沪科版九年级数学下册24.4直线和圆的位置关系中考题汇编（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学下册24.4直线和圆的位置关系中考题汇编（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 461.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-12 14:42:32 | ||
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文档简介
沪科版九年级数学下册直线和圆的位置关系中考题汇编2020
12
一、
选择题
1.
(2019·重庆)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点．若∠C＝40°，则∠B的度数为( )
A.
60°
B.
50°
C.
40°
D.
30°
2.
(2019·苏州)如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.
若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为( )
A.
54°
B.
36°
C.
32°
D.
27°
3.
(2019·重庆)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD.
若∠C＝50°，则∠AOD的度数为( )
A.
40°
B.
50°
C.
80°
D.
100°
4.
(2019·无锡)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B.若∠P＝40°，则∠B的度数为( )
A.
20°
B.
25°
C.
40°
D.
50°
5.
(2018·鄂尔多斯)以O为中心点的量角器与直角三角尺ABC按如图所示的方式摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角尺只有一个公共点P，则∠CBD的度数是( )
A.
45°10′
B.
44°50′
C.
46°10′
D.
无法确定
6.
(2019·舟山)如图，⊙O上有三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线于点P，则PA的长为( )
A.
2
B.
C.
D.
7.
(2019·广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到点O的距离为2，过点P可作的⊙O的切线有( )
A.
0条
B.
1条
C.
2条
D.
无数条
8.
(2019·杭州)如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB的长为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
9.
(2019·益阳)如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D.下列结论不一定成立的是( )
A.
PA＝PB
B.
∠BPD＝∠APD
C.
AB⊥PD
D.
AB平分PD
10.
(2019·哈尔滨)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上一点，连接AC，BC.若∠P＝50°，则∠ACB的度数为( )
A.
60°
B.
75°
C.
70°
D.
65°
11.
(2019·福建)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB的度数为( )
A.
55°
B.
70°
C.
110°
D.
125°
12.
(2019·台州)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
4－
13.
(2019·台湾)如图，Rt△ABC的内切圆分别与AB，BC相切于点D，E.根据图中标示的长度与角度，则AD的长为( )
A.
B.
C.
D.
14.
(2019·泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为( )
A.
32°
B.
31°
C.
29°
D.
61°
15.
(2019·台湾)如图，△ABC的顶点B，C皆在直线l上，且其内心为点I.今固定点C，将此三角形按顺时针方向旋转，使得△A′B′C的顶点A′落在直线l上，且其内心为点I′.若∠A＜∠B＜∠C，则下列说法正确的是( )
A.
IC和I′A′平行，II′和l平行
B.
IC和I′A′平行，II′和l不平行
C.
IC和I′A′不平行，II′和l平行
D.
IC和I′A′不平行，II′和l不平行
二、
填空题
16.
(2019·河池)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝________．
17.
(2019·南京)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________.
18.
(2019·宿迁)直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为________．
19.
(2019·荆州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6.若P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为__________．
20.
(2019·菏泽)如图，直线y＝－x－3交x轴于点A，交y轴于点B，P是x轴上一动点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P.当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是__________________．
三、
解答题
21.
(2019·贵阳)如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
(1)
求证：OP∥BC.
(2)
过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.
如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
第21题
22.
(2019·玉林)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD.
(1)
求证：EF是△CDB的中位线；
(2)
求EF的长．
第22题
23.
(2019·河池)如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点F.
(1)
若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；
(2)
若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．
第23题
24.
(2019·孝感)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.
(1)
求证：DG∥CA；
(2)
求证：AD＝ID；
(3)
若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
第24题
25.
(2019·徐州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.
(1)
求证：∠A＝∠DOB.
(2)
DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
第25题
26.
(2019·江西)如图①，AB为半圆O的直径，AF为半圆O的切线，过半圆O上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.
(1)
连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆O的切线；
(2)
如图②，当线段CD与半圆O交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD之间的数量关系，并证明你的结论．
27.
(2019·淮安)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E.
(1)
试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)
若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
第27题
28.
(2019·锦州)如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F.
(1)
求证：MF是⊙O的切线；
(2)
若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
第28题
29.
