人教版九年级数学上册 23.1---23.2随堂练习题（2课时 含解析）

23.1
图形的旋转
一．选择题
1．在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处，连接CE，则点B到CE的距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（　　）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
4．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（　　）
A．
B．4
C．
D．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的大小为（　　）
A．60°
B．50°
C．45°
D．40°
6．如图，等边三角形ABC与等边三角形EFB共端点B，BC＝2，BF＝，△EFB绕点B旋转，∠BCF的最大度数（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转一个角度后，恰好AB′∥BC，若∠B＝30°，则△ABC旋转了（　　）
A．10°
B．20°
C．30°
D．35°
8．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到△A'B'C，若B'恰好落在线段AB上，连接AA'，则下列结论中错误的是（　　）
A．∠B'A'C＝25°
B．AC＝AA'
C．∠ACA'＝50°
D．AB⊥AA'
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC′，点C的对应点C'落在AB边上，A'B＝5，连接AA′．则AA'长为（　　）
A．2
B．
C．3
D．4
10．如图所示的是正十二角形体，因为其独特的对称美，所以2019年在英国举办的第60界国际数学奥林匹克的会标，就选用了正十二角形体，若将它绕自身中心旋转一定角度后能与原图重合，则这个角度不可能是（　　）
A．60°
B．90°
C．120°
D．180°
11．将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（　　）
A．90°
B．120°
C．180°
D．270°
12．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（　　）
A．（﹣4，5）
B．（4，﹣5）
C．（﹣5，4）
D．（5，﹣4）
13．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣，）
B．（﹣1，）
C．（﹣，）
D．（﹣，）
14．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（　　）
A．（4，3）
B．（4，﹣3）
C．（﹣4，3）
D．（3，﹣4）
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a+b等于（　　）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
二．填空题
16．时钟从上午8时到中午12时，时针沿顺时针方向旋转了　
　度．
17．在正方形ABCD中，AB＝6，点P为边AB上的一动点，连接PC，以PC为边向下作等边△PCQ，连接BQ，则BQ的最小值是　
　．
18．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝5，EC＝3，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为　
　．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC绕着点B旋转得△A′BC′，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′．当点A，B，C′三点共线时，点C和点C′之间的距离为　
　．
20．如图，已知∠EAD＝34°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE＝　
　度．
21．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝1，OB＝，OC＝2，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO'①点O与O′的距离为2；②∠AOB＝135°；③四边形AOBO′的面积为；④△ABC的边长为；其中正确的结论为　
　．（填正确的番号）
22．正方形绕着它的中心至少旋转　
　度可以与它自身重合；五角星的最小旋转角是　
　度．
23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B（﹣1，2），第一次将矩形OABC绕右下角顶点O顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C1；第二次再将矩形O1A1B1C1绕右下角顶点C1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B2C2，……按此规律，经过第五次旋转得到的点A5坐标为　
　．
24．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点Q（﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为　
　．
25．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△AOB，∠AOB＝30°，∠OBA＝90°，OA边在x轴正半轴，且A（，0），现将其中的OB边绕原点O每次按逆时针方向旋转30°，并且每旋转一次长度增加一倍，点B对应点依次为B1、B2、B3、…，按照此规律，点B100的坐标为　
　．
三．解答题
26．已知△ABC为等边三角形．
（1）如图，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PB+PC＝PA；
（2）如图，P为△ABC内一点，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．
27．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？
（请你用图2证明你的猜想）
28．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且AE＝3，DE＝2，连接BE，求BE的长．
29．如图，边长为1的方格纸中建立直角坐标系，△OAB旋转得到△OA'B′，观察图形并回答问题：
（1）请将作图过程补充完整；并说明△OAB是如何旋转得到△OA'B'．
（2）填空：△OAA′的形状是　
　．
30．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是∠ABC的角平分线，若点B的坐标为（，0）．
（1）如图1，求点C的横坐标；
（2）如图2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°）得到Rt△AB'C'，直线AC'交直线BD于点P，直线AB'交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出∠APQ的度数；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．
