第三章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．直线l经过原点和(1，－1)，则l的倾斜角是( C )
A．45°
B．－45°
C．135°
D．45°或135°
解析：∵直线l经过坐标原点和点(1，－1)，∴直线l的斜率k＝＝－1，∴直线l的倾斜角α＝135°，故选C.
2．过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( D )
A．10
B．180
C．6
D．6
解析：∵过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率k＝＝－，解得a＝10，∴|MN|＝＝＝6.故选D.
3．下列命题：
①若两直线平行，则其斜率相等；②若两直线垂直，则其斜率之积为－1；③垂直于x轴的直线平行于y轴．
其中正确命题的个数为( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①两直线斜率不存在时，也可以平行，故不对；②两直线一条不存在斜率，另一条斜率为0，此时也垂直，故不对．③垂直于x轴的直线不一定平行于y轴，可以与y轴重合，故不对．
4．若a＋b＝0(a≠0，b≠0)，则在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋1与y＝bx－1的图象表示正确的是( B )
解析：本题主要考查直线方程的图象表示．由a＋b＝0(a≠0，b≠0)知两直线的斜率互为相反数，所以排除C、D；又两直线在y轴上的截距分别为1和－1，所以排除A；当a<0时可知B正确，故选B.
5．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于( D )
A．2
B．1
C．0
D．－1
解析：由题知(a＋2)a＝－1，即a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0.∴a＝－1，故选D.
6．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，另一个端点B的横坐标是－1，则点B的纵坐标是( C )
A．－3
B．5
C．－3或5
D．－1或－3
解析：设B点的纵坐标为y，则B(－1，y)．∵|AB|＝5，∴(2＋1)2＋(1－y)2＝25.∴y＝－3，或y＝5.
7．若直线(2m－3)x－(m－2)y＋m＋1＝0恒过某个点P，则点P的坐标为( C )
A．(3,5)
B．(－3,5)
C．(－3，－5)
D．(3，－5)
解析：方程(2m－3)x－(m－2)y＋m＋1＝0可整理为m(2x－y＋1)－(3x－2y－1)＝0，联立得故P(－3，－5)．
8．方程y－ax－＝0表示的直线可能是( B )
解析：将方程变形为y＝ax＋，则a为直线的斜率，为直线在y轴上的截距．因为a≠0，所以a>0或a<0.当a>0时，四个图形都不可能是方程表示的直线；当a<0时，图形B是方程表示的直线．
9．若实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点( D )
A．(2，)
B．(－2，)
C．(2，－)
D．(－2，－)
解析：本题主要考查直线恒过定点问题．由已知得n＝2m－1，代入直线mx－3y＋n＝0得mx－3y＋2m－1＝0，即(x＋2)m＋(－3y－1)＝0，由解得所以此直线必过定点(－2，－)，故选D.
10．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为( A )
A.
B．1
C.
D．2
解析：本题主要考查直线的截距式方程和一元二次函数的最值问题．直线x＋2y＝2可化为＋y＝1，则直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)．由动点P(a，b)在线段AB上可知a＋2b＝2且0≤b≤1，从而a＝2－2b.于是ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2(b－)2＋，因为0≤b≤1，所以当b＝时，ab取最大值，故选A.
11．当直线y＝kx与曲线y＝|x|－|x－2|有三个公共点时，实数k的取值范围是( A )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：
本题主要考查斜率变化的动直线与已知图象交点个数的判断．依题意得，当x<0时，y＝－x＋(x－2)＝－2；当0≤x≤2时，y＝x＋(x－2)＝2x－2；当x>2时，y＝x－(x－2)＝2.在平面直角坐标系中画出该函数的图象(如图所示)，将x轴绕着原点沿逆时针方向旋转，在旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图象都有三个不同的交点，继续旋转，相应的直线与该函数的图象都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k的取值范围是(0,1)，故选A.
12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( B )
A．(0,1)
B．(1－，)
C．(1－，]
D．[，)
解析：本题主要考查当动态直线分三角形面积时探求参数的取值范围问题．线段BC所在的直线方程为x＋y＝1，由消去x，得y＝.当a>0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点(－，0)，结合图形可知××(1＋)＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝，因为a>0，所以>0，解得b<.考虑极限位置，当a＝0时，结合图形可求得b＝1－，可知b的取值范围是(1－，)，故选B.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)、C(a，c＋a)两点的直线的倾斜角为45°.