(2019·雅安)如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长，交BA的延长线于点F.
(1)
求证：DC是⊙O的切线；
(2)
若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
第29题
30.
(2019·贺州)如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8.
求：
(1)
∠ADB的度数；
(2)
AC的长．
第30题
31.
(2019·大连)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P，且∠APC＝∠BCP.
(1)
求证：∠BAC＝2∠ACD.
(2)
过点D作DE⊥AC，垂足为E.当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
第31题
参考答案
一、
B
D
C
B
D
B
C
B
D
D
B
A
D
A
C
二、
76°
219°
2
4或2.56
或
三、
(1)
∵
点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴
＝.∴
∠AOP＝∠COP.∴
∠AOP＝∠AOC.又∵
∠ABC＝∠AOC，∴
∠AOP＝∠ABC.∴
OP∥BC (2)
如图，连接PC.∵
CD为⊙O的切线，∴
OC⊥CD，即∠OCD＝90°.又∵
∠D＝90°，∴
∠OCD＋∠D＝180°.∴
OC∥AD.∴
∠APO＝∠COP.∵
∠AOP＝∠COP，∴
∠APO＝∠AOP.∴
OA＝AP.∵
OA＝OP，∴
OA＝AP＝OP.∴
△APO为等边三角形．∴
∠AOP＝60°.∴
∠COP＝∠AOP＝60°.∵
OP＝OC，∴
△POC为等边三角形．∴
∠PCO＝60°，PC＝OP.又∵
∠OCD＝90°，∴
∠PCD＝30°.∵
DP＝1，∠D＝90°，∴
PC＝2DP＝2.∴
AB＝2OP＝2PC＝4.∴
⊙O的直径为4
(1)
如图，连接AE，OE.∵
AB为⊙O的直径，∴
∠ADB＝∠AEB＝90°.∴
BD⊥AC，AE⊥BC.又∵
AB＝AC，∴
BE＝CE＝3.∵
EF是⊙O的切线，∴
OE⊥EF.∵
OA＝OB，∴
OE是△ABC的中位线．∴
OE∥AC.∴
OE⊥BD.∴
BD∥EF.∵
BE＝CE，∴
易得CF＝DF.∴
EF是△CDB的中位线 (2)
∵
∠AEB＝90°，∴
AE＝＝＝4.∵
S△ABC＝AC·BD＝BC·AE，∴
BD＝＝＝.∵
EF是△CDB的中位线，∴
EF＝BD＝
(1)
∵
AE＝DC，∴
∠ADE＝∠DBC.在△ADE和△DBC中，∴
△ADE≌△DBC.∴
DE＝BC (2)
如图，连接CO并延长，交AB于点G，过点O作OH⊥AB于点H.∴
∠OHG＝∠OHB＝90°.∵
CF与⊙O相切于点C，∴
OC⊥FC，即∠FCG＝90°.∵
∠F＝45°，∴
易得△CFG，△OGH是等腰直角三角形．∴
CF＝CG，OH＝HG.∵
AB＝BD＝DA，∴
△ABD是等边三角形．∴
∠ABD＝60°.∴
易得∠OBH＝30°.∴
OH＝OB＝1.∴
OG＝＝.∴
CF＝CG＝OC＋OG＝OB＋OG＝2＋
如图．(1)
∵
点I是△ABC的内心，∴
∠2＝∠7＝∠ABC.∵
DG平分∠ADF，∴
∠1＝∠ADF.∵
∠ADF＝∠ABC，∴
∠1＝∠2.∵
∠3＝∠2，∴
∠1＝∠3.∴
DG∥AC (2)
∵
∠2＝∠7，∠2＝∠3，∴
∠7＝∠3.∵
点I是△ABC的内心，∴
∠5＝∠6.∵
∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，∴
∠4＝∠DAI.∴
AD＝ID (3)
∵
DE＝4，BE＝5，∴
BD＝DE＋BE＝9.∵
∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，∴
△DAE∽△DBA.∴
＝.∴
AD2＝BD·DE＝9×4＝36.∴
AD＝6(负值舍去)．∴
DI＝6.∴
BI＝BD－DI＝9－6＝3
(1)
如图，连接OC.∵
D为的中点，∴
＝.∴
∠DOB＝∠DOC.∴
∠DOB＝∠BOC.∵
∠A＝∠BOC，∴
