北师大版九年级数学上册1.3 正方形的性质与判定同步练习（Word版，附答案解析）

1.3
正方形的性质与判定
一．选择题
1．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA＝OB＝OC＝OD，则这个四边形（　　）
A．可能不是平行四边形
B．一定是菱形
C．一定是正方形
D．一定是矩形
2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；
②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（　　）
A．①③
B．①②③④
C．①②③
D．①③④
3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）
A．45°
B．15°
C．10°
D．125°
4．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（3，0），则点D的坐标为（　　）
A．（1，2.5）
B．（1，1+）
C．（1，3）
D．（﹣1，1+）
6．下列命题中：
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；
⑤对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．
其中真命题有（　　）个
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（　　）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．无法判断
8．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．30
B．34
C．36
D．40
二．填空题
9．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　
　．
10．?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　
　，使得?ABCD为正方形．
11．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　
　．
12．如图，正方形ABCD的边长为4厘米，则图中阴影部分的面积为　
　．
13．如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．若CE＝，且∠ECF＝45°，则CF的长为　
　．
14．如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE：AE＝1：4，若P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是　
　．（结果保留根号）
15．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为　
　．
16．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　
　．
三．解答题
17．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF．
（1）求证：
①△AEF≌△DEB；
②四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB＝AC，∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
19．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
20．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为3，AE＝1，求菱形BEDF的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：这个四边形是矩形，理由如下：
∵对角线AC、BD交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵OA+OC＝OD+OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确；
故选：B．
3．解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB
∴∠AEB＝30°÷2＝15°，
∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，
故选：A．
4．解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cos∠CBE＝cos∠ECG＝，
∴，CG＝，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，
故选：A．
5．解：过D作DH⊥y轴于H，
∵四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，
∴AO＝BC，DE＝EF＝BF，
∠AOC＝∠DEF＝∠BFE＝∠BCF＝90°，
∴∠OEF+∠EFO＝∠BFC+∠EFO＝90°，
∴∠OEF＝∠BFO，
∴△EOF≌△FCB（ASA），
∴BC＝OF，OE＝CF，
∴AO＝OF，
∵E是OA的中点，
∴OE＝OA＝OF＝CF，
∵点C的坐标为（3，0），
∴OC＝3，
∴OF＝OA＝2，AE＝OE＝CF＝1，
同理△DHE≌△EOF（ASA），
∴DH＝OE＝1，HE＝OF＝2，
∴OH＝2，
∴点D的坐标为（1，3），
故选：C．
6．解：根据平行四边形、菱形、正方形及矩形的判定可知：
①真命题．
②假命题，如：等腰梯形的对角线相等，但不是平行四边形．
③真命题，利用两直线平行同旁内角互补即可证得另一组对角也相等．
④真命题，平分一组对角，可利用等角对等边，得到邻边相等，而邻边相等的平行四边形是菱形．
⑤假命题，如当对角线的交点不在两线段中点的四边形不是正方形．
故选：C．
7．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两张长方形纸条的宽度相等，
∴DE＝DF．
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝BC?DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
二．填空题
9．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
10．解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，
当∠BAD＝90°时，?ABCD为正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
11．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6
∴BF＝＝10
∴GH＝5
故答案为：5
12．解：依题意有S＝×4×4＝8平方厘米，所以阴影部分的面积为8平方厘米．
故答案是：8平方厘米．
13．解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝3，CB＝6，
∴BE＝＝＝3，
∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF＝＝，
∴（9﹣x）2＝9+x2，
∴x＝4，
即AF＝4，
∴GF＝5，
∴DF＝2，
∴CF＝＝＝2，
故答案为：2．
14．解：连接BD，
则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，
由对称的性质可得，PB＝PD，故PE+PB＝DE，
由两点之间线段最短可知，DE即为PE+PB的最小值，
∵AB＝AD＝5，BE：AE＝1：4
∴BE＝1，AE＝4，
在Rt△ADE中，
DE＝＝＝．
故答案为：．
15．解：由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；
C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形的另一直角边的平方，
则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，
因为最大的正方形的边长为5，则其面积是25，即正方形A，B，C，D的面积的和为25．
故答案为25．
16．解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴＝13．
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝＝．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FECD为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴四边形FECD是菱形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FECD是正方形；
（2）∵四边形FECD是正方形，
∴∠CDE＝45°，
∵，
∴CE＝CD＝ED?sin45°＝2×＝2，
∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，
∴BD＝．
18．（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC．
②由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）四边形ADCF是正方形．理由如下：
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD⊥BC，AD＝BC＝DC，
∴平行四边形ADCF是正方形．
19．（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴2∠COD+2∠COF＝180°，
∴∠COD+∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；
理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，
同理DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵∠ACB＝∠ACD＝45°，BC＝DC，CF＝CF，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
（2）连接BD，如图所示：
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AC＝BD，∠ABC＝90°，AB＝AD＝3，
在Rt△ABC中，AC＝＝3
∴BD＝3，
∵AE＝CF＝1，
∴S菱形BEDF＝BD?EF＝×3×（3﹣1﹣1）＝9﹣3．