北师大版七年级上册数学试题：第五章一元一次方程数轴动点类问题专练（Word版，附答案解析）

第五章《一元一次方程》数轴动点类问题专练
1．【探索新知】
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC＝3，则AB＝　
　．
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC　
　DB．
【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度；
（4）在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，停止运动，当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请直接写出t的值．
2．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．
（1）A，B两点间的距离为　
　．
（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3个单位/秒的速度向左运动．运动时间为t秒，用含t的代数式表示：
①点P在数轴上表示的数为　
　．
②若两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是多少．
（3）若当电子蚂蚁P从A点出发时，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
3．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为　
　cm；
（2）由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只是1岁；等你到我这个年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？
4．如图，数轴上点A对应的有理数为12，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒2个单位长度的速度从原点O出发，且P、Q两点同时向数轴正方向运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：当t＝2时，P，Q两点对应的有理数分别为　
　，　
　，PQ＝　
　．
（2）当PQ＝8时，求t的值．
5．阅读理解：如图①，若线段AB在数轴上，A、B两点表示的数分别为a和b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为AB＝b﹣a．请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴的原点开始，先向左移动2cm到达P点，再向右移动7cm到达Q点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在图②的数轴上表示出P，Q两点的位置；
（2）若将图②中的点P向左移动xcm，点Q向右移动3xcm，则移动后点P、点Q表示的数分别为多少？并求此时线段PQ的长．（用含x的代数式表示）；
（3）若P、Q两点分别从第（1）问标出的位置开始，分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动，设运动时间为t（秒），当t为多少时PQ＝2cm？
6．如图，已知点A，点B是直线上的两点，AB＝12厘米，点P，点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P，Q分别从点A，点B同时相向出发沿直线运动t秒：
（1）求P，Q两点刚好重合时的t值；
（2）当P，Q两点重合后继续沿原来方向前进，求相距6厘米时的t值；
（3）当点Q离A点的距离为2厘米时，求点P离B点的距离．
7．如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．
（1）求长方形的长；
（2）求小王、小李两人的速度．
8．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．（O为原点）
（1）a﹣b　
　0，a+c　
　0，b﹣c　
　0．
（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）
化简：|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|
（2）若数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3、﹣1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
①若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数x为　
　；
②若点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从原点O向左运动．当点A与点B之间的距离为1个单位长度时，求点P所对应的数x是多少？
9．如图，已知数轴上有A、B两点（点A在点B的左侧），且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是　
　；
（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是　
　个长度单位；
（3）当点A表示的数是﹣3时，用含t的代数式表示点P表示的数；
（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值．
10．已知数轴上三点A、O、B表示的数分别为4、0、﹣2，动点P从A点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是　
　．
（2）另一动点R从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多长时间追上点R？
（3）若点M为AP的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
参考答案
1．解：（1）∵AC＝3，BC＝πAC
∴BC＝3π
∴AB＝AC+BC＝3π+3
故答案为：3π+3．
（2）∵BC＝πAC
∴当BD＝AC时，有AD＝πBD