∠A＝∠DOB (2)
DE与⊙O相切 理由：∵
∠A＝∠DOB，∴
AE∥OD.∵
DE⊥AE，∴
OD⊥DE.∵
OD是⊙O的半径，∴
DE与⊙O相切．
(1)
如图①，连接OC.∵
CD∥AB，BC∥OD，∴
四边形BODC是平行四边形．∴
OB＝CD.∵
OA＝OB，∴
CD＝OA.∴
四边形AOCD是平行四边形．∵
AF为半圆O的切线，∴
AB⊥AD，即∠A＝90°.∴
四边形AOCD是矩形．∴
∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∵
OC是半圆O的半径，∴
CD是半圆O的切线 (2)
∠AED＋∠ACD＝90°.如图②，连接BE.∵
AB为半圆O的直径，∴
∠AEB＝90°.∴
∠EBA＋∠BAE＝90°.∵
AD是半圆O的切线，∴
AB⊥AD，即∠BAD＝90°.∴
∠DAE＋∠BAE＝90°.∴
∠ABE＝∠DAE.∵
∠ACE＝∠ABE，∴
∠ACE＝∠DAE.∵
CD∥AB，∴
∠ADE＝180°－∠BAD＝90°.∴
∠AED＋∠DAE＝90°.∴
∠AED＋∠ACD＝90°
(1)
直线DE与⊙O相切 理由：如图，连接OD.∵
AD平分∠BAC，∴
∠OAD＝∠CAD.∵
OA＝OD，∴
∠OAD＝∠ODA.∴
∠ODA＝∠CAD.∴
OD∥AC.∵
DE⊥AC，∴
DE⊥OD.∵
OD是⊙O的半径，∴
直线DE与⊙O相切． (2)
如图，连接OF.∵
∠BAC＝60°，OA＝OF＝2，∴
△AOF是等边三角形．∴
AF＝OA＝OD.∵
AF∥OD，∴
四边形AODF是平行四边形．∴
DF∥OA，DF＝OA＝2.∴
∠EFD＝∠BAC＝60°.∵
DE⊥AC，∴
∠AED＝90°.∴
∠EDF＝30°.∴
EF＝DF＝1
(1)
如图，连接OM.∵
OM＝OB，∴
∠OMB＝∠OBM.∵
BM平分∠ABD，∴
∠OBM＝∠MBF.∴
∠OMB＝∠MBF.∴
OM∥BF.∵
MF⊥BD，∴
OM⊥MF.∵
OM是⊙O的半径，∴
MF是⊙O的切线 (2)
∵
＝，∴
∠CBN＝∠BMN.∵
∠N＝∠N，∴
△CBN∽△BMN.∴
＝，即＝，解得MN＝.∴
CM＝MN－CN＝－3＝
(1)
如图，连接OC.∵
OE∥AC，∴
∠OEB＝∠ACB.∵
AB是⊙O的直径，∴
∠OEB＝∠ACB＝90°.∴
OD⊥BC.∴
CE＝BE，即OD垂直平分BC.∴
DB＝DC.∴
∠DBE＝∠DCE.又∵
OC＝OB，∴
∠OBE＝∠OCE.∴
∠DBE＋∠OBE＝∠DCE＋∠OCE，即∠DBO＝∠OCD.∵
DB为⊙O的切线，∴
OB⊥BD，即∠DBO＝90°.∴
∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC.∵
OC是⊙O的半径，∴
DC是⊙O的切线 (2)
在Rt△ABC中，∵
∠ABC＝30°，∴
∠CAO＝60°.又∵
OA＝OC，∴
△AOC是等边三角形．∴
∠COF＝60°.∵
AB＝8，∴
OC＝4.在Rt△COF中，tan
∠COF＝，∴
CF＝OC·tan
∠COF＝4×＝4
(1)
∵
AF与⊙O相切于点A，∴
OA⊥AF，即∠OAF＝90°.∴
∠F＝30°，∴
∠AOB＝180°－∠OAF－∠F＝180°－90°－30°＝60°.∴
∠ADB＝∠AOB＝30° (2)
∵
BD是⊙O的直径，∴
∠BAD＝90°.∵
∠BAC＝120°，∴
∠DAC＝30°.∴
∠DBC＝∠DAC＝30°.∵
∠F＝30°，∴
∠F＝∠DBC.∴
AF∥BC.∵
OA⊥AF，∴
OA⊥BC.∴
BE＝CE＝BC＝4，AB＝AC.∵
∠AOB＝60°，OA＝OB，∴
△AOB是等边三角形．∴
AB＝OB.在Rt△BOE中，∵
∠OBE＝30°，∴
OB＝＝＝.∴
AC＝AB＝OB＝
(1)
如图，过点D作DF⊥BC于点F，连接DB.∵
AP是⊙O的切线，∴
PA⊥AC，即∠PAC＝90°.∴
∠APC＋∠ACP＝90°.∵
AC是⊙O的直径，∴
∠ADC＝90°.∴
∠ACP＋∠DAC＝90°.∴
∠APC＝∠DAC.∵
∠DAC＝∠DBC，∠APC＝∠BCP，∴
∠DBC＝∠DCB.∴
DB＝DC.∵
DF⊥BC，∴
BF＝CF，∠BDC＝2∠ODC.∴
易得DF经过圆心O.∵
OD＝OC，∴
