人教版七年级数学上册期末考点与题型归纳：3.4实际问题与一元一次方程学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学上册期末考点与题型归纳：3.4实际问题与一元一次方程学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 251.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-11 23:36:27 | ||
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文档简介
人教版七年级数学上册考点与题型归纳第三章一元一次方程
3.4
实际问题与一元一次方程
一：考点归纳
考点一：一元一次方程解决实际问题的一般步骤是
①审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系；
②设出未知数（注意单位）；
③根据相等关系列出方程；
④解这个方程；
⑤检验并写出答案（包括单位名称）
考点二、列方程解应用题的常用公式`
行程问题：
路程=速度·时间
工程问题：工作量=工作效率·工作时间
船在顺水、逆水中航行或者飞机在顺风、逆风中飞行的问题：
船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度
船在逆水中航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度
飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度+风的速度
飞机在逆风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度-风的速度
顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程
利润问题常用等量关系：售价-进价=利润
二：【题型归纳】
题型一：一元一次方程解决实际问题
1．为了节约用水，某自来水公司采取以下收费方法：若每户每月用水不超过15吨，则每吨水收费2元；若每户每月用水超过15吨，则超过部分按每吨2.5元收费．
9月份小明家里用水吨．
（1）用含的式子表示：当时，水费为
元；当时，水费为
元．
（2）当时，求小明9月份应交水费多少元？
（3）小明9月份应交的水费是55元，求9月份的用水多少吨？
2．列方程解应用题：某社区超市第一次总共用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价如表：
甲
乙
进价（元件）
22
30
售价（元件）
29
40
（1）求该超市第一次购进乙种商品的件数？
（2）甲乙两种商品的售价如上表，若将第一次所购商品全部卖完后，一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价上打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
试卷第1页，总3页
三：基础巩固和培优
一、单选题
1．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗．参与种树的有（ ）人．
A．8
B．7
C．6
D．5
2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，全程需7个小时，逆流航行全程需要9小时，已知水流速度为每小时3千米．若设两个码头间的路程为x千米，则所列方程为（
?）
A．
B．
C．
D．
3．随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（ ）
A．180
B．170
C．160
D．150
4．年月开学初，为做好新冠肺炎疫情的防空工作，班主任邱老师在某网站为班上的每一位学生购买口罩，每个口罩的价格是元，在结算时卖家说；“如果您再多买
一个口罩就可以打九折，价钱会比现在便宜元．”邱老师说：“那好吧！我就再买一个，谢谢”根据两人的对话，判断邱老师的班级人数．设班级人数为人．下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．某次球赛共有个队参加，每两个队之间打一场比赛，共打了176场，则根据题意可列出的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
6．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有两种网约车，且网约车的平均时速均为公里/时，它们的收费标准见下图（总费用起步价里程费时长费）．该市两位顾客分别乘坐网约车，到达目的地后，他们发现两人的里程数相同，收费也相同，则这两位顾客乘车的里程数为（
）
A．公里
B．公里
C．公里
D．公里
7．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.
求共有多少人？设有人，根据题意可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题大意如下：若将绳子三折后测井深则多4尺；若将绳子四折去测井深则多1尺．问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1）
B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1）
D．﹣4＝﹣1
9．木工师傅要把一根质地均匀的圆柱形木料锯成若干段，按着如图的方式锯开，每锯一次所用的时间均相同．若锯成（，且为整数）段需要时间是分，则锯成段，需要的时间是（
）．
A．分
B．分
C．分
D．分
10．一只小球落在数轴上的某点PO，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是(
)
A．1969
B．1968
C．-1969
D．-1968
二、填空题
11．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，若要使得所有行、列及对角线上各数相加的和相等，则的值是_____________．
12．两村相距35千米，甲、乙两人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行驶了____小时．
13．大庆市出租车收费标准为：起步价5元（3千米之内），3千米以后每千米1.4元，某人乘车5千米应付费______元，乘坐x千米（x＞3）应付费________元．
14．如图，在数轴上，两点对应的数分别为，，有一动点从点出发第一次向左运动个单位；然后在新位置做第二次运动，向右运动个单位；在此位置第三次运动，向左运动个单位，按照如此规律不断左右运动．当运动到第次时，点对应的数为______，点在某次运动时恰好到达某一位置，使点到点的距离是点到点的距离的倍，此时点对应的数为______．
15．我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一些诗歌形式的算题，其中有一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑．玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只．”请问甲原来赶的羊一共有多少只？如果设甲原来赶的羊一共有只，那么可列方程为______________．
三、解答题
16．（定义）
若关于x的一元一次方程ax=b的解满足x=b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x=-4的解为x=-2，而-2=-4+2，则方程2x=-4为“友好方程”．
（运用）
（1）①-2x=，②x=-1两个方程中为“友好方程”的是____（填写序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x=b是“友好方程”，求b的值；
（3）若关于x的一元一次方程-2x=mn+n（n0）是“友好方程”，且它的解为x=n，则m=___，n=___．
17．已知是最大的负整数，与互为相反数，在数轴上，所对应的点分别为A，B，C，点P为该数轴上一动点，其对应的数为．
（1）a=______，b=______，c=_______；
（2）化简：；
（3）三个点在数轴上运动，其中点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点B与点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后B点到点A、点C的距离相等?