即点D是线段AB的圆周率点
故答案为：＝．
（3）由题意可知，点C表示的数是π+1
若点M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM＝x，则
x+πx＝π+1
解得：x＝1
∴MN＝π+1﹣1﹣1＝π﹣1．
（4）由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：2t、π+1、π+1+t
当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，有以下四种情况：
①点P在点C左侧，PC＝πCQ
∴π+1﹣2t＝πt
解得：t＝；
②点P在点C左侧，πPC＝CQ
∴π（π+1﹣2t）＝t
解得：t＝；
③点P在点C、点Q之间，且πPC＝PQ
∴π（2t﹣π﹣1）＝π+1+t﹣2t
解得：t＝
④点P在点C、点Q之间，且PC＝πPQ
∴2t﹣π﹣1＝π（π+1+t﹣2t）
解得：t＝．
∴符合题意的t的值为：、、、．
2．解：（1）由题意，得：90﹣（﹣10）＝100
故答案是：100；
（2）①点P表示的数是：2t﹣10．
故答案是：2t﹣10；
②设t秒后P、Q相遇，
∴3t+2t＝100，解得t＝20；
∴此时点P走过的路程＝2×20＝40，
∴此时C点表示的数为﹣10+40＝30．
答：C点对应的数是30；
（3）设经过x秒两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
相遇前：4x﹣6x+100＝20
解得x＝40．
相遇后：6x﹣4x﹣100＝20
解得x＝60
综上所述，经过40或60秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
3．解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24﹣6＝18（cm），
则此木棒长为：18÷3＝6cm，
故答案为：6．
（2）设马老师今年x岁，因为马老师和小丽的年龄和是：52+1＝53（岁），则小丽的岁数是53﹣x岁；
所以，x﹣（53﹣x）+x＝52
3x﹣53＝52，
x＝35，
小丽的年龄是：53﹣35＝18（岁）
答：小丽现在18岁，马老师现在35岁．
4．解：（1）∵2×2＝4，12+2×1＝14，
∴当t＝2时，P，Q两点对应的有理数分别是14，4，
∴PQ＝14﹣4＝10．
故答案为：14；4；10．
（2）当运动t秒时，P、Q两点对应的有理数分别为12+t，2t．
①当点P在点Q右侧时：
∵PQ＝8，
∴（12+t）﹣2t＝8，
解得t＝4．
②当点P在点Q的左侧时：
∵PQ＝8，
∴2t﹣（12+t）＝8，
解得t＝20．
综上所述，当PQ＝8时，t的值为4或20．
5．解：（1）P，Q两点的位置如图所示：
（2）由题意得，点P所表示的数为：﹣2﹣x；点Q所表示的数为：5+3x
PQ＝5+3x﹣（﹣2﹣x）＝7+4x；
∴移动后点P、点Q表示的数分别为：（﹣2﹣x）和：（5+3x）；
（3）由题意得运动时间为t（秒）后点P和点Q表示的数分别为：﹣2+2t和5+t，
则由PQ＝2cm得：
|5+t﹣（﹣2+2t）|＝2
∴|7﹣t|＝2
∴7﹣t＝2或7﹣t＝﹣2
∴t＝5或t＝9．
∴当t为5或9时PQ＝2cm．
6．解：（1）由题意，得：t+2t＝12，
解得t＝4．
故P，Q两点刚好重合时的t值为4秒；
（2）因为运动时间为t秒，
则2（t﹣4）+（t﹣4）＝6，
3t﹣12＝6，
t＝6．
故相距6厘米时的t值为6秒；
（3）当点Q离A点的距离为2厘米时，分两种情况：
①点Q在A点的右边，
因为AB＝12cm，
此时t＝5，
P点经过了5厘米，点P离B点的距离为7厘米；
②点Q在A点的左边，
因为点Q运动了（12+2）÷2＝7（秒），
此时t＝7，P点经过了7厘米，
所以点P离B点的距离为12﹣7＝5（厘米）．
综上所说，点P离B点的距离为7厘米或者5厘米．
7．解：（1）长方形的长为：（60+30）×30÷2÷30＝45m；
（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，由题意得
10（x+x+2）＝（45+30）×2，
解得：x＝6.5，
则x+2＝8.5．
答：小李的速度是6.5m/s，则小王的速度是8.5m/s．
8．解：（1）a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0；
故答案为：＜，＜，＜；
|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|＝2c；
（2）①数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3、﹣1，点P到点A、点B的距离相等，
x＝＝﹣2，
②设运动t秒时，点A与点B之间的距离为1个单位长度，
当A没追上B之前，
2t﹣0.5t＝2﹣1
解得：t＝，
则点P表示×（﹣6）＝﹣4；
当A追上B之后，
2t﹣0.5t＝2+1
解得：t＝2，
则点P表示2×（﹣6）＝﹣12．
9．解：（1）∵A、B两点间的距离为8个单位长度，且点A、B表示的数是互为相反数，点A在点B的左侧，
∴点A表示的数是﹣4，点B表示的数是4．
故答案为：﹣4．
（2）AP＝2t＝2×3＝6．
故答案为：6．
（3）∵点A表示的数为﹣3，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴AP＝2t，
∴点P表示的数为2t﹣3．
（4）设点A表示的数为a，则点B表示的数为a+8，
∴当运动时间为t秒时，点P表示的数为a+2t，
∴AP＝2t，BP＝|（a+8）﹣（a+2t）|＝|8﹣2t|．
∵AP＝2BP，
∴2t＝2|8﹣2t|，即2t＝16﹣4t或2t＝4t﹣16，
解得：t＝或t＝8．
∴当点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍时，t的值为或8．
10．解：（1）∵A，B表示的数分别为4，﹣2，
∴AB＝6，
∵PA＝PB，
∴点P表示的数是1，
故答案为：1；
（2）设P点运动x秒追上R点，由题意得：2x+6＝3x
解得：x＝6
答：P点运动6秒追上R点．
（3）MN的长度不变．
①当P点在线段AB上时，如图示：
∵M为PA的中点，N为PB的中点
∴
又∵MN＝MP+NP
∴
∵AP+BP＝AB，AB＝6
∴
②当P点在线段AB的延长线上时，如图示：
∵MN＝MP﹣NP，AB＝AP﹣BP＝6
∴＝．