∠ODC＝∠OCD.∴
∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD.∴
∠BAC＝2∠ACD (2)
由(1)，得CF＝BC＝3.∵
DE⊥AC，∴
∠DEC＝∠CFD＝90°.∵
∠ADC＝90°，∴
∠CDF＋∠ADO＝90°，∠DCE＋∠DAO＝90°.∵
OA＝OD，∴
∠ADO＝∠DAO.∴
∠CDF＝∠DCE.在△DEC和△CFD中，∴
△DEC≌△CFD.∴
DE＝CF＝3.易得△CDE∽△DAE，∴
＝.∴
CE＝＝.∴
AC＝AE＋CE＝2＋＝.∴
OA＝AC＝.∴
⊙O的半径为
12
一、
选择题
1.
(2019·重庆)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点．若∠C＝40°，则∠B的度数为( )
A.
60°
B.
50°
C.
40°
D.
30°
2.
(2019·苏州)如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.
若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为( )
A.
54°
B.
36°
C.
32°
D.
27°
3.
(2019·重庆)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD.
若∠C＝50°，则∠AOD的度数为( )
A.
40°
B.
50°
C.
80°
D.
100°
4.
(2019·无锡)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B.若∠P＝40°，则∠B的度数为( )
A.
20°
B.
25°
C.
40°
D.
50°
5.
(2018·鄂尔多斯)以O为中心点的量角器与直角三角尺ABC按如图所示的方式摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角尺只有一个公共点P，则∠CBD的度数是( )
A.
45°10′
B.
44°50′
C.
46°10′
D.
无法确定
6.
(2019·舟山)如图，⊙O上有三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线于点P，则PA的长为( )
A.
2
B.
C.
D.
7.
(2019·广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到点O的距离为2，过点P可作的⊙O的切线有( )
A.
0条
B.
1条
C.
2条
D.
无数条
8.
(2019·杭州)如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB的长为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
9.
(2019·益阳)如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D.下列结论不一定成立的是( )
A.
PA＝PB
B.
∠BPD＝∠APD
C.
AB⊥PD
D.
AB平分PD
10.
(2019·哈尔滨)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上一点，连接AC，BC.若∠P＝50°，则∠ACB的度数为( )
A.
60°
B.
75°
C.
70°
D.
65°
11.
(2019·福建)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB的度数为( )
A.
55°
B.
70°
C.
110°
D.
125°
12.
(2019·台州)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
4－
13.
(2019·台湾)如图，Rt△ABC的内切圆分别与AB，BC相切于点D，E.根据图中标示的长度与角度，则AD的长为( )
A.
B.
C.
D.
14.
(2019·泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为( )
A.
