人教版九年级数学上册 第25章 概率初步 知识梳理与测试（Word版 含答案）

第25章：概率初步
知识要求：
1、了解确定事件（必然事件、不可能事件）和不确定事件的意义，能够准确区分确定事件和不确定事件；
2、了解概率的意义，达到熟练运用列举法（包括列表、树状图）计算简单事件发生的概率；
3、理解用频率估计概率的方法，并会应用；
4、通过具体的问题情境，体会概率与实际的联系，能够解决相关问题；
知识重点：
运用列表法、画树状图法计算简单事件发生的概率，解决实际问题中的概率应用
知识难点：
列表法、画树状图法
考点：
调查方式与随机事件，概率的计算与实际应用
知识点：
一、知识清单
1、随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，又称不确定事件。
2、确定事件
在一定条件下，有些事件发生与否是可以事先确定的，这样的事件叫做确定事件。其中，必然发生的叫做必然事件；不可能发生的叫做不可能事件。
提示：（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的。（2）必然事件发生的机会是100%，不可能事件发生的机会是0，随机事件发生的机会在0~~100%，（3）判定一个事件是必然事件、不可能事件或者随机事件，要从事件发生可能性的大小来判断。
例1：（
聊城）下列事件：其中确定事件有（　　）
在足球赛中，弱队战胜强队．
抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上．
③任取两个正整数，其和大于1
④长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
考点：随机事件与确定事件
分析：根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
解答：A．在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故本选项错误；
B．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故本选项错误；
C．任取两个正整数，其和大于1是必然事件，故本选项正确；
D．长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形是不可能事件，故本选项正确．
答案：B
练习1
下列各事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）13个人至少有两人出生的月份相同
（2）十五的月亮像一条弯弯的小船
（3）王强买福利彩票，中500万奖金
（4）一本书任意翻开一页，其页码是86页
（5）2050年，我们将搬到太阳上去居住
（6）把3个苹果放入2个果盘，至少有2个苹果在同一个果盘中
（7）选取任意一个正数，将其开方，该数的的平方根小于该数
（8）通常情况下，水加热到100℃，会沸腾
练习2
（
福建福州）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（
）
A．3个
B．不足3个
C．4个
D．5个或5个以上
参考答案：
练习1
（1）必然事件；
（2）不可能事件；
（3）随机事件；
（4）随机事件；
（5）不可能事件；
（6）必然事件；
（7）随机事件；
（8）必然事件；
练习2
D
3、概率
一般来说，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数
p
附近，那么这个常数
p
就叫做事件A发生的概率。记作P（A）=
p
。
根据概率的定义可知，不可能事件发生的概率P（A）=
0
；随机事件发生的概率0﹤P（A）﹤1
；必然事件发生的概率P（A）=
1
；
一般，如果在一次试验中，有
n
种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的
m
种结果，那么事件A发生的概率P（A）=
m
/
n
提示：概率反映了事件发生的可能性的大小；
概率是针对大量重复实验而言的，并非在每个实验中一定存在；
即使某事件发生的概率非常大，但在一次实验中也有可能不发生；同理，发生概率小的事件也可能在一次实验中发生；
例1
NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（　　）
A．科比罚球投篮2次，一定全部命中
B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中
C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大
D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小
练习1
明天降水概率是30%，对此消息下列说法正确的是（
）
A
明天将有30%的地区降水
B
明天将有30%的时间降水
C
明天降水的可能性较小
D
明天肯定不降水
练习2
（1）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外，没有任何区别，从中任意摸出一个，是黑球的概率为________。
（2）已知地球表面，陆地面积约占总面积的30%，那么宇宙中飞来一块小陨石，落在海洋里的概率为_________。
（3）小刚掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数大于3的概率为_________。
练习3
某市民政部门举行“即开福利彩票”销售活动，发行彩票10万张，每张彩票2元。在这些彩票中，设置奖项如下：
奖金（元）
10000
5000
1000
500
100
50
数量（个）
1
4
20
40
100
200
如果花2元买1张彩票，那么所得奖金不少于1000元的概率是_________。
参考答案：
练习1
C
练习2
（1）
；
（2）70%
；（3）
练习2
3、列举法求概率
