选修2－2模块综合评估
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为( D )
A．x＝－1，y＝1
B．x＝－1，y＝2
C．x＝1，y＝1
D．x＝1，y＝2
解析：(x＋i)(1－i)＝x－xi＋i＋1＝(x＋1)＋(1－x)i＝y，
∴x＋1＝y且1－x＝0，∴x＝1，y＝2.
2．若函数f(x)＝excosx，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( D )
A．0
B．锐角
C.
D．钝角
解析：f′(x)＝ex·cosx＋ex·(－sinx)＝ex(cosx－sinx)．当x＝1时，cosx－sinx<0，故f′(1)<0，所以倾斜角为钝角．
3．设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( D )
解析：由图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故排除A，C；从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故排除B.
4．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在区间(0,1)内有极小值，则( D )
A．b>0
B．b<1
C．b<
D．0
解析：f′(x)＝3x2－3b，若b≤0，则f′(x)≥0，f(x)在区间(0,1)内没有极值，故b>0.令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0<<1，故05.
一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10
km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为( B )
A．25
km/h
B．20
km/h
C．15
km/h
D．30
km/h
解析：因为轮船航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，可设比例系数为k，则6＝k·103，求得k＝，所以航行每千米的总费用为y＝(96＋v3)·，利用导数可求得当y取最小值时v＝20.
6．函数y＝x3－4x＋4的极大值和极小值分别是( C )
A.，
B.，－
C.，－
D．以上都不对
解析：由y′＝x2－4＝0，得x＝±2.
当x<－2时，y′>0；
当－2当x>2时，y′>0.
∴当x＝－2时，极大值为，
当x＝2时，极小值为－.
7．已知复数z1＝a＋bi，z2＝－1＋ai(a，b∈R)，若|z1|<|z2|，则( B )
A．b<－1或b>1
B．－1C．b>1
D．b>0
解析：a2＋b2<1＋a2，
∴b2<1.∴－18．在区间(－1,1)内不是减函数的函数是( A )
A．y＝ex＋x
B．y＝－x
C．y＝x3－6x2＋9x＋2
D．y＝x2－2x＋1
解析：因为A项中y′＝ex＋1在x∈(－1,1)时，ex＋1>0，所以y＝ex＋x是增函数，故选A.
9．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，那么a，b的值分别为( A )
A．4，－11
B．－4,11
C．4,11
D．－4，－11
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10.
由解得或
当a＝－3时，x＝1不是极值点．
10．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为( A )
A．a≥3
B．a＝3
C．a≤3
D．0解析：由题设知f′(x)＝3x2－2ax≤0，x∈[0,2]恒成立，结合f′(x)的图象可知a≥2，解得a≥3.
11．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，则实数a，b的值分别为( D )
A．a＝2，b＝3
B．a＝2，b＝－29
C．a＝2，b＝－29或a＝－2，b＝3
D．a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29
解析：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
对f(x)求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数f(x)在[－1，2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数f(x)在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
12．定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝Ax＋B(A，B为常数)使得f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数，则下列说法正确的是( C )
A．函数f(x)＝x2－2x不存在承托函数
B．g(x)＝x为函数f(x)＝sinx的一个承托函数
C．g(x)＝x为函数f(x)＝ex－1的一个承托函数
D．函数f(x)＝不存在承托函数
解析：对于C，设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，
则h′(x)＝ex－1.
当x<0时，h′(x)<0；当x>0时，h′(x)>0.
∴当x＝0时，h(x)最小，h(0)＝0.
∴h(x)≥0，即f(x)≥g(x)对?x∈R成立．
∴g(x)是f(x)的一个承托函数．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．复数z＝－2i的模为3.
解析：|z|＝
＝＝|－2i|＝3.
14．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是a>b>c.
解析：a＝，b＝，c＝.
∵0<＋<＋<＋，
∴>>，
∴a>b>c.
15．已知某种型号的汽车每小时的耗油量y(L)与行驶速度x(km/h)的函数关系为y＝－＋8(0km，为使汽油的使用效率最高(即最省油)，汽车应以80
km/h的速度从甲地驶往乙地．
解析：设速度为x
km/h，
则用时
h，耗油h(x)＝＝(－＋8)·＝＋－(0h′(x)＝－.令h′(x)＝0，得x＝80.当00.故当x＝80时，h(x)最小，即当汽车以80
km/h的速度从甲地驶往乙地时，可使汽油的使用效率最高．
16．已知f(x)＝lgx，函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①0②0③>0；
④f<.
上述结论中正确结论的序号是①③.
解析：因为f′(x)＝lge，所以f′(3)＝lge＝lge
eq
\s\up15(
)
>0，f′(2)＝lge＝lg，f(3)－f(2)＝lg，所以00，所以曲线f(x)上任一点的切线的斜率大于0，③正确；画出f(x)的图象可知f>，所以④不正确．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)在曲线y＝x2上取一点，使得在该点处的切线：
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
分别求出满足上述条件的点的坐标．
解：设y＝f(x)，
则f′(x)＝
＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点P处的切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝4，即P(2,4)．
(2)因为点P处的切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为，所以2x0·＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.