32°
B.
31°
C.
29°
D.
61°
15.
(2019·台湾)如图，△ABC的顶点B，C皆在直线l上，且其内心为点I.今固定点C，将此三角形按顺时针方向旋转，使得△A′B′C的顶点A′落在直线l上，且其内心为点I′.若∠A＜∠B＜∠C，则下列说法正确的是( )
A.
IC和I′A′平行，II′和l平行
B.
IC和I′A′平行，II′和l不平行
C.
IC和I′A′不平行，II′和l平行
D.
IC和I′A′不平行，II′和l不平行
二、
填空题
16.
(2019·河池)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝________．
17.
(2019·南京)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________.
18.
(2019·宿迁)直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为________．
19.
(2019·荆州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6.若P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为__________．
20.
(2019·菏泽)如图，直线y＝－x－3交x轴于点A，交y轴于点B，P是x轴上一动点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P.当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是__________________．
三、
解答题
21.
(2019·贵阳)如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
(1)
求证：OP∥BC.
(2)
过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.
如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
第21题
22.
(2019·玉林)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD.
(1)
求证：EF是△CDB的中位线；
(2)
求EF的长．
第22题
23.
(2019·河池)如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点F.
(1)
若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；
(2)
若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．
第23题
24.
(2019·孝感)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.
(1)
求证：DG∥CA；
(2)
求证：AD＝ID；
(3)
若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
第24题
25.
(2019·徐州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.
(1)
求证：∠A＝∠DOB.
(2)
DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
第25题
26.
(2019·江西)如图①，AB为半圆O的直径，AF为半圆O的切线，过半圆O上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.
(1)
连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆O的切线；
(2)
如图②，当线段CD与半圆O交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD之间的数量关系，并证明你的结论．
27.
(2019·淮安)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E.
(1)
试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)
若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
第27题
28.