C．
2．
A．
3．
B．
4．
A．
5．
D．
6．
C．
7．
C．
8．
B．
9．
B．
10．
B．
11．
B．
12．
C．
13．
A．
14．
B．
15．
C．
二．填空题
16．120°．
17．
3．
18．
3或13．
19．
或．
20．16．
21．③④．
22．
90，72．
23．（9，2）．
24．（1，2）．
25．（﹣299?，299）．
三．解答题
26．证明：（1）如图1，延长BP至点E，使得PE＝PC，连接CE，
∵∠BPC＝120°，PE＝PC，
∴∠CPE＝60°，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠BCA＝60°，
∴∠ACB＝∠ECP，
∴∠ACB+∠BCP＝∠ECP+∠BCP，
即：∠ACP＝∠BCE，
在△ACP和△BCE中，
，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP＝BE，
∵BE＝BP+PE＝BP+PC，
∴PB+PC＝PA；
（2）如图2，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP'，连接PP'，
由旋转知，△APB≌△CP′B，
∴∠BPA＝∠BP′C，P′B＝PB＝5，P′C＝PA＝12，∠PBP'＝∠ABC＝60°，
又∵P′B＝PB＝5，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠PP′B＝60°，PP′＝5，
在△PP′C中，PC＝13，PP′＝5，P′C＝12，
∴PC2＝PP′2+P′C2，
即∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠BP′C＝60°+90°＝150°．
27．（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
28．解：将DE绕点E逆时针旋转60°得到EF，连接AF、DF，如图所示：
则∠AEF＝∠DEF+∠AED＝60°+30°＝90°，
由旋转的性质得：DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF＝DE，∠EDF＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ADB＝60°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF＝＝＝，
在△ADF和△BDE中，，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴BE＝AF＝．
29．解：（1）如图，△OA'B'即为所求．
（2）△AOA′是等腰直角三角形．
理由：∵OA＝OA′＝5，AA′＝5，
∴AO2+OA′2＝AA′2，
∴∠AOA′＝90°，
∴△AOA′是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
30．解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．
∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°，
∴DA＝DB，
∵DO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵B（，0），
∴OA＝OB＝，
∴AB＝2，
∴BC＝AB＝，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB＝90°，
∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，
∴OH＝OB﹣BH＝，
∴C（，）．
（2）①当旋转角小于90°时，P在y轴左侧，Q在y轴正半轴上，对应∠APQ＝75°和120°的情况．
②当旋转角度大于90°小于120°时，P在y轴左侧，Q在y轴负半轴上，此时∠PAQ＝150°，此时要形成等腰三角形∠APQ＝15°．
③当旋转角度大于120°小于180°时，P在y轴右侧，Q在y轴负半轴上，对应∠APQ＝30°的情况．
所以总共有四个情况，15°、30°、75°、120°．
综上所述，满足条件的∠APQ的值为15°或30°或75°或120°．
23.2中心对称
一．选择题
1．下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在等边三角形，圆，菱形，正方形，正五边形，正六边形中是中心对称的图形有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
3．在平面直角坐标系中，点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（-2,0）
B（0,-2）
C．（0,2）
D（1,2）
4．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣，）
B．（﹣1，）
C．（﹣，）
D．（﹣，）
6．如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，线段OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是每秒转动30°，则第2020秒时，OA与OB之间的夹角的度数为（　　）
A．90°
B．145°
C．150°
D．165°
8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（　　）
A．（﹣1，1）
B．
C．（﹣1，﹣1）
D．
9．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（　　）
A．3
B．5
C．
D．2
10．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（5，0）、C
（5，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'，则点C′的坐标为（　　）
A．
C．
二．填空题
11．已知点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，则a＝　
　．
12．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点Q（﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为　
　．
13．关于原点对称，则n﹣m的值为　
　．
14．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是　
　．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B（﹣1，2），第一次将矩形OABC绕右下角顶点O顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C1；第二次再将矩形O1A1B1C1绕右下角顶点C1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B2C2，……按此规律，经过第五次旋转得到的点A5坐标为　
　．
三．解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B在第一象限，AB⊥OA，AB＝OA，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转105°得到△OA'B'，连接BB'．