(3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan135°＝－1，即2x0＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.
18．(12分)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0解：由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0得f′(x)＝1＋sin(x＋)，
令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝－，
得x＝π或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，π)
π
(π，)
(，2π)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
π＋2
?
?
因此，由上表知f(x)的单调增区间是(0，π)和(，2π)，单调减区间是(π，)，极小值为f()＝，极大值为f(π)＝π＋2.
19．(12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2，求点P对应的复数．
解：(1)证明：∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上．即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴解得
∴点P对应的复数为＋i.
20．(12分)已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，试讨论f(x)的单调性．
解：(1)f′(x)＝＋
＝＋.
当a＝2时，f′(0)＝＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－)＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.
(2)因a≠－1，
由(1)知f′(1)＝＋＝＋，
又因f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，
即＋＝0，解得a＝－3.
此时f(x)＝＋ln(x＋1)，其定义域为(－1，3)∪(3，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.
由f′(x)＝0得x1＝1，x2＝7.
当－17时，f′(x)>0；
当1由以上讨论知，f(x)在区间(－1,1)，(7，＋∞)上是增函数，在区间(1,3)，(3,7)上是减函数．
21．(12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
解：(1)f′(x)＝ex－.
由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.
于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex－.
函数f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，
故只需证明当m＝2时，f(x)>0.
当m＝2时，函数f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增．
又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0得ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，
故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝>0.
综上，当m≤2时，f(x)>0.
22．(12分)已知函数f(x)＝ln(2＋3x)－x2.
(1)求f(x)在[0,1]上的极值；
(2)若对于任意x∈，不等式|a－f(x)|>ln5恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－3x＝，
令f′(x)＝0得x＝或x＝－1(舍去)．
所以当0≤x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当所以f＝ln3－为函数f(x)在[0,1]上的极大值．
(2)由|a－f(x)|>ln5可得a－f(x)>ln5或a－f(x)<－ln5，
即a>f(x)＋ln5或a由(1)知，当x∈时，f(x)max＝f＝ln3－，f(x)min＝f(1)＝ln5－.
若a>f(x)＋ln5恒成立，
则a>ln3－＋ln5＝ln15－；
若a则a所以a的取值范围为a>ln15－或a<－.选修2－2模块综合评估
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为( )
A．x＝－1，y＝1
B．x＝－1，y＝2
C．x＝1，y＝1
D．x＝1，y＝2
2．若函数f(x)＝excosx，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A．0
B．锐角
C.
D．钝角
3．设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
4．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在区间(0,1)内有极小值，则( )
A．b>0
B．b<1
C．b<
D．05.
一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10
km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为( )
A．25
km/h
B．20
km/h
C．15
km/h
D．30
km/h
6．函数y＝x3－4x＋4的极大值和极小值分别是( )
A.，
B.，－
C.，－
D．以上都不对
7．已知复数z1＝a＋bi，z2＝－1＋ai(a，b∈R)，若|z1|<|z2|，则( )
A．b<－1或b>1
B．－1C．b>1
D．b>0
8．在区间(－1,1)内不是减函数的函数是( )
A．y＝ex＋x
B．y＝－x
C．y＝x3－6x2＋9x＋2
D．y＝x2－2x＋1
9．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，那么a，b的值分别为( )
A．4，－11
B．－4,11
C．4,11
D．－4，－11
10．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为( )
A．a≥3
B．a＝3
C．a≤3
D．011．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，则实数a，b的值分别为( )
A．a＝2，b＝3
B．a＝2，b＝－29
C．a＝2，b＝－29或a＝－2，b＝3
D．a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29
12．定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝Ax＋B(A，B为常数)使得f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)＝x2－2x不存在承托函数
B．g(x)＝x为函数f(x)＝sinx的一个承托函数
C．g(x)＝x为函数f(x)＝ex－1的一个承托函数
D．函数f(x)＝不存在承托函数
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．复数z＝－2i的模为(
).
14．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是(
).
15．已知某种型号的汽车每小时的耗油量y(L)与行驶速度x(km/h)的函数关系为y＝－＋8(0km，为使汽油的使用效率最高(即最省油)，汽车应以(
).km/h的速度从甲地驶往乙地．
16．已知f(x)＝lgx，函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①0②0③>0；
④f<.
上述结论中正确结论的序号是(
).
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)在曲线y＝x2上取一点，使得在该点处的切线：
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
分别求出满足上述条件的点的坐标．
18．(12分)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,019．(12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2，求点P对应的复数．
20．(12分)已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，试讨论f(x)的单调性．
21．(12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
22．(12分)已知函数f(x)＝ln(2＋3x)－x2.
(1)求f(x)在[0,1]上的极值；
(2)若对于任意x∈，不等式|a－f(x)|>ln5恒成立，求实数a的取值范围．