阶段性评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
2．经过A(－1,1)，B(2,2)，C(3，－1)三点的圆的标准方程是( )
A．(x＋1)2＋y2＝4
B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x－1)2＋y2＝4
D．(x－1)2＋y2＝5
3．已知直线l经过点P(－4,2)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是( )
A．7x＋24y－20＝0
B．4x＋3y＋25＝0
C．4x＋3y＋25＝0或x＝－4
D．7x＋24y－20＝0或x＝－4
4．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为( )
A．a＝－1
B．a＝2
C．a＝－1或a＝2
D．a＝1或a＝－2
5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
6．已知Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
7．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝4
B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x
D．y2＝－2x
8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
9．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋＝0
10．若直线l1：y＝x，l2：y＝x＋2与圆C：x2＋y2－2mx－2ny＝0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m＝( )
A．0或－1
B．0或1
C．1或－1
D．0或1或－1
11．台风中心从A地以每小时20
km的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险地区，城市B在A地正东40
km外，B城市处于危险地区内的时间为( )
A．0.5
h
B．1
h
C．1.5
h
D．2
h
12．已知圆C：x2＋y2＝3，从点A(－2,0)观察点B(2，a)，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是( )
A.∪
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是(
)
14．经过点A(3,1)，且被圆x2＋y2＝16所截得的弦长最短的直线方程为(
)
15．与直线3x－4y＋5＝0平行且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程是(
)
16．已知点(x0，y0)是直线x＋y＝2k－1与圆x2＋y2＝k2＋2k－3的公共点，则x0y0的取值范围是(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
18．(12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
19．(12分)已知一圆经过点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上．
(1)求此圆的方程；
(2)若点D为所求圆上任意一点，且点C(3,0)，求线段CD的中点M的轨迹方程．
20．(12分)装修房间时，准备在如图1所示的过道顶部设计如图2所示的圆弧造型．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出圆弧所在圆的方程；
(2)现有一个长方体形的冰箱，其长、宽、高分别为100
cm,80
cm,180
cm，用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道？
21．(12分)已知定圆C：x2＋(y－3)2＝4，定直线m：x＋3y＋6＝0，过A(－1,0)的一条动直线l与直线m相交于N，与圆C相交于P，Q两点，
(1)当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明l过圆心C；
(2)当|PQ|＝2时，求直线l的方程．
22．(12分)已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.
(1)求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时圆的方程；
(2)在(1)中，点M(x，y)(y≥2且x≤0)是圆上的一点，求的取值范围．阶段性评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( B )
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
解析：由已知可得两圆的圆心与半径分别为C1(0,0)，R1＝1，C2(2，－1)，R2＝3，则|C1C2|＝∈(R2－R1，R2＋R1)＝(2,4)，所以两圆相交，故应选B.
2．经过A(－1,1)，B(2,2)，C(3，－1)三点的圆的标准方程是( D )
A．(x＋1)2＋y2＝4
B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x－1)2＋y2＝4
D．(x－1)2＋y2＝5
解析：由已知条件可得，线段AC的垂直平分线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－3，即y＝－3x＋3，这两条直线的交点坐标为M(1,0)，又由|MA|＝，可得过三点A，B，C的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，故应选D.
3．已知直线l经过点P(－4,2)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是( D )
A．7x＋24y－20＝0
B．4x＋3y＋25＝0
C．4x＋3y＋25＝0或x＝－4
D．7x＋24y－20＝0或x＝－4
解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋2＝0.由圆的方程可知圆心为(－1，－2)，半径r＝5，所以2＋42＝25，解得k＝－，直线方程为7x＋24y－20＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－4，满足截得的弦长为8.所以直线l的方程为7x＋24y－20＝0或x＝－4.