18．新学期校服公司计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，乙工厂每天能加工这种校服120件，且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天．
（1）求这批校服共有多少件？
（2）若校服公司决定由甲乙两厂合作完成，甲、乙两厂按原工作效率合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂改进加工技术，每天的工作效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的3倍还多2天，若在加工过程中，该校服公司需付甲工厂每天费用300元，付乙工厂每天费用450元．这批校服全部加工完成后，校服公司需支付甲、乙两工厂共多少元？
19．国庆节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元，若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）若该商场从厂家购进了甲种商品30件，乙种商品20件．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润为800元，乙种商品的每件售价为多少元？
20．家乐福超市出售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价20元，售价35元；乙种商品每件进价30元，售价50元．
（1）若该超市同时购进甲、乙两种商品共100件，且使这100件商品的总利润（利润＝售价﹣进价）为1800元，需购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）在“元旦”期间，该超市对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过500元
售价一律打九折
超过500元
售价一律打八折
按上述优惠条件，若小张第一天只购买甲种商品一次性付款210元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款440元，那么这两天他在该超市购买甲、乙两种商品一共多少件？
参考答案
题型归纳
1．（1）2a，；（2）42.5；（3）25
2．（1）该超市第一次购进乙种商品为90件；
（2）两种商品全部卖完后可获得1950元利润；（3）第二次乙种商品是按原价打9折销售
三：基础巩固和培优
1．C2．A3．A4．B5．A6．A7．C8．B9．D
10．A
11．16
12．或
13．7.8，
14．；
．
15．
16．（1）①（2）?（3）?3；
17．（1）；（2）；（3）．
18．（1）4800件；（2）15750元．
19．（1）甲种商品每件进价为80元，乙种商品每件进价为100元；（2）110元．
20．（1）40，60件；（2）这两天小张在家乐福超市购买甲、乙两种商品一共17件
3.4
实际问题与一元一次方程
一：考点归纳
考点一：一元一次方程解决实际问题的一般步骤是
①审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系；
②设出未知数（注意单位）；
③根据相等关系列出方程；
④解这个方程；
⑤检验并写出答案（包括单位名称）
考点二、列方程解应用题的常用公式`
行程问题：
路程=速度·时间
工程问题：工作量=工作效率·工作时间
船在顺水、逆水中航行或者飞机在顺风、逆风中飞行的问题：
船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度
船在逆水中航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度
飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度+风的速度
飞机在逆风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度-风的速度
顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程
利润问题常用等量关系：售价-进价=利润
二：【题型归纳】
题型一：一元一次方程解决实际问题
1．为了节约用水，某自来水公司采取以下收费方法：若每户每月用水不超过15吨，则每吨水收费2元；若每户每月用水超过15吨，则超过部分按每吨2.5元收费．
9月份小明家里用水吨．
（1）用含的式子表示：当时，水费为
元；当时，水费为
元．
（2）当时，求小明9月份应交水费多少元？
（3）小明9月份应交的水费是55元，求9月份的用水多少吨？
2．列方程解应用题：某社区超市第一次总共用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价如表：
甲
乙
进价（元件）
22
30
售价（元件）
29
40
（1）求该超市第一次购进乙种商品的件数？
（2）甲乙两种商品的售价如上表，若将第一次所购商品全部卖完后，一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价上打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
试卷第1页，总3页
三：基础巩固和培优
一、单选题
1．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗．参与种树的有（ ）人．
A．8
B．7
C．6
D．5
2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，全程需7个小时，逆流航行全程需要9小时，已知水流速度为每小时3千米．若设两个码头间的路程为x千米，则所列方程为（
?）
A．
B．
C．
D．
3．随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（ ）
A．180
B．170
C．160
D．150
4．年月开学初，为做好新冠肺炎疫情的防空工作，班主任邱老师在某网站为班上的每一位学生购买口罩，每个口罩的价格是元，在结算时卖家说；“如果您再多买
一个口罩就可以打九折，价钱会比现在便宜元．”邱老师说：“那好吧！我就再买一个，谢谢”根据两人的对话，判断邱老师的班级人数．设班级人数为人．下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．某次球赛共有个队参加，每两个队之间打一场比赛，共打了176场，则根据题意可列出的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
6．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有两种网约车，且网约车的平均时速均为公里/时，它们的收费标准见下图（总费用起步价里程费时长费）．该市两位顾客分别乘坐网约车，到达目的地后，他们发现两人的里程数相同，收费也相同，则这两位顾客乘车的里程数为（
）
A．公里
B．公里
C．公里
D．公里
7．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.
