苏科版七年级上册 第4章《一元一次方程》应用题分类：数轴类专项练（四）（Word版 含解析）

第4章《一元一次方程》应用题分类：
数轴类专项练（四）
1．当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须将可能出现的所有情况分别讨论得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为“分类思想”．
例：在数轴上表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，求a的值．
解：如图，当数a表示的点在﹣2表示的数的左边时，a＝﹣2﹣3＝﹣5
当数a表示的点在﹣2表示的数的右边时，a＝﹣2+3＝1
所以，a＝﹣5或1
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题（写出必要的解题过程）
（1）同一平面内已知∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
（2）已知ab＞0，求+的值．
（3）小明去商店购买笔记本，某笔记本的标价为每本2.5元，商店搞促销：购买该笔记本10本以下（包括10本）按原价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的50%出售．
①若小明购买x本笔记本，需付款多少元？
②若小明两次购买该笔记本，第二次买的本数是第一次的两倍，费用却只是第一次的1.8倍，这种情况存在吗？如果存在，请求出两次购买的笔记本数；如果不存在，请说明理由．
2．如图，AB＝12cm，点C是线段AB上的一点，BC＝2AC．动点P从点A出发，以3cm/s的速度向右运动，到达点B后立即返回，以3cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动．设它们同时出发，运动时间为ts．当点P与点Q第二次重合时，P、Q两点停止运动．
（1）AC＝　
　cm，BC＝　
　cm；
（2）当t为何值时，AP＝PQ；
（3）当t为何值时，PQ＝1cm．
3．如图，M是定长线段AB上一定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，点C、点D分别从点M、点B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示．
（1）若AB＝10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值；
（2）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，直接填空：AM＝　
　AB；
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
4．如图，射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，动点P从O点出发沿OM方向以每秒1cm的速度匀速运动；动点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时，立即停止运动），点P，Q同时出发．
（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；
（2）若点Q运动速度为每秒3cm时，经过多少时间P，Q两点相距70m；
（3）当PA＝2PB时，点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，求点Q的速度．
5．如图，直线l上有A、B两点，AB＝24cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝　
　cm，OB＝　
　cm．
（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC＝CO+CB，求CO的长．
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ＝8．
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为　
　cm．
6．已知：如图，线段AB＝12cm，M是AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿线段BA向左运动，在运动过程中，点C始终在线段AM上，点D始终在线段BM上，点E、F分别是线段AC和MD的中点．
（1）当点C、D运动了2s，求EF的长度；
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，求AM的长．
7．如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，AB＝3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．
（1）AC＝　
　cm，BC＝　
　cm；
（2）当t＝　
　秒时，点P与点Q第一次重合；当t＝　
　秒时，点P与点Q第二次重合；
（3）当t为何值时，AP＝PQ？
8．如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，PD＝2AC，请求出AP的长；
（2）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长．
9．如图所示，线段AB＝6cm，C点从P点出发以1cm/s的速度沿AB向左运动，D点从B出发以2cm/s的速度沿AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C，D运动到任意时刻都有PD＝2AC，求出P在AB上的位置；
