模块综合评估(一)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( A )
A．平行且相等
B．平行不相等
C．相等不平行
D．既不平行也不相等
2．下列命题正确的是( D )
A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2
B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥α
C．直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°<θ<90°
D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2
解析：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点，使得OA＝OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l?α或l∥α时，直线l与平面α所成的角θ＝0°；当l⊥α时，直线l与平面α所成的角大小为90°，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行”可知D正确．故选D.
3．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是( D )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直相交
D．异面垂直
解析：菱形ABCD中，AC⊥BD.又PC⊥平面α.∴PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC.又PA?平面PAC，∴BD⊥PA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．
4．已知M、N分别是正方体AC1的棱A1B1、A1D1的中点，如图是过M、N、A和D、N、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为( B )
解析：由正视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.
5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是( B )
A.
B．8
C．8
D．16
解析：设长方体的过一顶点的三条棱长为a，b，c，并且长为a，b的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a＝4cos60°＝2，b＝4cos60°＝2.根据长方体的对角线性质，有a2＋b2＋c2＝42，即22＋22＋c2＝42.∴c＝2.因此长方体的体积V＝abc＝2×2×2＝8.
6．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD＝2，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是( C )
A．16π
B．20π
C．12π
D．8π
解析：把这四点再补四点可作为一个正方体的顶点，则这八个顶点都在球面上，球为正方体的外接球，所以2＝2R，R＝，S＝4πR2＝12π，故选C.
7．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是( B )
A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0
B．x2＋y2＋4y－6＝0
C．x2＋y2－2x＝0
D．x2＋y2＋4x－6＝0
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3)＝0，即x2＋y2＋(λ－2)x＋2λy－3λ＝0.依题意，－＝0，λ＝2.故圆的方程为x2＋y2＋4y－6＝0.
8．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为( C )
A．±4
B．±2
C．±2
D．±
9．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值等于( B )
A.
B.
C.
D．2
解析：表示圆x2＋y2＝1上的点P(x，y)与A(1,2)连线的斜率．由A(1,2)作圆的两条切线，较小的斜率即为所求．
10．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：圆心(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离为d＝＝2，圆的半径是3.∴圆上的点到直线3x＋4y－11＝0的距离为1的点有3个．
11．如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R?PQMN的体积是( C )
A．12
B．10
C．6
D．不确定
解析：设四棱锥R?PQMN的高为d，则d＝，S四边形PQMN＝(1＋3)×3＝6，VR?PQMN＝S四边形PQMN·d＝×6×＝6，故选C.
12．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( B )
A.
B.∪
C.
D.∪
解析：∵y(y－mx－m)＝0，∴y＝0或y－mx－m＝0.当y＝0时，显然与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y－mx－m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同的交点，且m≠0.由方程组消去y，得关于x的一元二次方程，再令Δ>0，解得m∈∪.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于.
解析：由三视图知该几何体是半径为2的半球，所以其体积为×π×23＝.
14．直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点且|AB|＝2，则实数a＝0.
解析：因为圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝2，且|AB|＝2，故圆心到直线的距离d＝
＝＝1，即＝1，所以|a＋1|＝，平方得a2＋2a＋1＝a2＋1，解得a＝0.
15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为(π－2)?4π.
解析：设圆柱形水桶的底面半径为R，高为h，桶直立时，水的高度为x.横放时水桶底面在水内的面积为πR2－R2，水的体积为V水＝(πR2－R2)h.直立时水的体积不变，则有V水＝πR2x，∴x?h＝(π－2)?4π.
16．如图，点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A?D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1，其中正确的结论的序号是①②④(写出所有你认为正确结论的序号)．
解析：因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又AC?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1.所以AC∥平面A1BC1，同理可证AD1∥平面A1BC1.又AC?平面ACD1，AD1?平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；BC1?平面A1BC1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变．又VA?D1PC＝VP?ACD1，所以三棱锥A?D1PC的体积不变，故①正确；因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③错误；因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1，又AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又B1D?平面BB1D1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1.又AC?平面ACD1，AD1?平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1，又B1D?平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知一个组合体的三视图，如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．
解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：V圆锥＝πr2h1＝π×22×2＝，V圆柱＝πr2h2＝π×22×10＝40π，V圆柱′＝πr2h3＝π×42×1＝16π，所以此组合体的体积为V＝＋40π＋16π＝π.