在一次实验中，如果可能出现的结果只是有限个，且各种结果的可能性大小相等，我们通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法。
树状图法：当事件中涉及到两个以上因素时，用树状图的形式不重不漏的列出所有可能的结果的方法。
列表法：当事件中涉及到两个因素时，并且可能出现的结果数目较多时，用表格的形式不重不漏的列出所有可能的结果的方法。
例1
（江苏泰州中考题）从甲、乙、丙、丁4名选手中随机抽取两名选手参加乒乓球比赛.请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名选手恰好被抽到的概率。
例2
（
贵州毕节）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
练习1（天津中考题）不透明的布袋内装有形状、大小、质地完全相同的4个小球，分别标有数字1,2,3,4。
（1）从布袋中随机取出一个小球，求小球上所标的数字不是2的概率；
（2）从布袋中随机取出一个小球，记录小球上所标的数字为
x
，不将取出的小球放回布袋，再随机取出一个小球，记录小球上所标的数字为
y
，就这样确定点E的坐标为（x
,
y），求点E落在直线
y
=
x
+
1上的概率；
练习2
（
徐州）一只不透明的袋子中装有白球2个和黄球1个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求两次都摸出白球的概率．
练习3
（广东湛江中考题）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张．
（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数概率；
（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
参考答案：
练习1
（1）P
=
（2）符合要求的点E
有3个，为（1，2）、（2，3）、（3，4），P
=
练习2
练习3
（1）
（2）不公平，P（甲）
=
；
P（乙）
=
；
4、用频率估计概率
频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而概率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，当实验的次数充分大后，频率在概率附近摆动。我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率。
练习1
袋中有5个白球，有
x
个红球，从中任意取一个，恰为红球的概率为0.8，则
x
为________
。
练习2
池塘中放养了鲤鱼8000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼320条，鲢鱼400条，则依次估计池塘中的鲢鱼为多少条？
练习3
一个盒中装着大小、外形一模一样的
x
颗白色弹珠和
y
颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是1/3，如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是2/3，则原来盒中有白色弹珠、黑色弹珠各多少颗？
参考答案：
练习1
20个红球。
练习2
10000条鲢鱼。
练习3
白色弹珠4颗，黑色弹珠8颗。
概率初步单元测试卷
一、选择题
1.
下列事件属于必然事件的是（
）
A．打开电视，正在播放新闻
B．我们班的同学将会有人成为航天员
C．实数a＜0，则2a＜0
D．新疆的冬天不下雪
2.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总数为（　　）
Ａ．12个
Ｂ．9个
Ｃ．6个
Ｄ．3个
3.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
4.小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（
）
A.P（摸到白球）＝，P（摸到黑球）＝　
B.P（摸到白球）＝，P（摸到黑球）＝，P（摸到红球）＝　
C.P（摸到白球）＝，P（摸到黑球）＝，P（摸到红球）＝　
D.摸到白球、黑球、红球的概率都是　
5.概率为0.007的随机事件在一次试验中（
）
A.一定不发生
B.可能发生，也可能不发生
　　C.一定发生
D.以上都不对
6.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（
）　
A.28个　
B.30个　C.36个　
D.42个
7.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都完全相同，小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（
）　
A.6
　　
B.16
　　
C.18
　
D.24
8.如图1，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（
）　
A.
B.
C.
D.
第9题
9.如图，一个小球从A点沿轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会相等的结果，小球最终到达H点的概率是（
）　
A.
B.
C.
D.
10.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走。三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握以下事实：（1）罪犯不在A、B、C三人之外；（2）C作案时总得有A作从犯；（3）B不会开车；在此案中能肯定的作案对象是（
）
A.嫌疑犯A
B.嫌疑犯B
C.嫌疑犯C
D.嫌疑犯A和C
二、填空题
11.在100张奖券中，有4张中奖，小勇从中任抽1张，他中奖的概率是_________.