(2019·锦州)如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F.
(1)
求证：MF是⊙O的切线；
(2)
若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
第28题
29.
(2019·雅安)如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长，交BA的延长线于点F.
(1)
求证：DC是⊙O的切线；
(2)
若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
第29题
30.
(2019·贺州)如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8.
求：
(1)
∠ADB的度数；
(2)
AC的长．
第30题
31.
(2019·大连)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P，且∠APC＝∠BCP.
(1)
求证：∠BAC＝2∠ACD.
(2)
过点D作DE⊥AC，垂足为E.当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
第31题
参考答案
一、
B
D
C
B
D
B
C
B
D
D
B
A
D
A
C
二、
76°
219°
2
4或2.56
或
三、
(1)
∵
点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴
＝.∴
∠AOP＝∠COP.∴
∠AOP＝∠AOC.又∵
∠ABC＝∠AOC，∴
∠AOP＝∠ABC.∴
OP∥BC (2)
如图，连接PC.∵
CD为⊙O的切线，∴
OC⊥CD，即∠OCD＝90°.又∵
∠D＝90°，∴
∠OCD＋∠D＝180°.∴
OC∥AD.∴
∠APO＝∠COP.∵
∠AOP＝∠COP，∴
∠APO＝∠AOP.∴
OA＝AP.∵
OA＝OP，∴
OA＝AP＝OP.∴
△APO为等边三角形．∴
∠AOP＝60°.∴
∠COP＝∠AOP＝60°.∵
OP＝OC，∴
△POC为等边三角形．∴
∠PCO＝60°，PC＝OP.又∵
∠OCD＝90°，∴
∠PCD＝30°.∵
DP＝1，∠D＝90°，∴
PC＝2DP＝2.∴
AB＝2OP＝2PC＝4.∴
⊙O的直径为4
(1)
如图，连接AE，OE.∵
AB为⊙O的直径，∴
∠ADB＝∠AEB＝90°.∴
BD⊥AC，AE⊥BC.又∵
AB＝AC，∴
BE＝CE＝3.∵
EF是⊙O的切线，∴
OE⊥EF.∵
OA＝OB，∴
OE是△ABC的中位线．∴
OE∥AC.∴
OE⊥BD.∴
BD∥EF.∵
BE＝CE，∴
易得CF＝DF.∴
EF是△CDB的中位线 (2)
∵
∠AEB＝90°，∴
AE＝＝＝4.∵
S△ABC＝AC·BD＝BC·AE，∴
BD＝＝＝.∵
EF是△CDB的中位线，∴
EF＝BD＝
(1)
∵
AE＝DC，∴
∠ADE＝∠DBC.在△ADE和△DBC中，∴
△ADE≌△DBC.∴
DE＝BC (2)
如图，连接CO并延长，交AB于点G，过点O作OH⊥AB于点H.∴
∠OHG＝∠OHB＝90°.∵
CF与⊙O相切于点C，∴
OC⊥FC，即∠FCG＝90°.∵
∠F＝45°，∴
易得△CFG，△OGH是等腰直角三角形．∴
CF＝CG，OH＝HG.∵
AB＝BD＝DA，∴
△ABD是等边三角形．∴
∠ABD＝60°.∴
易得∠OBH＝30°.∴
OH＝OB＝1.∴
OG＝＝.∴
CF＝CG＝OC＋OG＝OB＋OG＝2＋
如图．(1)
∵
点I是△ABC的内心，∴
∠2＝∠7＝∠ABC.∵
DG平分∠ADF，∴
∠1＝∠ADF.∵
∠ADF＝∠ABC，∴
∠1＝∠2.∵
∠3＝∠2，∴
∠1＝∠3.∴
DG∥AC (2)
∵
∠2＝∠7，∠2＝∠3，∴
∠7＝∠3.∵
点I是△ABC的内心，∴
∠5＝∠6.∵
∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，∴
∠4＝∠DAI.∴
AD＝ID (3)
∵
DE＝4，BE＝5，∴
BD＝DE＋BE＝9.∵
∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，∴
△DAE∽△DBA.∴
＝.∴
AD2＝BD·DE＝9×4＝36.∴
AD＝6(负值舍去)．∴
DI＝6.∴
BI＝BD－DI＝9－6＝3
(1)
如图，连接OC.∵
D为的中点，∴
＝.∴
∠DOB＝∠DOC.∴
∠DOB＝∠BOC.∵
∠A＝∠BOC，∴
∠A＝∠DOB (2)
DE与⊙O相切 理由：∵
∠A＝∠DOB，∴
AE∥OD.∵
DE⊥AE，∴
OD⊥DE.∵
OD是⊙O的半径，∴
DE与⊙O相切．