解析：k＝＝＝1，∴直线的倾斜角为45°.
14．过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线的方程为3x＋y－6＝0.
解析：设A(m,0)，B(0，n)．由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)．由两点式直接得方程＝，即3x＋y－6＝0.
15．光线自点M(2，－3)射到y轴上的点N(0，－1)后被y轴反射，则反射光线所在直线与x轴的交点坐标为(1,0)．
解析：
本题主要考查光的反射性质在直线方程中的应用与利用点斜式求直线的方程．如图，点M(2，－3)关于直线lNP：y＝－1的对称点为M′(2,1)，于是反射光线所在的直线方程的斜率为kM′N＝＝1，故所求直线方程为y－(－1)＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.令y＝0得x＝1，所以反射光线所在直线与x轴的交点坐标为(1,0)．
16．设点Pi(xi，yi)是直线li：aix＋biy＝ci上任意一点，若ai＋bi＝ici(i＝1,2)，且|P1P2|≥恒成立，则＋＝3.
解析：∵点Pi(xi，yi)在直线li：aix＋biy＝ci上，ai＋bi＝ici(i＝1,2)，∴l1过定点M(1,1)，l2过定点N，∴|MN|＝
＝，又|P1P2|≥恒成立，∴l1∥l2，MN⊥li(i＝1,2)．又kMN＝1，∴直线l1，l2的方程分别为x＋y＝2，x＋y＝1，∴＋＝2＋1＝3.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)分别求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点A(3,0)且与直线2x＋y－5＝0垂直；
(2)经过直线x－y－1＝0与2x＋y－2＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0.
解：(1)由条件设所求直线方程为x－2y＋c＝0.
∵所求直线过点A(3,0)，∴3＋c＝0，即c＝－3，∴所求直线方程为x－2y－3＝0.
(2)由解得∴直线x－y－1＝0与2x＋y－2＝0的交点为(1,0)．
∵与直线x＋2y－3＝0平行的直线的一般式方程为x＋2y＋λ＝0，∴把点(1,0)代入，可得λ＝－1，
故所求的直线方程为x＋2y－1＝0.
18．(12分)求经过点P(－2,3)，且满足下列条件的直线方程：
(1)在x轴，y轴上的截距之和等于6；
(2)在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且满足b＝2a.
解：(1)方法一 设直线方程为y－3＝k(x＋2)(k≠0)，当x＝0时，y＝3＋2k；当y＝0时，x＝－－2.
依题意，有3＋2k－－2＝6，即2k2－5k－3＝0，解得k＝－或3.
于是所求直线方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝3(x＋2)，即x＋2y－4＝0或3x－y＋9＝0.
方法二 设直线方程为＋＝1，因为直线过点P(－2,3)，所以＋＝1，整理得a2－a－12＝0，解得a＝－3或4.
于是所求直线方程为＋＝1或＋＝1，即3x－y＋9＝0或x＋2y－4＝0.
(2)①当a≠0时，设直线方程为＋＝1，将P(－2,3)代入，得＋＝1，
解得a＝－，此时直线方程为＋＝1，即2x＋y＋1＝0.
②当a＝0时，直线过点(0,0)和(－2,3)，所以直线的斜率为－，此时直线的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.
综上可知，所求直线方程为2x＋y＋1＝0或3x＋2y＝0.
19．(12分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，且直线l1过点P(－3,3)．如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．
解：由题意，可设直线l2的方程为y＝k(x－a)，即kx－y－ak＝0，
∵点Q(2,2)到直线l2的距离为1，∴＝1. ①
又∵直线l1的方程为y＝－k(x－a)，且直线l1过点P(－3,3)，∴ak＝3－3k. ②
由①②得＝1，两边平方整理得12k2－25k＋12＝0，解得k＝或k＝，
∴当k＝时，代入②得a＝－，此时直线l2的方程为4x－3y＋3＝0；
当k＝时，代入②得a＝1，此时直线l2的方程为3x－4y－3＝0.
