阶段性评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A．3
B.
C．3
D.
2．已知直线l1：(k－1)x＋y＋2＝0和直线l2：8x＋(k＋1)y＋k－1＝0平行，则k的值是( )
A．3
B．－3
C．3或－3
D.或－
3．过(－1,1)和(3,9)两点的直线在x轴上的截距为( )
A．－
B．－
C.
D．2
4．不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点( )
A.
B．(－2,0)
C．(2,3)
D．(9，－4)
5．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4
B.
C.
D.
6．已知点P1(3，－5)，P2(－1，－2)，在直线P1P2上有一点P，且|P1P|
＝15，则P点坐标为( )
A．(－9，－4)
B．(－14,15)
C．(－9,4)或(15，－14)
D．(－9,4)或(－14,15)
7．若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
8．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为( )
A．－10
B．－2
C．0
D．8
9．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( )
A．a＝，b＝6
B．a＝－，b＝－6
C．a＝3，b＝－
D．a＝－3，b＝
10．过点(－1,2)，且与原点的距离最大的直线方程是( )
A．x－2y＋5＝0
B．x＋2y－5＝0
C．x＋3y－7＝0
D．3x＋y－5＝0
11．已知直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝x＋垂直，交点为H(1，p)，则过点H且斜率为的直线方程为( )
A．y＝－4x＋2
B．y＝4x－2
C．y＝－2x＋2
D．y＝－2x－2
12．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为( )
A．y＝－x＋5
B．y＝x－5
C．y＝x＋5
D．y＝－x－5
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知直线l1：x－3y＋1＝0，l2：2x＋my－1＝0.若l1∥l2，则实数m＝(
).
14．设直线l的倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是y＝(
).
15．已知直线(a－2)x＋y－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数a的值为(
)..
16．设A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，直线x＝m将△ABC的面积平分，则m的值为(
)..
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．
18．(12分)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
19．(12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上的高CE所在直线的方程为4x＋3y－7＝0，BC边上中线AD所在直线的方程为x－3y－3＝0.
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AB的方程．
20．(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0.求：
(1)点A(－1，－2)关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
21．(12分)已知直线l：x－2y＋8＝0和点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||的值最大．
22．(12分)已知实数a∈(0,2)，直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和l2：2x＋a2y－2a2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形．
(1)求证：无论实数a取何值，直线l2必过定点，并求出定点坐标．
(2)求实数a取何值时，所围成的四边形面积最小．最小面积是多少？阶段性评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( D )
A．3
B.
C．3
D.
2．已知直线l1：(k－1)x＋y＋2＝0和直线l2：8x＋(k＋1)y＋k－1＝0平行，则k的值是( A )
A．3
B．－3
C．3或－3
D.或－
解析：因为直线l1和l2平行，所以(k－1)(k＋1)－8＝0，解得k＝±3.当k＝－3时两直线重合，舍去，故选A.
3．过(－1,1)和(3,9)两点的直线在x轴上的截距为( A )
A．－
B．－
C.
D．2
解析：直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则直线在x轴上的截距为－.
4．不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点( D )
A.
B．(－2,0)
C．(2,3)
D．(9，－4)
5．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( D )
A．4
B.
C.
D.
解析：由题意，得－2＋x＝2×1,5－3＝2y，解得x＝4，y＝1，
∴|PO|＝＝.
6．已知点P1(3，－5)，P2(－1，－2)，在直线P1P2上有一点P，且|P1P|
＝15，则P点坐标为( C )
A．(－9，－4)
B．(－14,15)
C．(－9,4)或(15，－14)
D．(－9,4)或(－14,15)
解析：由已知得点P在P1P2的延长线上或P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B.选项C、D中有共同点(－9,4)，只需验证另外一点P是否满足|P1P|＝15即可．若P(15，－14)，则|P1P|＝＝＝15.故选C.
7．若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：设直线l的截距式方程为＋＝1.
∵直线l经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，
∴＋＝1，|ab|＝2，
解得或或
∴直线l的条数为3.
8．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为( A )
A．－10
B．－2
C．0
D．8
解析：∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.∵l2⊥l3，
∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.
9．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( B )
A．a＝，b＝6
B．a＝－，b＝－6
C．a＝3，b＝－
D．a＝－3，b＝
解析：由题意知，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，故直线y＝ax＋2上的点(0,2)关于直线y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，∴b＝－6，∴直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，∴a＝－.故选B.
10．过点(－1,2)，且与原点的距离最大的直线方程是( A )
A．x－2y＋5＝0
B．x＋2y－5＝0
C．x＋3y－7＝0
D．3x＋y－5＝0
解析：设A(－1,2)，则直线OA的斜率等于－2，故所求直线的斜率等于，故所求直线的方程为y－2＝(x＋1)，化简可得x－2y＋5＝0，故选A.