求共有多少人？设有人，根据题意可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题大意如下：若将绳子三折后测井深则多4尺；若将绳子四折去测井深则多1尺．问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1）
B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1）
D．﹣4＝﹣1
9．木工师傅要把一根质地均匀的圆柱形木料锯成若干段，按着如图的方式锯开，每锯一次所用的时间均相同．若锯成（，且为整数）段需要时间是分，则锯成段，需要的时间是（
）．
A．分
B．分
C．分
D．分
10．一只小球落在数轴上的某点PO，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是(
)
A．1969
B．1968
C．-1969
D．-1968
二、填空题
11．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，若要使得所有行、列及对角线上各数相加的和相等，则的值是_____________．
12．两村相距35千米，甲、乙两人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行驶了____小时．
13．大庆市出租车收费标准为：起步价5元（3千米之内），3千米以后每千米1.4元，某人乘车5千米应付费______元，乘坐x千米（x＞3）应付费________元．
14．如图，在数轴上，两点对应的数分别为，，有一动点从点出发第一次向左运动个单位；然后在新位置做第二次运动，向右运动个单位；在此位置第三次运动，向左运动个单位，按照如此规律不断左右运动．当运动到第次时，点对应的数为______，点在某次运动时恰好到达某一位置，使点到点的距离是点到点的距离的倍，此时点对应的数为______．
15．我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一些诗歌形式的算题，其中有一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑．玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只．”请问甲原来赶的羊一共有多少只？如果设甲原来赶的羊一共有只，那么可列方程为______________．
三、解答题
16．（定义）
若关于x的一元一次方程ax=b的解满足x=b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x=-4的解为x=-2，而-2=-4+2，则方程2x=-4为“友好方程”．
（运用）
（1）①-2x=，②x=-1两个方程中为“友好方程”的是____（填写序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x=b是“友好方程”，求b的值；
（3）若关于x的一元一次方程-2x=mn+n（n0）是“友好方程”，且它的解为x=n，则m=___，n=___．
17．已知是最大的负整数，与互为相反数，在数轴上，所对应的点分别为A，B，C，点P为该数轴上一动点，其对应的数为．
（1）a=______，b=______，c=_______；
（2）化简：；
（3）三个点在数轴上运动，其中点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点B与点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后B点到点A、点C的距离相等?
18．新学期校服公司计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，乙工厂每天能加工这种校服120件，且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天．
（1）求这批校服共有多少件？
（2）若校服公司决定由甲乙两厂合作完成，甲、乙两厂按原工作效率合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂改进加工技术，每天的工作效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的3倍还多2天，若在加工过程中，该校服公司需付甲工厂每天费用300元，付乙工厂每天费用450元．这批校服全部加工完成后，校服公司需支付甲、乙两工厂共多少元？
19．国庆节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元，若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）若该商场从厂家购进了甲种商品30件，乙种商品20件．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润为800元，乙种商品的每件售价为多少元？
20．家乐福超市出售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价20元，售价35元；乙种商品每件进价30元，售价50元．
（1）若该超市同时购进甲、乙两种商品共100件，且使这100件商品的总利润（利润＝售价﹣进价）为1800元，需购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）在“元旦”期间，该超市对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过500元
售价一律打九折
超过500元
售价一律打八折
按上述优惠条件，若小张第一天只购买甲种商品一次性付款210元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款440元，那么这两天他在该超市购买甲、乙两种商品一共多少件？
参考答案
题型归纳
1．（1）2a，；（2）42.5；（3）25
2．（1）该超市第一次购进乙种商品为90件；
（2）两种商品全部卖完后可获得1950元利润；（3）第二次乙种商品是按原价打9折销售
三：基础巩固和培优
1．C2．A3．A4．B5．A6．A7．C8．B9．D
10．A
11．16
12．或
13．7.8，
14．；
．
15．
16．（1）①（2）?（3）?3；
17．（1）；（2）；（3）．
18．（1）4800件；（2）15750元．
19．（1）甲种商品每件进价为80元，乙种商品每件进价为100元；（2）110元．
20．（1）40，60件；（2）这两天小张在家乐福超市购买甲、乙两种商品一共17件