第一章单元质量评估(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( )
A．圆锥
B．三棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
2．下列说法中正确的是( )
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③
3．如图所示，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
4．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面
B．相交
C．平行
D．异面或相交
5．已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )
A．l∥m，l⊥α
B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α
D．l∥m，l∥α
6．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．垂直
B．平行
C．相交但不垂直
D．不确定
7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A.
cm3
B.
cm3
C.
cm3
D.
cm3
8．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：
①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.
其中正确的是( )
A．①②③
B．①③
C．①②
D．②③
9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为( )
A．1∶2∶3
B．2∶3∶4
C．3∶2∶4
D．3∶1∶2
10．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
11．在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是( )
A．AB⊥BC且AB⊥BD
B．AD⊥BC且AC⊥BD
C．AC＝AD且BC＝BD
D．AC⊥BC且AD⊥BD
12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，现有下列结论：①AC⊥BE；②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；③异面直线AE，BF所成的角为定值；④三棱锥A—BEF的体积为定值，其中错误结论的个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．底面直径和高都是4
cm的圆柱的侧面积为(
)
cm2.
14．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，E是BB1上的点，则PE＋EC的最小值是(
)
.
15．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍，则两底面圆的半径分别为(
)
.
16．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过体对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：
①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D.
其中正确的是(
)
(请写出所有正确结论的序号)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
18．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
20．(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：平面PMC⊥平面PCD.
21．(12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，如图，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；
(2)求证：BE⊥D1A.
22．(12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.问：当点M在什么位置时，BM∥平面AEF?第一章单元质量评估(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( C )
A．圆锥
B．三棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
解析：由三视图易知其图形为如图所示的三棱柱．
2．下列说法中正确的是( C )
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③
解析：过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，所以三角形一定是平面图形，所以①对；两条对角线相交于一点的四边形一定是平面图形，所以②对；三条平行线可确定一个或三个平面，所以④对；可以有无数个平面经过圆的一条直径，③错．故选C.
3．如图所示，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( C )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
解析：D∈l，l?β，∴D∈β，又C∈β，∴CD?β.同理，CD?平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝直线CD.
4．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( D )
A．异面
B．相交
C．平行
D．异面或相交
解析：如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面．
5．已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( C )
A．l∥m，l⊥α
B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α
D．l∥m，l∥α
解析：如图，l可以垂直m，且l平行α.
6．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( A )
A．垂直
B．平行
C．相交但不垂直
D．不确定
解析：由条件知这条直线垂直于该三角形所在的平面，所以这条直线垂直于这个三角形的第三边．
7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( C )
A.
cm3
B.
cm3
C.
cm3
D.
cm3
解析：根据三视图可知原几何体是三棱锥，V＝Sh＝××1×1×1＝(cm3)．
8．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：
①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.
其中正确的是( C )
A．①②③
B．①③
C．①②
D．②③
解析：画图形(图略)，可得①②正确．
9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为( D )
A．1∶2∶3
B．2∶3∶4
C．3∶2∶4
D．3∶1∶2
解析：设球的半径为R，则V圆柱＝2πR3，V圆锥＝πR2·(2R)＝R3，V球＝πR3.则体积之比为2∶∶＝3∶1∶2.选D.
10．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( B )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：直观图如图，则2πr2＋πr2＋×2πr·2r＋(2r)2＝16＋20π，得5πr2＋4r2＝16＋20π，则r＝2.故选B.
11．在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是( D )
A．AB⊥BC且AB⊥BD
B．AD⊥BC且AC⊥BD
C．AC＝AD且BC＝BD
D．AC⊥BC且AD⊥BD
解析：A项，∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B，
∴AB⊥平面BCD，∵CD?平面BCD，∴AB⊥CD.
B项，设A在平面BCD内的射影为O，则AO⊥平面BCD，
∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心，连接BO，则BO⊥CD.
又AO⊥CD，AO∩BO＝O，∴CD⊥平面ABO，
∵AB?平面ABO，∴AB⊥CD.
C项，取CD中点G，连接BG，AG.
∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，
∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，
∵AB?平面ABG，∴AB⊥CD，故选D.
12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，现有下列结论：①AC⊥BE；②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；③异面直线AE，BF所成的角为定值；④三棱锥A—BEF的体积为定值，其中错误结论的个数是( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：在正方体中可得AC⊥平面BDD1B1，故AC⊥BE，①正确；平面AEF∩平面A1B1C1D1＝EF，设平面AEF∩平面ABCD＝l，由平面ABCD∥平面A1B1C1D1知EF∥l，即②正确；当F在B1的位置时，E为B1D1的中点O，∠A1AO为异面直线AE，BF所成的角，当E在D1的位置时，F在O的位置，∠OBC1为AE与BF所成的角，因为∠A1AO≠∠OBC1，所以③不正确；S△BEF为定值，A到平面BEF的距离即为A到平面BB1D1D的距离为定值，即④正确．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．底面直径和高都是4
cm的圆柱的侧面积为16π
cm2.
解析：圆柱的底面半径为r＝×4＝2(cm)，∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．
14．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，E是BB1上的点，则PE＋EC的最小值是17.
解析：将正方体的侧面ABB1A1，BCC1B1放在同一平面内，如图，则PE＋EC的最小值为PC′＝＝＝.
15．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍，则两底面圆的半径分别为a,2a.
解析：
如图，画出圆台轴截面，由题设，得∠OPA＝30°，AB＝2a，
设O1A＝r，PA＝x，则OB＝2r，x＋2a＝4r，且x＝2r，∴a＝r，即两底面圆的半径分别为a,2a.
16．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过体对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：
①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D.
其中正确的是②③④(请写出所有正确结论的序号)．
解析：因为正方体中对面互相平行，所以截面与对面的交线互相平行，所以一定是平行四边形，①不对；当E、F分别是所在棱的中点时，四边形BFD1E为菱形，②对；根据投影知识知③对；当E、F分别是所在棱中点时，EF⊥平面BB1D1D，④对．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解：(1)直观图如图①.
(2)解法1：由三视图可知该几何体是由长方体截去一个三棱柱而得到的，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，如图②，则四边形AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1
m.
在Rt△BEB1中，BE＝1
m，EB1＝1
m，∴BB1＝
m.
∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2＝(7＋)
m2，几何体的体积V＝×1×2×1＝
m3.
∴该几何体的表面积为(7＋)
m2，体积为
m3.
解法2：该几何体可看成以四边形AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法1，V直四棱柱D1C1CD—A1B1BA＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝
m3.
∴该几何体的表面积为(7＋)
m2，体积为
m3.
18．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，
S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，
V＝V圆台－V圆锥＝(π×22＋π×52＋)×4－π×22×2＝π.
19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
解：(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD.
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.
(2)如图，连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G.则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝，EG＝.
∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝，∴VE－ABC＝S△ABC·EG＝××＝.
20．(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：平面PMC⊥平面PCD.
证明：(1)如图，取PD的中点E，连接EN，AE.
∵N是PC的中点，∴EN綊DC.
又∵AM綊DC，∴EN綊AM，∴四边形AENM是平行四边形，∴AE∥MN.
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA＝AD，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.
又∵AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.
∵MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.
21．(12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，如图，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；
(2)求证：BE⊥D1A.
证明：
(1)如图，取AB的中点G，连接EG，FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG?平面EFG，FG?平面EFG，D1B∩BC＝B，D1B?平面D1BC，BC?平面D1BC，
∴平面EFG∥平面D1BC.
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面D1BC.
(2)易证BE⊥EA，因为平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE.
∴BE⊥平面D1AE.
又D1A?平面D1AE，∴BE⊥D1A.
22．(12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.问：当点M在什么位置时，BM∥平面AEF?
解：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M，连接MB.
因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC，所以OM⊥底面ABC.则OM綊EC，
又因为EC＝2FB＝2，所以OM綊FB，所以四边形OMBF为矩形，所以BM∥OF.
又因为BM
平面AEF，OF?平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．