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，若AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的值；
（3）在（1）的条件下，若C，D运动了一段时间后恰有AB＝2CD，这时点C停止运动，点D继续在线段PB上运动，M，N分别是CD，PD的中点，求出MN的值．
10．如图，C为线段AB的中点，点P从点A出发以acm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点B出发以bcm/s（b＜a）的速度沿BA向点A运动，点Q运动的时间为ts，点P与点Q在点D相遇，AB＝6CD．
（1）求的值；
（2）点E为BQ的中点，当t＝4（点P，Q在运动的过程中）时，PB＝44cm，CE＝26cm，求AB长及a值；
（3）在（2）的条件下，当点P与点E相遇时，点P停止运动，在点P与点E相遇的时刻，点R从点D出发以3cm/s的速度沿DA向A运动，点P停止运动后，当t为何值时，RQ＝PE？
参考答案
1．解：（1）∵∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，
∴当OC在∠AOB内部时，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝55°，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝85°；
（2）∵ab＞0，
∴当a＞0，b＞0时，+＝+＝1+1＝2，
当a＜0，b＜0时，+＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；
（3）①当0≤x≤10时，需付2.5x元，
当x＞10时，需付款为：10×2.5+（x﹣10）×2.5×50%＝1.25x+12.5（元）；
②当第一次购买10本以下，第二次购买超过10本时，
列方程为：10x×1.8＝2.5×10+0.5×2.5（2x﹣10），
解得：x＝0.8（不合题意）；
当第一次和第二次都超过10本时，
列方程为：[2.5×10+0.5×2.5（x﹣10）]×1.8＝2.5×10+0.5×2.5（2x﹣10），
解得：x＝40，
则2x＝80．
答：这种情况存在，第一次购书40本，第二次购书80本．
2．解：（1）∵AB＝12cm，点C是线段AB上的一点，BC＝2AC，
∴AC+BC＝3AC＝AB＝12cm，
∴AC＝4cm，BC＝8cm；
（2）由题意可知：AP＝3t，PQ＝4﹣（3t﹣t），
则3t＝4﹣（3t﹣t），
解得：t＝．
答：当t＝时，AP＝PQ．
（3）∵点P、Q相距的路程为1cm，
∴（4+t）﹣3t＝1（相遇前）或3t﹣（4+t）＝1（第一次相遇后），
解得t＝或t＝，
当到达B点时，第一次相遇后点P、Q相距的路程为1cm，
3t+4+t＝12+12﹣1
解得：t＝．
答：当t为，，时，PQ＝1cm．
3．解：（1）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝4cm，
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣4＝4cm；
（2）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，
∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝AB．
故答案为；
（3）当点N在线段AB上时，如图．
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN，
∴BN＝AM＝AB，
∴MN＝AB，即＝；
当点N在线段AB的延长线上时，如图．
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB，
∴MN＝AB，即＝1．
综上所述，＝或1．
4．解：（1）设点Q的运动速度为xcm/s，根据题意，得
＝，即50＝，
解得x＝0.8cm/s．
（2）∵OA+AB+BC＝90cm＞70cm，
∴分两种情况，
①Q在P的右侧，
经过时间为＝5s．
②Q在P的左侧，
∵点Q运动到点O时，立即停止运动，
∴Q运动的时间为＝30s，
两者相距70cm时运动的时间为＝70s．
综合①②得知，经过5秒和70秒的P、Q两点相距70m．
（3）PA＝2PB，分两种情况，
①当点P在A、B两点之间时，
∵PA＝2PB，
∴PA＝AB＝40cm，
此时运动的时间为＝60s，
∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，
∴BQ＝AB＝20cm，或BQ＝AB＝40cm，
点Q的运动速度为＝0.5cm/s或cm/s．
②当点P在线段AB的延长线上时，
∵PA＝2PB，
∴PA＝2AB＝120cm，
此时运动的时间为＝140s，
∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，
∴BQ＝AB＝20cm，或BQ＝AB＝40cm，
点Q的运动速度为＝cm/s或cm/s．
综合①②得知，当点P在A、B两点之间时，点Q的运动速度为0.5cm/s或cm/s，；当点P在线段AB的延长线上时，点Q的运动速度为cm/s或cm/s．
5．解：（1）∵AB＝24，OA＝2OB，
∴20B+OB＝24，
∴OB＝8，0A＝16，
故答案分别为16，8．
（2）设CO＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，
∵AC＝CO+CB，
∴16﹣x＝x+8+x，
∴x＝，
∴CO＝．
（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，t＝，
