平分线上，且与矩形ABCD的边有交点，此时符合的有两个点（其中一个是D点），
即3+1+2＝6，
故选：D．
二．填空题
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DEC＝∠BCE．
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC＝∠BEC．
∴∠BEC＝∠ECB．
∴BE＝BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∵∠ABE＝45°，
∴∠ABE＝AEB＝45°．
∴AB＝AE＝2．
∵由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∴BC＝BE＝2，
故答案为：2．
10．解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形，
添加条件：AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90°时，四边形ABCD是矩形；
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90°．
11．解：①当点Q在CB上时，
如图1所示：
S△ADP＝AD×AP＝2t，S△BQD＝BQ×DC＝（4﹣2t），
若S△ADP＝S△BQD，
则2t＝（4﹣2t），
解得：t＝；
②当点Q运动至BA上时，
如图2所示：
S△ADP＝AD×AP＝2t，S△BQD＝BQ×DA＝2（2t﹣4），
若S△ADP＝S△BQD，
则2t＝2（2t﹣4），
解得：t＝4；
③t＝5s时，S△ADP＝S△BQD；
综上可得：当t为秒或4秒或5秒时，S△ADP＝S△BQD；
故答案为：秒或4秒或5秒．
12．解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝6﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝；
故答案为：．
13．解：如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，则∠FEC＝∠AFE＝55°．
∴∠BEF＝180°﹣55°＝125°．
根据折叠的性质知：∠B′EF＝∠BEF＝125°．
∴∠CEB'＝∠B′EF﹣∠FEC＝125°﹣55°＝70°．
故答案是：70°．
14．解：如图，连接BF，作FH⊥BE于H．作FM∥BE交BC于M．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠D＝∠C＝∠ABC＝90°，
∵F是CD中点，
∴DF＝FC＝2，
∵EF平分∠BED，FH⊥EB，FD⊥ED，
∴FH＝FD＝FC，
∵BF＝BF，
∴Rt△BFH≌Rt△BFC，
∴∠FBC＝∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝45°，
∴∠FBC＝∠FBH＝22.5°，
∵FM∥BE，
∴∠FMC＝∠EBC＝45°，
∵∠FMC＝∠FBM+∠MFB，
∴∠MFB＝∠MBF＝22.5°，
∴FM＝BM，
∵∠FMC＝∠CFM＝45°，CF＝2，
∴FM＝BM＝2，
∴BC＝BM+CM＝2+2．
故答案为2+2．
三．解答题
15．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，BD∥AE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，
∴矩形ADCE是正方形，
∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，
∴AC＝AE＝2，
即矩形ADCE对角线的长为2．
16．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
17．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
18．解：（1）∵（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0，
∴a﹣3＝0，2a+b﹣9＝0，
∴a＝3，b＝3；
故答案为：3，3；
（2）∵AE＝3cm，DE＝3cm，
∴AD＝6cm＝BC，
∴C四边形BCDE＝BC+CD+DE+EB＝18cm，
∵EP把四边形BCDE的周长平分，
∴BE+BP＝9cm，
∴点P在BC上，BP＝4cm，
∴t＝＝2s；
（3）解：①点P在BC上（0＜t≤3），
∵S△BPQ＝×2t×4＝6，
∴t＝；
②相遇前，点P在CD上（3＜t≤），
∵S△BPQ＝×[（4﹣（t﹣3）﹣（2t﹣6）]×6＝6，
∴t＝；
③相遇后，点P在CD上（＜t≤5），
∵S△BPQ＝×[（（t﹣3）+（2t﹣6）﹣4]×6＝6，
∴t＝5；
∴综上所述，当t＝s或s或5s时，△BPQ的面积等于6cm2．
19．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝4，CF＝3，
∴EF＝＝5，
∴OC＝EF＝；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
20．解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，
则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，
答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
21．（1）证明：如图1中，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．
∵AN＝BN＝2，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DMC，
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，
∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．
②如图3中，延长CM、BA交于点E．
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，
∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，
∴x＝，
∴BC＝＝＝．
22．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DA＝AE，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵AC⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴四边形AEBC是矩形；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，
∵四边形AEBC是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝EO，
∴AF＝OF，
∴AG＝OG，
∴∠GOF＝∠GAF＝30°，
∴∠CGO＝60°，
∴∠COG＝90°，
∵OC＝OA＝AB＝3，
∴OG＝，
∴△OGC的面积＝×3×＝．
23．解：（1）设运动时间为t，
则AP＝t，CQ＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°，
∴BP＝4﹣t，
∴四边形PBCQ的面积＝（PB+CQ）?BC＝4×2＝4（cm）2；
（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，
∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t，
①当PQ＝DQ＝4﹣t时，
如图1，过P作PH⊥DQ于H，
则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t，
∵CQ＝t，
∴HQ＝4﹣2t，
∵PH2+HQ2＝PQ2，
∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，
解得：t＝2，t＝，
②当PQ＝PD时，
如图2，过P作PH⊥DQ于H，
则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t，
∵CQ＝t，
∴HQ＝4﹣2t，
∴4﹣2t＝t，
∴t＝，
③当DQ＝PD时，
∴DQ＝4﹣t，
∴PD＝DQ＝4﹣t，
∵AP2+AD2＝PD2，
∴t2+22＝（4﹣t）2，
∴t＝，
综上所述，当t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．