(1)
如图①，连接OC.∵
CD∥AB，BC∥OD，∴
四边形BODC是平行四边形．∴
OB＝CD.∵
OA＝OB，∴
CD＝OA.∴
四边形AOCD是平行四边形．∵
AF为半圆O的切线，∴
AB⊥AD，即∠A＝90°.∴
四边形AOCD是矩形．∴
∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∵
OC是半圆O的半径，∴
CD是半圆O的切线 (2)
∠AED＋∠ACD＝90°.如图②，连接BE.∵
AB为半圆O的直径，∴
∠AEB＝90°.∴
∠EBA＋∠BAE＝90°.∵
AD是半圆O的切线，∴
AB⊥AD，即∠BAD＝90°.∴
∠DAE＋∠BAE＝90°.∴
∠ABE＝∠DAE.∵
∠ACE＝∠ABE，∴
∠ACE＝∠DAE.∵
CD∥AB，∴
∠ADE＝180°－∠BAD＝90°.∴
∠AED＋∠DAE＝90°.∴
∠AED＋∠ACD＝90°
(1)
直线DE与⊙O相切 理由：如图，连接OD.∵
AD平分∠BAC，∴
∠OAD＝∠CAD.∵
OA＝OD，∴
∠OAD＝∠ODA.∴
∠ODA＝∠CAD.∴
OD∥AC.∵
DE⊥AC，∴
DE⊥OD.∵
OD是⊙O的半径，∴
直线DE与⊙O相切． (2)
如图，连接OF.∵
∠BAC＝60°，OA＝OF＝2，∴
△AOF是等边三角形．∴
AF＝OA＝OD.∵
AF∥OD，∴
四边形AODF是平行四边形．∴
DF∥OA，DF＝OA＝2.∴
∠EFD＝∠BAC＝60°.∵
DE⊥AC，∴
∠AED＝90°.∴
∠EDF＝30°.∴
EF＝DF＝1
(1)
如图，连接OM.∵
OM＝OB，∴
∠OMB＝∠OBM.∵
BM平分∠ABD，∴
∠OBM＝∠MBF.∴
∠OMB＝∠MBF.∴
OM∥BF.∵
MF⊥BD，∴
OM⊥MF.∵
OM是⊙O的半径，∴
MF是⊙O的切线 (2)
∵
＝，∴
∠CBN＝∠BMN.∵
∠N＝∠N，∴
△CBN∽△BMN.∴
＝，即＝，解得MN＝.∴
CM＝MN－CN＝－3＝
(1)
如图，连接OC.∵
OE∥AC，∴
∠OEB＝∠ACB.∵
AB是⊙O的直径，∴
∠OEB＝∠ACB＝90°.∴
OD⊥BC.∴
CE＝BE，即OD垂直平分BC.∴
DB＝DC.∴
∠DBE＝∠DCE.又∵
OC＝OB，∴
∠OBE＝∠OCE.∴
∠DBE＋∠OBE＝∠DCE＋∠OCE，即∠DBO＝∠OCD.∵
DB为⊙O的切线，∴
OB⊥BD，即∠DBO＝90°.∴
∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC.∵
OC是⊙O的半径，∴
DC是⊙O的切线 (2)
在Rt△ABC中，∵
∠ABC＝30°，∴
∠CAO＝60°.又∵
OA＝OC，∴
△AOC是等边三角形．∴
∠COF＝60°.∵
AB＝8，∴
OC＝4.在Rt△COF中，tan
∠COF＝，∴
CF＝OC·tan
∠COF＝4×＝4
(1)
∵
AF与⊙O相切于点A，∴
OA⊥AF，即∠OAF＝90°.∴
∠F＝30°，∴
∠AOB＝180°－∠OAF－∠F＝180°－90°－30°＝60°.∴
∠ADB＝∠AOB＝30° (2)
∵
BD是⊙O的直径，∴
∠BAD＝90°.∵
∠BAC＝120°，∴
∠DAC＝30°.∴
∠DBC＝∠DAC＝30°.∵
∠F＝30°，∴
∠F＝∠DBC.∴
AF∥BC.∵
OA⊥AF，∴
OA⊥BC.∴
BE＝CE＝BC＝4，AB＝AC.∵
∠AOB＝60°，OA＝OB，∴
△AOB是等边三角形．∴
AB＝OB.在Rt△BOE中，∵
∠OBE＝30°，∴
OB＝＝＝.∴
AC＝AB＝OB＝
(1)
如图，过点D作DF⊥BC于点F，连接DB.∵
AP是⊙O的切线，∴
PA⊥AC，即∠PAC＝90°.∴
∠APC＋∠ACP＝90°.∵
AC是⊙O的直径，∴
∠ADC＝90°.∴
∠ACP＋∠DAC＝90°.∴
∠APC＝∠DAC.∵
∠DAC＝∠DBC，∠APC＝∠BCP，∴
∠DBC＝∠DCB.∴
DB＝DC.∵
DF⊥BC，∴
BF＝CF，∠BDC＝2∠ODC.∴
易得DF经过圆心O.∵
OD＝OC，∴
∠ODC＝∠OCD.∴
∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD.∴
∠BAC＝2∠ACD (2)
由(1)，得CF＝BC＝3.∵
DE⊥AC，∴
∠DEC＝∠CFD＝90°.∵
∠ADC＝90°，∴
∠CDF＋∠ADO＝90°，∠DCE＋∠DAO＝90°.∵
OA＝OD，∴
∠ADO＝∠DAO.∴
∠CDF＝∠DCE.在△DEC和△CFD中，∴
△DEC≌△CFD.∴
DE＝CF＝3.易得△CDE∽△DAE，∴
＝.∴
CE＝＝.∴
AC＝AE＋CE＝2＋＝.∴
OA＝AC＝.∴
⊙O的半径为