综上所述，直线l2的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.
20．(12分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2)．
(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，∴B(5，－1)，
又∵点A(5,1)关于原点的对称点为C(x2，y2)，∴C(－5，－1)，
∴AB的中点坐标是(5,0)，BC的中点坐标是(0，－1)．
过(5,0)，(0，－1)的直线方程是＝，整理得x－5y－5＝0.
(2)易知|AB|＝|－1－1|＝2，|BC|＝|－5－5|＝10，AB⊥BC，∴△ABC的面积S＝|AB|·|BC|＝×2×10＝10.
21．(12分)已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，
(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；
(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．
解：(1)∵点P(6,4)，∴kOP＝.
又∵OP⊥AB，∴kAB＝－.
∵AB过点P(6,4)，∴直线AB的方程为y－4＝－(x－6)，化为一般式可得3x＋2y－26＝0.
(2)设点A(a,4a)，a>0，点B坐标为(b,0)，b>0，当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6，此时△OAB的面积S＝×6×24＝72.
当直线AB的斜率存在时，有＝，解得b＝，故点B的坐标为，
故△OAB的面积S＝··4a＝，即10a2－Sa＋S＝0. ①
由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解，故判别式Δ＝S2－40S≥0，∴S≥40，
故S的最小值等于40，此时①为a2－4a＋4＝0，解得a＝2.
综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为(10,0)．
22．(12分)当0
解：直线l1：ax－2y＝2a－4可化为a(x－2)＋(－2y＋4)＝0.
∵a可取(0,2)上的任意值，∴∴l1过点A(2,2)．
同理可得l2：2x＋a2y＝2a2＋4，也过点A(2,2)．
又kl1＝>0，kl2＝－<0，l1与y轴的交点为D(0,2－a)，l2与x轴的交点为B(a2＋2,0)，
∴S四边形ABOD＝S△AOD＋S△ABO＝(2－a)×2＋(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝(a－)2＋，∴当a＝时，S四边形ABOD的最小值为.第三章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．直线l经过原点和(1，－1)，则l的倾斜角是( )
A．45°
B．－45°
C．135°
D．45°或135°
2．过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10
B．180
C．6
D．6
3．下列命题：
①若两直线平行，则其斜率相等；②若两直线垂直，则其斜率之积为－1；③垂直于x轴的直线平行于y轴．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若a＋b＝0(a≠0，b≠0)，则在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋1与y＝bx－1的图象表示正确的是( )
5．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于( )
A．2
B．1
C．0
D．－1
6．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，另一个端点B的横坐标是－1，则点B的纵坐标是( )
A．－3
B．5
C．－3或5
D．－1或－3
7．若直线(2m－3)x－(m－2)y＋m＋1＝0恒过某个点P，则点P的坐标为( )
A．(3,5)
B．(－3,5)
C．(－3，－5)
D．(3，－5)
8．方程y－ax－＝0表示的直线可能是( )
9．若实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点( )
A．(2，)
B．(－2，)
C．(2，－)
D．(－2，－)
10．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为( )
A.
B．1
C.
D．2
11．当直线y＝kx与曲线y＝|x|－|x－2|有三个公共点时，实数k的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(1－，)
C．(1－，]
D．[，)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)、C(a，c＋a)两点的直线的倾斜角为(
).
14．过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线的方程为(
).
15．光线自点M(2，－3)射到y轴上的点N(0，－1)后被y轴反射，则反射光线所在直线与x轴的交点坐标为(
)
16．设点Pi(xi，yi)是直线li：aix＋biy＝ci上任意一点，若ai＋bi＝ici(i＝1,2)，且|P1P2|≥恒成立，则＋＝(
)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)分别求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点A(3,0)且与直线2x＋y－5＝0垂直；
(2)经过直线x－y－1＝0与2x＋y－2＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0.
18．(12分)求经过点P(－2,3)，且满足下列条件的直线方程：
(1)在x轴，y轴上的截距之和等于6；
(2)在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且满足b＝2a.
19．(12分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，且直线l1过点P(－3,3)．如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．
20．(12分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2)．
(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；
(2)求△ABC的面积．
21．(12分)已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，
(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；
(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．
22．(12分)当0