（Ⅰ）求∠OBB'的度数；
（Ⅱ）求出点B'的坐标．
17．如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？
18．在平面直角坐标系中，已知点P（a，﹣1），请解答下列问题：
（1）若点P在第三象限，则a的取值范围为　
　；
（2）若点P在y轴上，则a的值为　
　；
（3）当a＝2时，点P关于y轴对称的点的坐标为　
　点P关于原点对称的点的坐标为　
　．
19．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是∠ABC的角平分线，若点B的坐标为（，0）．
（1）如图1，求点C的横坐标；
（2）如图2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°）得到Rt△AB'C'，直线AC'交直线BD于点P，直线AB'交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出∠APQ的度数；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：在等边三角形，圆，菱形，正方形，正五边形，正六边形中是中心对称的图形有圆，菱形，正方形，正六边形共4个．
故选：B．
3．【解答】解：点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，0）．
故选：A．
4．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
5．【解答】解：如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．
∵A（1，0），
∴OA＝1，
∵△AOB是等边三角形，BH⊥OA，
∴OH＝AH＝OA＝，BH＝OH＝，
∴B（，），
∵∠AOB＝∠BOB′＝60°，∠JOA＝90°，
∴∠BOJ＝∠JOB′＝30°，
∵OB＝OB′，
∴BB′⊥OJ，
∴BJ＝JB′，
∴B，B′关于y轴对称，
∴B′（﹣，），
故选：A．
6．【解答】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOC＝S平行四边形ABCD＝s，
∵EF＝AB，GH＝BC，
∴S1＝s，S2＝s，
∴＝＝，
故选：B．
7．【解答】解：设t秒第一次相遇．
由题意：270+30t＝45t，
解得t＝18，
相遇后设m秒第二次相遇，则有45t﹣30t＝360，
解得t＝24，
以后每过24秒相遇一次，
（2020﹣18）÷24＝83…10，
∴2020秒时，10×45°﹣10×30°＝150°，
故选：C．
8．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B（﹣1，﹣1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）
故选：C．
9．【解答】解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
设P（0，m），则OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ（AAS），
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q（m，m+2），
∵B（4，0），
∴BQ＝＝，
∴当m＝1时，BQ有最小值3，
故选：A．
10．【解答】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（5，0）、C
（5，1），
将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'，如图所示：
则点C′的坐标为（1，3）．
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：∵点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．【解答】解：如图，观察图象可知，P′（1，2）．
故答案为（1，2）．
13．【解答】解：∵点（m，3n）与点（﹣4，9）关于原点对称，
∴3n＝﹣9，m＝4，
∴n＝﹣3，
∴n﹣m＝﹣3﹣4＝﹣7．
故答案为：﹣7．
14．【解答】解：如图，旋转中心M即为所求．M（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）．
15．【解答】解：∵点B（﹣1，2），
∴A（﹣1，0），OA＝BC＝1，AB＝OC＝2，
∵第一次将矩形OABC绕右下角顶点O顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C1，且A1O＝AO＝1，OC1＝OC＝2，
第二次再将矩形O1A1B1C1绕右下角顶点C1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B2C2，且B2O＝C1O+B1C1＝3…，依此规律，
∴A1（0，1），A2（3，2），A3（5，0），A4（6，1），A5（9，2），
故答案为（9，2）．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（Ⅰ）∵△OAB≌△OA′B′，
∴OB＝OB′，
又∠BOB′＝105°，
∴∠OBB′＝∠OB′B＝（180°﹣105°）＝37.5°．
（Ⅱ）过点B′作B′C垂直于x轴，垂足为C．
∵OA＝AB＝2，∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2，
∴∠COB′＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
在Rt△OCB′中，B′C＝OB′＝，
∴OC＝CB′＝，
∴B′（﹣，）．
17．【解答】解：∠B与∠F相等，理由如下：
∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，
∴∠B＝∠DEC，
∵AF∥BE，
∴∠F＝∠DEC，
∴∠B＝∠F．
18．【解答】解：（1）∵点P（a，﹣1），点P在第三象限，
∴a＜0；
故答案为：a＜0；
（2）∵点P（a，﹣1），点P在y轴上，
∴a＝0；
故答案为：0；
（3）当a＝2时，点P（a，﹣1）的坐标为：（2，﹣1）关于y轴对称的点的坐标为：（﹣2，﹣1），
点P关于原点对称的点的坐标为：（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，﹣1），（﹣2，1）．
19．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．
∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°，
∴DA＝DB，
∵DO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵B（，0），
∴OA＝OB＝，
∴AB＝2，
∴BC＝AB＝，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB＝90°，
∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，
∴OH＝OB﹣BH＝，
∴C（，）．
（2）如图2中，∵△PAQ是是等腰三角形，∠PAQ＝30°