4．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为( A )
A．a＝－1
B．a＝2
C．a＝－1或a＝2
D．a＝1或a＝－2
解析：本题考查二元二次方程表示圆的条件．若方程表示圆，则二次项系数相等，故a2＝a＋2，解得a＝2或－1，当a＝－1时方程为x2＋y2－2x－1＝(x－1)2＋y2－2＝0，即(x－1)2＋y2＝2，方程表示圆；当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋2＝0?x2＋y2＋x＋＝0，由于12＋02－4×<0，故方程x2＋y2＋x＋＝0不表示任何图形，因此a＝－1.
5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( D )
A.
B．2
C.
D．2
解析：本题考查直线与圆的位置关系的应用．由题意得直线方程为y＝x，则圆心到直线的距离d＝＝1，故弦长|AB|＝2＝2.
6．已知Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( B )
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
解析：本题考查直线与圆的位置关系．由直角三角形勾股定理得a2＋b2＝c2，所以圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，所以直线与圆相切．
7．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( B )
A．(x－1)2＋y2＝4
B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x
D．y2＝－2x
解析：因为|PA|＝1，所以点P和圆心的距离恒为.设P(x，y)，圆心(1,0)，由两点间的距离公式，有(x－1)2＋y2＝2.
8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( B )
A．(x－3)2＋2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
解析：解法1：由题意知圆心坐标为(x0,1)，∴排除A，C.选项B中圆心(2,1)到直线4x－3y＝0的距离d＝＝1，即d＝r成立，故选B.
解法2：由题意设圆心为(x0,1)，∵d＝r，∴＝1?x0＝2或x0＝－(舍去)．故选B.
9．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( A )
A．x＋y－＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋＝0
解析：由题意知直线方程可设为x＋y－c＝0(c>0)，则圆心到直线的距离等于半径1，即＝1，c＝，故所求方程为x＋y－＝0.
10．若直线l1：y＝x，l2：y＝x＋2与圆C：x2＋y2－2mx－2ny＝0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m＝( A )
A．0或－1
B．0或1
C．1或－1
D．0或1或－1
解析：由题意知，四条弧长相等，故圆心到直线的距离d＝r.圆心为(m，n)，半径为，两平行线的距离为＝r，解得r＝1＝，m2＋n2＝1.依题意d＝＝，两边平方得2mn＝0.当m＝0时，n＝±1，当n＝0时，m＝±1，但圆心(1,0)，(0，－1)不在这两平行线间，不符合题意，故m＝0或－1.
11．台风中心从A地以每小时20
km的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险地区，城市B在A地正东40
km外，B城市处于危险地区内的时间为( B )
A．0.5
h
B．1
h
C．1.5
h
D．2
h
解析：
如图建立直角坐标系，过点B作BC⊥AF，交AF于点C.以点B为圆心，30为半径的圆交AF于点E，F，连接BE，BF.在Rt△OBC中，|BC|＝40×＝20，|BE|＝30，
∴|EC|＝＝10，∴|EF|＝20.
∴B城市处于危险地区的时间为＝1(h)．
12．已知圆C：x2＋y2＝3，从点A(－2,0)观察点B(2，a)，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是( D )
A.∪
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析：
设过点A(－2,0)与圆C：x2＋y2＝3相切的直线为y＝k(x＋2)，则＝，解得k＝±，∴切线方程为y＝±(x＋2)．由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被圆C遮挡．在y＝±(x＋2)中，取x＝2，得y＝±4.从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需a>4，或a<－4.∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
14．经过点A(3,1)，且被圆x2＋y2＝16所截得的弦长最短的直线方程为3x＋y－10＝0.
解析：设圆心为O，当弦与OA垂直时弦最短．
15．与直线3x－4y＋5＝0平行且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程是3x－4y±10＝0.
解析：设与直线3x－4y＋5＝0平行的直线方程为3x－4y＋a＝0，由圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到3x－4y＋a＝0的距离等于圆的半径可得d＝＝2，解得a＝±10，由此可得圆的切线方程为3x－4y±10＝0.
16．已知点(x0，y0)是直线x＋y＝2k－1与圆x2＋y2＝k2＋2k－3的公共点，则x0y0的取值范围是.