11．已知直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝x＋垂直，交点为H(1，p)，则过点H且斜率为的直线方程为( A )
A．y＝－4x＋2
B．y＝4x－2
C．y＝－2x＋2
D．y＝－2x－2
解析：∵直线l1⊥l2，∴－×＝－1，∴m＝10，∴直线l1的方程为y＝－x＋.又∵点H(1，p)在直线l1上，∴p＝－×1＋＝－2，即H(1，－2)．又∵点H(1，－2)在直线l2上，∴－2＝×1＋，∴n＝－12，∴所求直线的斜率为＝－4，其方程为y＋2＝－4(x－1)，即y＝－4x＋2，故选A.
12．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为( C )
A．y＝－x＋5
B．y＝x－5
C．y＝x＋5
D．y＝－x－5
解析：依题意，得a＝2，P(0,5)．设点A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)，则由中点坐标公式，得解得所以A(4,8)，B(－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB的方程是＝，即y＝x＋5，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知直线l1：x－3y＋1＝0，l2：2x＋my－1＝0.若l1∥l2，则实数m＝－6.
解析：因为直线l1∥l2，所以＝≠，解得m＝－6.
14．设直线l的倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是y＝x±3.
解析：因为已知直线的倾斜角是120°，所以直线l的倾斜角是60°.又因为直线l在y轴上的截距b＝±3，所以直线l的方程为y＝x±3.
15．已知直线(a－2)x＋y－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数a的值为0或1.
解析：若a＝0，则直线方程为y＝2x，它在两坐标轴上的截距都为0，符合题意；当a≠0,2时，令x＝0，得y＝a；令y＝0，得x＝.由题设＝－a，解得a＝1.综上，实数a的值为0或1.
16．设A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，直线x＝m将△ABC的面积平分，则m的值为.
解析：
设直线x＝m分别交AB和AC于D、E两点，由S△ABC＝，得S△ADE＝.
又AC的方程是＋＝1，
E在AC上，所以可求得E，
则|DE|＝>0，
所以m·＝，解得m＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．
解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上的截距均等于0，故直线l的斜率为，∴所求直线方程为y＝x，即x－7y＝0.
当直线l不过原点时，设其方程为＋＝1，
由题意可得a＋b＝0.①
又l经过点(7,1)，所以有＋＝1.②
由①②得a＝6，b＝－6，
所以l的方程为＋＝1，即x－y－6＝0.
故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0.
18．(12分)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解：由方程组得
∵所求直线和直线3x＋y－1＝0平行，
∴所求直线的斜率k＝－3，
∴根据点斜式有y－＝－3，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
19．(12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上的高CE所在直线的方程为4x＋3y－7＝0，BC边上中线AD所在直线的方程为x－3y－3＝0.
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AB的方程．
解：(1)设D(a，b)，则C(2a＋1,2b＋3)，
∴解得
∴D(0，－1)，C(1,1)．
(2)∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为－，
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＋3＝(x＋1)，即3x－4y－9＝0.
20．(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0.求：
(1)点A(－1，－2)关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解：(1)设点A′的坐标为(x，y)，由题意，得
，解得，
∴所求的点A′的坐标为.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则，
解得，故M′.
设直线m与直线l的交点为N，则由，得N(4,3)．又直线m′经过点M′，N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)方法一：在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如B(1,1)，D(4,3)，
则B，D关于点A(－1，－2)的对称点B′，D′均在直线l′上，
易得B′(－3，－5)，D′(－6，－7)，
再由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二：由题意，知l∥l′，∴设直线l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)，由点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
得＝，C＝－9，
∴直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法三：设P(x，y)为直线l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0.
即2x－3y－9＝0，∴直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
21．(12分)已知直线l：x－2y＋8＝0和点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||的值最大．
解：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则，解得，
故A′(－2,8)．
又P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解，得，故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点．
又直线AB的方程为y＝x－2，解，得，故所求的点P的坐标为(12,10)．
22．(12分)已知实数a∈(0,2)，直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和l2：2x＋a2y－2a2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形．
(1)求证：无论实数a取何值，直线l2必过定点，并求出定点坐标．
(2)求实数a取何值时，所围成的四边形面积最小．最小面积是多少？
解：(1)证明：∵直线l2：2x＋a2y－2a2－4＝0，
∴a2(y－2)＋(2x－4)＝0，
∴直线l2恒过直线y＝2和2x－4＝0的交点．
由得∴交点坐标为(2,2)．
即无论a取何值，直线l2恒过定点，且定点坐标为(2,2)．
(2)∵直线l1：ax－2y－2a＋4＝0，
l2：2x＋a2y－2a2－4＝0，
∴直线l1与y轴的交点为A(0,2－a)，
直线l2与x轴的交点为B(a2＋2,0)．
∵直线l1：ax－2y－2a＋4＝0也恒过定点C(2,2)，
∴过点C作x轴的垂线，垂足为D，
S四边形AOBC＝S梯形AODC＋S△BCD＝(2－a＋2)×2＋a2×2
＝a2－a＋4＝2＋.
∵a∈(0,2)，∴当a＝时，S四边形AOBC最小，最小值是.
即实数a＝时，所围成的四边形面积最小，最小值是.
