苏科版九年级数学上册培优圆周角定理练习（word版含答案）

第10讲　圆周角定理
【思维入门】
如图3－10－1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
连结BC，BD，下列结论中不一定正确的是
(　　)
A．AE＝BE　　　
B.＝
C．OE＝DE
D．∠DBC＝90°
图3－10－1
图3－10－2
图3－10－3
2．如图3－10－2，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为
(　　)
A.　　　　
B．3　　　　
C．2　　　　
D．4
3．如图3－10－3，?ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是
(　　)
A．44°　　　
B．54°　　　
C．72°　　　
D．53°
4．如图3－10－4，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于
(　　)
A．55°　　　
B．60°　　　
C．65°　　　
D．70°
图3－10－4
图3－10－5
5．如图3－10－5，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝____°.
6．如图3－10－6，点A，B，D，E在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C.给出下列三个条件：(1)AB是圆的直径；(2)D是BC的中点；(3)AB＝AC.
请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．
图3－10－6
【思维拓展】
7．如图3－10－7，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为
(　　)
A．2　　　
B．8　　　
C．2　　　
D．2
图3－10－7
图3－10－8
8．如图3－10－8，半圆O的直径AB＝10
cm，弦AC＝6
cm，AD平分∠BAC，则AD的长为
(　　)
A．4
cm
B．3
cm
C．5
cm
D．4
cm
9．如图3－10－9，已知在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F.求证：AB－AC＝2AF.
图3－10－9
10．如图3－10－10，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝120°，求的值．
图3－10－10
【思维升华】
11．如图3－10－11，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，
BC＝1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，
则＝____.
12．如图3－10－12，已知四边形ABCD内接于一圆，
AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC＋CM.
图3－10－12
13．如图3－10－13，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A，B两点除外)，过E，B，C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G.
(1)求证：四边形EFCH是正方形；
(2)设BE＝x，△CGH的面积是y，求y与x的函数解析式，并求y的最大值．
图3－10－13
答案：
第10讲　圆周角定理
【思维入门】
如图3－10－1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
连结BC，BD，下列结论中不一定正确的是
(　C　)
A．AE＝BE　　　
B.＝
C．OE＝DE
D．∠DBC＝90°
2．如图3－10－2，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，
AB＝AC＝2，则弦BC的长为
(　C　)
图3－10－2
A.　　　　
B．3　　　　
C．2　　　　
D．4
3．如图3－10－3，?ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是
(　B　)
图3－10－3
A．44°　　　
B．54°　　　
C．72°　　　
D．53°
4．如图3－10－4，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于
(　C　)
图3－10－4
A．55°　　　
B．60°　　　
C．65°　　　
D．70°
【解析】
连结BD，如答图，
第4题答图
∵点D是AC弧的中点，
即＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝×50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－25°＝65°.
5．如图3－10－5，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交
AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若∠A＝65°，则∠DOE
＝__50__°.
6．如图3－10－6，点A，B，D，E在圆上，弦AE的延长线
与弦BD的延长线相交于点C.
给出下列三个条件：(1)AB是圆的直径；(2)D是BC的中点；(3)AB＝AC.
请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．
图3－10－6
解：(1)(2)为已知条件，(3)为结论．
证明：如答图，连结AD，
第6题答图
∵AB是圆的直径，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC.
(1)(3)作为条件，(2)作为结论，
证明：如答图，连结AD，
∵AB是圆的直径，∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∴D是BC的中点(等腰三角形三线合一)．
(2)(3)作为条件，(1)作为结论．
证明：如答图，连结AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴AB是圆的直径．
【思维拓展】
7．如图3－10－7，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为
(　D　)
图3－10－7
A．2　　　
B．8　　　
C．2　　　
D．2
【解析】
∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，
在Rt△AOC中，
∵AC＝4，OC＝r－2，
∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，
∴AE＝2r＝10，
连结BE，如答图，
第7题答图
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝10，AB＝8，
∴BE＝＝＝6，
在Rt△BCE中，
∵BE＝6，BC＝4，
∴CE＝＝＝2.
故选D.
8．如图3－10－8，半圆O的直径AB＝10
cm，弦AC
＝6
cm，AD平分∠BAC，则AD的长为
(　A　)
A．4
cm
B．3
cm
C．5
cm
D．4
cm
【解析】
如答图，连结OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝AC＝3
cm，
在Rt△DOE中，DE＝＝4
cm，
在Rt△ADE中，AD＝＝4
cm.
故选A.
9．如图3－10－9，已知在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F.求证：AB－AC＝2AF.
图3－10－9
证明：如答图，在AB上取D使FD＝AF，连结ED并延长交圆于G，连结BG，
第9题答图
则有∠1＝∠2＝∠3，∠1＝∠G.
∴∠3＝∠G，∴BG＝BD，
又∵∠BAC＝180°－2∠1＝180°－(∠1＋∠2)＝∠AEG，
∴＝，∴＝，即AC＝BG.
∴AB－AC＝AB－BD＝AD＝2AF.
10．如图3－10－10，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝120°，求的值．
图3－10－10
解：如答图，连结AD，DB，作BE∥CD交AC延长线于E.
第10题答图
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120°，
∴∠E＝∠ACD＝60°，∠ECB＝60°，＝，
∴△BEC为等边三角形，AD＝BD，
∴BE＝EC＝CB，
∵∠ADB＝180°－∠ACB＝∠ECB＝60°，AD＝BD，
∴△ADB为等边三角形，
∵∠EBC＝∠ABD＝60°，
∴AD＝DB＝AB，
在△ABE与△DBC中，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴CD＝AE＝CA＋CE＝CA＋CB，
∴＝1.
【思维升华】
11．如图3－10－11，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，
BC＝1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，
则＝____.
12．如图3－10－12，已知四边形ABCD内接于一圆，
AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC＋CM.
图3－10－12
证明：在MA上截取ME＝MC，连结BE，如答图，
∵BM⊥AC，而ME＝MC，
∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，
∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD，
第12题答图
而∠ADB＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BAD，
又∵∠BCD＋∠BAD＝180°，∠BEA＋∠BEC＝180°，
∴∠BEA＝∠BCD，
而∠BAE＝∠BDC，AB＝BD，
∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC，
∴AM＝AE＋ME＝DC＋CM.
13．如图3－10－13，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A，B两点除外)，过E，B，C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G.
(1)求证：四边形EFCH是正方形；
(2)设BE＝x，△CGH的面积是y，求y与x的函数解析式，并求y的最大值．
图3－10－13
解：(1)∵
E，B，C，H，F在同一圆上，且∠EBC＝90°，
∴
∠EHC＝90°，∠EFC＝90°.
又∵∠FBC＝∠HBC＝45°，∴
CF＝CH.
∵∠HBF＋∠HCF＝180°，
∴∠HCF＝90°.
∴
四边形EFCH是正方形．
(2)∵
∠GHB＋∠GCB＝180°，
∴∠GHB＝90°，由(1)知∠CHE＝90°，
∴∠CHG＋∠CHB＝∠EHB＋∠CHB.
∴∠CHG＝∠EHB.
∴CG＝BE＝x，∴DG＝DC－CG＝1－x.
∴△CGH
中，CG边上是高为DG＝(1－x)．
∴
y＝x.(1－x)＝－＋.
当x＝时，y有最大值.