模块综合评估(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在原来的图形中，若两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )
A．平行且相等
B．平行不相等
C．相等不平行
D．既不平行也不相等
2．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为( )
A．2
B．4
C．2
D．2
3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A．x＋2y－5＝0
B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0
D．x－2y＋3＝0
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
7．已知不同的直线m，n和不同的平面α，β给出下列命题：
①m∥β；②?n∥β；③?m，n异面；④?m⊥β.其中假命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8．把直线y＝x绕原点逆时针转动，使它与圆x2＋y2＋2x－2y＋3＝0相切，则直线转动的最小正角是( )
A.
B.
C.
D.
9．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线
D．A1C1∥平面AB1E
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
11．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
12．已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是( )
A．[2，2]
B．[2，8]
C．[2，2]
D．[2，8]
答案填写在题中横线上)
13．经过点P(2，－3)作圆x2＋y2＝20的弦AB，且使|AB|＝8，则弦AB所在的直线方程为(
).
14．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于(
)
15．三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2的正三角形，AC＝，则二面角A－PB－C的大小为(
).
16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图两个等边△ABC，△ACD所在的平面互相垂直，EB⊥平面ABC，且AC＝2，BE＝.
求证：DE∥平面ABC.
18．(12分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
19．(12分)如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P—BDF的体积．
20．(12分)已知圆C的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0，其中m<5.
(1)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值；
(2)在(1)条件下，是否存在直线l：x－2y＋c＝0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．
21．(12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．
22．(12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.
(1)求△ABC的顶点B，C的坐标；
(2)若圆M经过B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3，0)，求圆M的方程．模块综合评估(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在原来的图形中，若两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( A )
A．平行且相等
B．平行不相等
C．相等不平行
D．既不平行也不相等
2．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为( B )
A．2
B．4
C．2
D．2
解析：点A关于平面xOy对称的点C(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B(1，－2,1)，则|BC|＝＝4.
3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( C )
解析：因为直线y＝x＋a的斜率为1，故可排除选项B，D；对于选项A中，由图可知y＝ax的斜率k＝a>0，而直线y＝x＋a的纵截距a小于0，故错误；只有选项C正确．故选C.
4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A )
A．x＋2y－5＝0
B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0
D．x－2y＋3＝0
解析：结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－，直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为×22×4×π＋2×2×4＝16＋8π.
6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( B )
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
解析：设P(x，y)，则由题意可得：
2＝，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.
7．已知不同的直线m，n和不同的平面α，β给出下列命题：
①m∥β；②?n∥β；③?m，n异面；④?m⊥β.其中假命题有( D )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n?β；命题③不正确，如果m，n中有一条是α，β的交线，则m，n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．
8．把直线y＝x绕原点逆时针转动，使它与圆x2＋y2＋2x－2y＋3＝0相切，则直线转动的最小正角是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，设切线为y＝kx，∴＝1.
∴k＝0或k＝－.∴k＝－时转动最小．
∴最小正角为－＝.
9．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( C )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线
D．A1C1∥平面AB1E
解析：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面A1C1CA与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C.
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( A )
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
解析：由题意知，当所求直线与OP所在直线垂直时，分圆形区域这两部分的面积之差最大，又kOP＝1，故所求直线为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
11．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体，且棱长为1，以此正四面体来构造立方体，则此立方体的棱长为，故立方体的体对角线的长为，且立方体的外接球也为此正四面体的外接球，∴外接球的半径为.
∴V球＝πr3＝π()3＝，选C.
12．已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是( A )
A．[2，2]
B．[2，8]
C．[2，2]
D．[2，8]
解析：S△OAB＝|AB|·2＝|AB|，设C到AB的距离为d，则|AB|＝2，又d∈[1,3]，7≤42－d2≤15，所以S△OAB＝|AB|∈[2，2]．故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．经过点P(2，－3)作圆x2＋y2＝20的弦AB，且使|AB|＝8，则弦AB所在的直线方程为5x＋12y＋26＝0或x＝2.
解析：如图，因为|AB|＝8，所以|OC|＝＝2.
设AB所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，圆心O到AB的距离为＝2，解得k＝－.此时，AB所在的直线方程为5x＋12y＋26＝0.
当AB所在的直线方程为x＝2时，也符合题意．
所以，所求弦AB所在直线的方程是5x＋12y＋26＝0或x＝2.
14．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于.
解析：三点共线，则kAB＝kAC，即＝.
整理知2a＋2b＝ab.同除以ab，有＋＝1，所以＋＝.
15．三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2的正三角形，AC＝，则二面角A－PB－C的大小为60°.
解析：
如图所示，取PB的中点M，连接MA、MC，由于PAB、PBC都是边长为2的正三角形，所以PB⊥MA，PB⊥MC，且MA＝MC＝，所以∠AMC即为二面角A－PB－C的平面角．又AC＝，所以△MAC为正三角形，∠AMC＝60°.
16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图两个等边△ABC，△ACD所在的平面互相垂直，EB⊥平面ABC，且AC＝2，BE＝.
求证：DE∥平面ABC.
证明：取AC的中点O，连接DO，BO，
因为△ACD为等边三角形，且AC＝2，所以DO⊥AC，DO＝，
因为平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，所以DO⊥平面ABC，
因为EB⊥平面ABC，BE＝，所以BE∥DO，DO＝BE，
所以四边形BODE为平行四边形，所以DE∥BO，
又DE?平面ABC，BO?平面ABC，所以DE∥平面ABC.
18．(12分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3，解得λ＝2或λ＝.
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2,1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝.
19．(12分)如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P—BDF的体积．
解：(1)证明：因为BC＝CD，所以△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.
(2)三棱锥P—BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×2×2×sin＝.
由PA⊥底面ABCD，得VP—BCD＝·S△BCD·PA＝××2＝2.
由PF＝7FC，得三棱锥F—BCD的高为PA，
故VF—BCD＝·S△BCD·PA＝×××2＝，
所以VP—BDF＝VP—BCD－VP—BCD＝2－＝.
20．(12分)已知圆C的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0，其中m<5.
(1)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值；
(2)在(1)条件下，是否存在直线l：x－2y＋c＝0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．
解：(1)圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，圆心C(1,2)，半径r＝，则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝.由于|MN|＝，则|MN|＝，有r2＝d2＋2，所以5－m＝2＋2，得m＝4.
(2)假设存在直线l：x－2y＋c＝0，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C(1,2)，半径r＝1，则圆心C(1,2)到直线l：x－2y＋c＝0的距离为d＝＝<，解得4－21．(12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．
解：(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF.
由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.
(2)由EF∥AC，得＝＝.
由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由上述知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.
又由＝，得EF＝.
五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.
所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××2＝.
22．(12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.
(1)求△ABC的顶点B，C的坐标；
(2)若圆M经过B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3，0)，求圆M的方程．
解：(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，A(0,1)，所以，AC：x＝0，又CD：2x－2y－1＝0，所以C，
设B(b,0)，则AB的中点D，代入方程2x－2y－1＝0，解得b＝2，所以B(2,0)．
(2)由圆M经过点B(2,0)，点P(－3,0)可得，圆心在BP的垂直平分线x＝－上，由圆与x－y＋3＝0相切，切点为(－3，0)可得，圆心所在直线为x＋y＋3＝0，联立可得圆心M，半径|MB|＝＝，
所以所求圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