12.小强与小红两人下军棋，小强获胜的概率为46％，小红获胜的概率是30%，那么两人下一盘棋小红不输的概率是_______.
13.在元旦游园晚会上有一个闯关活动，将5张分别画有等腰梯形，圆，平行四边形，等腰三角形，菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是中心对称图形就可以过关，那么一次过关的概率是________.
14.小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径为2m和3m的
同心圆，如图，然后蒙上眼睛在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影
部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，获胜可能性大的是________.
15.不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个白球的概率是，则口袋里有蓝球________.
三、解答题
16.一个密码柜的密码由四个数字组成，每个数字都是0－9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将柜打开，粗心的刘芳忘了其中中间的两个数字，他一次就能打开该锁的概率是多少?
17.将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.
（1）随机地抽取一张，求P（偶数）.
（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为“68”的概率是多少？
18.一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次，朝上的数字分别是m、n，若把m、n作为点A的横、纵坐标，那么点A（m，n）在函数y＝2x的图像上的概率是多少？
四、能力提升
19.田忌赛马是一个为人熟知的故事.传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么获胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马强…
（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）
20.
不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为．
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
(3)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？
参考答案
选择题
C
选项A：打开电视，正在播放新闻是随机事件；故错误
选项B：我们班的同学将会有人成为航天员是随机事件；故错误
选项C：因为a
<
0，根据不等式的基本性质2——不等号两边同时乘以或同时除以一个正数（或正代数式），不等号不变方向，所以2a
<
0；故正确
选项D：新疆的冬天不下雪是随机事件；故错误
A
根据题意，可设总数为
x
，
列方程
，解之得
x
=
12
D
根据题意，骰子的6个面上依次为1、2、3、4、5、6，其中奇数有3个，故
C
选项C中，所有事件发生的概率之和为
，大于1，所以不可能成功。
B
考查概率的意义，概率反映了事件发生的可能性的大小；
概率是针对大量重复实验而言的，并非在每个实验中一定存在；
即使某事件发生的概率非常大，但在一次实验中也有可能不发生；同理，发生概率小的事件也可能在一次实验中发生；
A
根据题意，可设白球
x
个，
列方程，解之得
x
=
≈
28
，故答案为A
B
摸到白球的频率为
，总数为40个，所以白球的个数是个
A
有6个汉字，其中为“自”的有3个，故概率为
B
根据树状图法，可得共有4种结果，符合题意的有1种，概率为
A
略。
填空题
11.
12.
54%
小红不输
包括小红获胜和平局，所以，
13.
5个图形中，是中心对称图形的有圆、平行四边形、菱形共3个，所以
14.
小红
小圆的面积为4π，阴影部分的面积为5π，
P（小红）=
，可能性更大。
15.
蓝球9个
三、解答题
16.
中间两个数字有00—99共计100种，与原密码相同的只有1种，概率为
17.
（1）
（2）组成的两位数有6种可能，67、68、76、78、86、87，恰好为68的概率是
18.
根据题意，可知符合要求的点有（1，2）、（2，4）、（3，6）共计3个，所以概率是
19.（1）田忌的马
按照下、上、中的出阵次序，才能取胜。
（2）田忌的马出阵可能结果共有6种，获胜的只有1种，所以获胜概率是
20.（1）根据题意，设黄球
x
个，
列方程
，解之得
x
=
1
（2）P
=
（3）根据题意，可设摸到红球
x
次，黄球
y
次，蓝球
z
次，
可列方程
①
②
联立两个方程，化简得
③，
因为次数均为正整数，所以有两种结果，分别为
结果1：，，此时；
结果2：，，此时；
即，小明共有2种摸法，分别是红球2个、黄球3个、蓝球1个；或者红球3个、黄球1个、蓝球2个。
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