当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）＝8，t＝16，
∴t＝或16s时，2OP﹣OQ＝8．
②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）＝16，t＝16，
∴点M运动的路程为16×3＝48cm．
故答案为48cm．
6．解：（1）当点C、D运动了2s，MC＝2cm，BD＝6cm，
∴AC+DM＝AB﹣MC﹣BD＝12﹣2﹣6＝4（cm），
又∵点E、F分别是线段AC和MD的中点，
∴AC＝2EC，MD＝2MF，
∴2EC+2MF＝4，即EC+MF＝2cm，
∴EF＝EC+CM+MF＝2+2＝4
（cm），
答：EF的长度为4cm；
（2）由MD＝3AC可设AC＝xcm，MD＝3xcm，设运动时间为t秒，则MC＝tcm，BD＝3tcm，
∴AM＝x+t（cm），AB＝AC+CM+MD+BD＝x+t+3x+3t＝4x+4t（cm），
∵AB＝12，
∴4x+4t＝12，
∴x+t＝3，即AM＝3cm，
答：AM的长为3cm．
7．解：（1）∵AB＝12cm，AB＝3BC
∴BC＝4，AC＝8
故答案为：8；4．
（2）设运动时间为t，则AP＝4t，CQ＝t，
由题意，4t﹣t＝8，解得t＝；
当点P与点Q第二次重合时有：
4t﹣12+8+t＝12，解得t＝．
故当t＝秒时，点P与点Q第一次重合；当t＝秒时，点P与点Q第二次重合．
故答案为：；．
（3）在点P和点Q运动过程中，当AP＝PQ时，存在以下三种情况：
①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t＝8+t，解得t＝；
②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，
可得：2×[12﹣（4t﹣12）]＝12﹣（t﹣4），解得t＝；
③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，
可得：2×（4t﹣24）＝12﹣（t﹣4），解得t＝．
故当t为秒时，AP＝PQ．
8．解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2，PC＝1，
则BD＝2PC，
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，
∴12＝3AP，则AP＝4cm；
（2）根据C、D的运动速度知：BD＝4，PC＝2，
则BD＝2PC，
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，
∴12＝3AP，则AP＝4cm；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∴点P在线段AB上的处，即AP＝4cm；
（4）如图：
∵AQ﹣BQ＝PQ，
∴AQ＝PQ+BQ；
又∵AQ＝AP+PQ，
∴AP＝BQ，
∴PQ＝AB＝4cm；
当点Q'在AB的延长线上时，
AQ′﹣AP＝PQ′，
所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝12cm．
综上所述，PQ＝4cm或12cm．
9．解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC．
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∴点P在线段AB上的处；
（2）如图1：
∵AQ﹣BQ＝PQ，
∴AQ＝PQ+BQ；
又∵AQ＝AP+PQ，
∴AP＝BQ，
∴PQ＝AB＝2cm；
当点Q'在AB的延长线上时，
AQ′﹣AP＝PQ′，
所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝6cm．
综上所述，PQ＝2cm或6cm．
（3）MN的值不变，MN的值是cm．
理由：如图2，当C点停止运动时，有CD＝AB＝3cm，
∴AC+BD＝AB＝3cm，
∴AP﹣PC+BD＝AB＝3cm，
∵AP＝AB＝2cm，PC＝1cm，
∵M是CD中点，N是PD中点，
∴MN＝MD﹣ND＝CD﹣PD＝CP＝cm．
10．解：（1）∵C为线段AB的中点，AB＝6CD，
∴AC＝BC＝AB＝3CD．
∵点P从点A出发以acm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点B出发以bcm/s（b＜a）的速度沿BA向点A运动，点Q运动的时间为ts，点P与点Q在点D相遇，
∴AD＝at，BD＝bt，
∴＝＝＝＝＝＝；
（2）∵点E为BQ的中点，
∴BE＝BQ．
当t＝4时，PB＝AB﹣AP＝AB﹣4a＝AB﹣8b＝44①，
CE＝BC﹣BE＝AB﹣×4b＝AB﹣2b＝26②，
①与②联立，解得AB＝60，b＝2，
则AB＝60cm，a＝2b＝4cm/s；
（3）当AB＝60cm，a＝4cm/s，b＝2cm/s，
设点P与点E相遇时所用时间为xs，
∵AP+BE＝AB，
∴4x+×2x＝60，
解得x＝12，
BP＝BE＝12．
点P与点Q在点D相遇所用时间为：＝10（s），此时BD＝2×10＝20（cm），
分两种情况：
①R在Q的后面时，如图1．
∵BR＝BD+DR＝20+3（t﹣12）＝3t﹣16，
∴RQ＝BQ﹣BR＝2t﹣（3t﹣16）＝16﹣t，
PE＝BE﹣BP＝×2t﹣12＝t﹣12．
∵RQ＝PE，
∴16﹣t＝（t﹣12），
解得t＝；
②R在Q的前面时，如图2．
∵BR＝BD+DR＝20+3（t﹣12）＝3t﹣16，
∴RQ＝BR﹣BQ＝3t﹣16﹣2t＝t﹣16，
PE＝BE﹣BP＝×2t﹣12＝t﹣12．
∵RQ＝PE，
∴t﹣16＝（t﹣12），
解得t＝20．
故当t为s或20s时，RQ＝PE．