18．(12分)已知等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．
解：设直角顶点为C，C到直线y＝3x的距离为d，则·d·2d＝10，∴d＝.
又l的斜率为，∴l的方程为y＋2＝(x－4)，即x－2y－8＝0.
设l′是与直线y＝3x平行且距离为的直线，则l′与l的交点就是点C.
设l′的方程是3x－y＋m＝0，则＝，∴m＝±10，∴l′的方程是3x－y±10＝0.
由或得点C的坐标是或.
19．(12分)已知圆C经过A(2,4)、B(3,5)两点，且圆心C在直线2x－y－2＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋3与圆C总有公共点，求实数k的取值范围．
解：(1)由于AB的中点坐标为(，)，kAB＝1，则线段AB的垂直平分线的方程为y＝－x＋7，圆心C是直线y＝－x＋7与直线2x－y－2＝0的交点，由解得即圆心C(3,4)，又半径为|CA|＝＝1，故圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1.
(2)圆心C(3,4)到直线y＝kx＋3的距离d＝，由题意d≤1，化简得4k2－3k≤0，解得0≤k≤.
20.(12分)如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A、B的一点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：平面A1AC⊥平面BA1C；
(2)求VA1?ABC的最大值．
解：(1)证明：∵C是底面圆周上异于A、B的一点，且AB为底面圆的直径，∴BC⊥AC.
又AA1⊥底面ABC，∴BC⊥AA1，∴BC⊥平面A1AC.
由面面垂直的判定定理知，平面A1AC⊥平面BA1C.
(2)在Rt△ACB中，设AC＝x，则BC＝＝(0故VA1?ABC＝S△ABC×AA1＝×AC×BC×AA1＝x(0VA1?ABC＝x＝＝.
∵021．(12分)已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半，求：
(1)动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝{M||MA|＝|MB|}．
由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为＝.
平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．
由于A(2,0)，且N为线段AM的中点，所以x＝，y＝.所以有x1＝2x－2，y1＝2y.①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，所以M的坐标(x1，y1)满足x＋y＝16.②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．
22．(12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)求证：PB∥平面ACM；
(2)求证：AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
解：(1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.
因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.
(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
(3)如图，取DO的中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN即是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝，从而AN＝DO＝.
在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.模块综合评估(一)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )
A．平行且相等
B．平行不相等
C．相等不平行
D．既不平行也不相等
2．下列命题正确的是( )
A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2
B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥α
C．直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°<θ<90°
D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2
3．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直相交
D．异面垂直
4．已知M、N分别是正方体AC1的棱A1B1、A1D1的中点，如图是过M、N、A和D、N、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为( )
5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是( )
A.
B．8
C．8
D．16
6．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD＝2，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．12π
D．8π
7．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0
B．x2＋y2＋4y－6＝0
C．x2＋y2－2x＝0
D．x2＋y2＋4x－6＝0
8．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为( )
A．±4
B．±2
C．±2
D．±
9．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值等于( )
A.
B.
C.
D．2
10．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R?PQMN的体积是( )
A．12
B．10
C．6
D．不确定
12．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.∪
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于(
).
14．直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点且|AB|＝2，则实数a＝(
)
15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为(
).
16．如图，点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A?D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1，其中正确的结论的序号是(
)(写出所有你认为正确结论的序号)．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知一个组合体的三视图，如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．
18．(12分)已知等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．
19．(12分)已知圆C经过A(2,4)、B(3,5)两点，且圆心C在直线2x－y－2＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋3与圆C总有公共点，求实数k的取值范围．
20.(12分)如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A、B的一点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：平面A1AC⊥平面BA1C；
(2)求VA1?ABC的最大值．
21．(12分)已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半，求：
(1)动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
22．(12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)求证：PB∥平面ACM；
(2)求证：AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