解析：∵点(x0，y0)是直线x＋y＝2k－1与圆x2＋y2＝k2＋2k－3的公共点，∴圆心(0,0)到直线x＋y＝2k－1的距离d＝≤，解得≤k≤.又∵圆x2＋y2＝k2＋2k－3，∴k2＋2k－3>0，解得k<－3或k>1，∴k的取值范围为≤k≤.∵点(x0，y0)是直线x＋y＝2k－1与圆x2＋y2＝k2＋2k－3的公共点，
∴得2x0y0＝3k2－6k＋4.当≤k≤时，2x0y0＝3k2－6k＋4是关于k的增函数，代入可得x0y0的取值范围为.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解：(1)∵PQ中点为，且kPQ＝－1，
∴圆心所在的直线方程为y－＝x－，即x－y＝0.
(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，
则解得或
∴圆C的方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
18．(12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.
解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB交AB于点D，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
19．(12分)已知一圆经过点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上．
(1)求此圆的方程；
(2)若点D为所求圆上任意一点，且点C(3,0)，求线段CD的中点M的轨迹方程．
解：(1)方法一：由已知可设圆心N(a,3a－2)．又由已知得|NA|＝|NB|，即＝，解得a＝2.于是圆N的圆心为N(2,4)，
半径r＝＝.
∴圆N的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法二：∵A(3,1)，B(－1,3)，∴kAB＝＝－，线段AB的中点坐标为(1,2)，∴线段AB的垂直平分线的斜率为2，方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
由方程组解得
∴圆心N(2,4)，半径r＝|NA|＝＝.故所求圆N的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
(2)设M(x，y)，D(x1，y1)，则由C(3,0)及M为线段CD的中点得解得
又∵点D在圆N：(x－2)2＋(y－4)2＝10上，∴(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得2＋(y－2)2＝.
故所求的轨迹方程为2＋(y－2)2＝.
20．(12分)装修房间时，准备在如图1所示的过道顶部设计如图2所示的圆弧造型．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出圆弧所在圆的方程；
(2)现有一个长方体形的冰箱，其长、宽、高分别为100
cm,80
cm,180
cm，用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道？
解：
(1)如图，以AD所在直线为x轴，以AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则点F(60,160)．
设圆的方程为x2＋[y－(200－r)]2＝r2(r>0)，
∵点F在圆上，
∴602＋[160－(200－r)]2＝r2(r>0)，解得r＝65，
故圆的方程为x2＋(y－135)2＝4
225.
(2)当y＝180时，x2＋(180－135)2＝652，
解得x2＝2
200>402，
故冰箱可以直立通过此过道．
21．(12分)已知定圆C：x2＋(y－3)2＝4，定直线m：x＋3y＋6＝0，过A(－1,0)的一条动直线l与直线m相交于N，与圆C相交于P，Q两点，
(1)当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明l过圆心C；
(2)当|PQ|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)直线l的方程为y＝3(x＋1)．
联立解得所以N.
证明：将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)．
因为|PQ|＝2，所以圆心C到直线l的距离为1，即＝1，解得k＝.
所以直线l的方程为4x－3y＋4＝0.
综上，直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
22．(12分)已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.
(1)求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时圆的方程；
(2)在(1)中，点M(x，y)(y≥2且x≤0)是圆上的一点，求的取值范围．
解：
(1)如图所示，圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.
∵圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，∴∠APB＝90°.取AB的中点D，连接PD，则有|PB|＝|PD|，即r＝|b|.
取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.∵圆截y轴所得弦长为2，
∴|EC|＝1，∴1＋a2＝r2，即2b2－a2＝1.
∴a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2.
∴当b＝1时，a2－b2－2b＋4取得最小值2，此时a＝1，或a＝－1，r2＝2.
对应的圆为(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
(2)∵点M(x，y)(y≥2且x≤0)，∴由(1)知，点M(x，y)在圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的一段圆弧上，该圆弧端点坐标为G(0,2)和H(－2,2).表示M(x，y)与N(－4,6)连线的斜率，其范围是[kNH，kNG]，即为[－2，－1]．
