鲁教版（五四制）八年级数学上学期《5.2 平行四边形的判定》同步练习试题（Word版 含答案）

5.2
平行四边形的判定
一．选择题
1．在如图所示的正方形网格中，确定点D的位置，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为等腰梯形．则点D的位置应在（　　）
A．点M处
B．点N处
C．点P处
D．点Q处
2．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）
A．①②
B．①④
C．②③
D．②④
3．在四边形ABCD中，AB＝CD，要判定此四边形是平行四边形，还需要满足的条件是（　　）
A．∠A+∠C＝180°
B．∠B+∠D＝180°
C．∠A+∠B＝180°
D．∠A+∠D＝180°
4．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中．①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD所在直线上的点，AC、EF交于点O，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，下列选项中不能推断四边形AECF是平行四边形的是（　　）
A．AE＝CF
B．EO＝FO
C．AE∥CF
D．AF＝EC
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE＝BF，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．CF＝AE
B．OE＝OF
C．△CDE为直角三角形
D．四边形ABCD是平行四边形
二．填空题
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），当t为　
　时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
8．如图，在?ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值可以是　
　．
9．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝3，则GE＝　
　．
三．解答题
10．如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AD＝BC．求证：四边形DEBF是平行四边形．
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD的面积．
12．如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F分别为垂足，BE＝DF，AF∥CE．
（1）试判断四边形AECF、四边形ABCD形状，并说明理由；
（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC．
13．图，点E、F分别在?ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．
14．如图，?ABCD中，延长BC至E，使得CE＝BC，连接DE，F是AD的中点，连接CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形：
（2）若AB＝8，AD＝10，∠B＝60°，求四边形ABCF的面积．
15．如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，点F在AD上，BD与EF相交于点O，并且互相平分，AF＝CE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
16．如图，AD、BF相交于点O，点E、C在BF上，BE＝FC，AC＝DE，AB＝DF，求证：四边形ABDF是平行四边形．
17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是BD的中点．点E、F在对角线AC上，连接DE、BF，DE∥BF，AE＝CF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
18．如图，点E为?ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．
19．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点．求证：四边形ADEF为等腰梯形．
参考答案
一．选择题
1．解：①若AB为底，如图所示：
此时没有符合题意的点D．
②若AB为腰，如图所示：
此时符合题意的点为点P．
故选：C．
2．解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：C．
3．解：A、添加∠A+∠C＝180°不能判定此四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、添加∠B+∠D＝180°不能判定此四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、添加∠A+∠B＝180°可得AD∥CB，再加上AB＝CD不能判定此四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、添加∠A+∠D＝180°可得AB∥CD，再加上AB＝CD可判定此四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
4．解：∵32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴S?AEFD＝AD?（DF?sin30°）＝3×（4×）＝6，故④不正确；
∴正确的个数是3个，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥EC．
A．AE＝CF时，一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形AECF为平行四边形；
B．EO＝FO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF为平行四边形；
C．∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；
D．∵AF∥EC，AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．
故选：A．
6．解：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠DFC＝∠BEA＝90°，
∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF，
即DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴CF＝AE，故选项A不符合题意；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵CF＝AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE＝OF，故选项B不符合题意；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
无法证明△CDE为直角三角形，故选项C符合题意；
故选：C．
二．填空题
7．解：如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴AD＝＝＝6，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB＝∠C，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∴PB＝PQ；
分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
由题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝6，
∴MD＝AD﹣AM＝6﹣4t，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即：当t＝6﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t＝（s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝6，
∴MD＝AM﹣AD＝4t﹣6，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即：当t＝4t﹣6时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t＝2（s）；
综上所述，当t＝s或t＝2s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形；
故答案为：s或2s．
8．解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤＝15，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣15＝15﹣t，
解得：t＝6；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，
解得：t＝10；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣45＝15﹣t，
解得：t＝12；
故答案为：6或10或12．
9．解：取BE的中点H，连接FH、CH，如图：
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，FH＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E是CD的中点，
∴EC＝CD，
∴FH∥EC，FH＝EC，
∴四边形FHCE是平行四边形，
∴GE＝GH＝EH．
∵BE＝3，H是BE的中点，
∴EH＝，
∴GE＝．
故答案为：．
三．解答题
10．证明：∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
又∵∠ADF＝∠CBE，AD＝BC，
∴△BEF≌△DFE（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
11．证明：（1）∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝＝3，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×3＝，
∴?ABCD的面积＝2×S△ABF＝9．
12．解：（1）四边形AECF、四边形ABCD都是平行四边形，理由如下：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
∴OA＝OC，OE＝OF，
又∵BE＝DF，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
在Rt△AEF中，AE＝＝＝6，
∴CF＝6，
∵BE＝7，EF＝8，
∴BF＝BE+EF＝15，
在Rt△BCF中，BC＝＝＝3．
13．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF．
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分．
（2）四边形AECF是菱形．
证明：∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO．
∴∠CEO＝∠CFO．
∴CE＝CF．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
14．（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF＝AD．
又∵CE＝BC，
∴DF＝CE，
∵DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在?ABCD中，∵∠B＝60°，AD∥BC，
∴∠B＝∠DCE，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，
∴∠DCE＝60°．
∴∠CDH＝30°，
∴CH＝CD＝4，DH＝CH＝4，
由（1）得：AF＝AD＝5，
∴四边形ABCF的面积＝（AF+BC）×DH＝（5+10）×4＝30．
15．证明：连接BF、DE，
∵BD与EF互相平分，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴DF∥BE，DF＝BE，
∵AF＝CE，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
16．证明：连接AF、BD，如图所示：
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝FE．
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴AB＝DF，∠ABF＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
17．证明：∵DE∥BF，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DEO与△BFO中，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）证明：连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝BC，
∴△BCE是直角三角形，
∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．
19．证明：∵AD∥BC，AB＝DC，
∴AC＝BD，
∵点E、F分别是对角线AC、BD的中点，
∴DF＝BD，AE＝AC，
∴DF＝AE，
∵AB＝AD＝DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，
∴AF⊥BD，DE⊥AC，
在Rt△ADF和Rt△DAE中，
∵，
∴△ADF≌△DAE（HL），
∴∠DAE＝∠ADF，AF＝DE，
在△AFE和△DEF中，
∵，
∴△AFE≌△DEF（SSS），
∴∠AEF＝∠DFE，
设对角线交于点O，
∴∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠ADF＝180°﹣2∠DAE，∠EOF＝180°﹣∠AEF﹣∠DFE＝180°﹣2∠AEF，
∵∠AOD＝∠EOF，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴EF∥AD，
∵AF⊥BD，DE⊥AC，
∴∠DAF和∠ADE都是锐角，
∴AF与DE不平行，
∴ADEF为梯形，
又DF＝AE，
∴ADEF为等腰梯形．