苏科版七年级上册第4章《一元一次方程》应用题分类：数轴类专项练（二）（Word版 含解析）

第4章《一元一次方程》应用题分类：
数轴类专项练（二）
1．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．问：
（1）t＝2秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是　
　；点P到点Q的距离是　
　个单位长度；
（2）动点P从点A运动至C点需要　
　秒；
（3）P、Q两点相遇时，t＝　
　秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是　
　；
（4）如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，直接写出
t
的值．
2．已知a是最大的负整数，b＝﹣|﹣5|，c是﹣4的相反数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C；
（2）在数轴上，若D到A的距离刚好是3，则D点叫做A的“幸福点”．则A的幸福点D所表示的数应该是　
　；
（3）若动点P从点B出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（4）在数轴上，若M到A、C的距离之和为6，则M叫做A、C的“幸福中心”．请直接写出所有点M在数轴上对应的数．
3．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣3|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值；
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒6个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，追上后点M再运动几秒，M到Q的距离等于M到P距离的两倍？
4．（直接填答案，不写推演过程）
观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点的距离可表示为AB＝|a﹣b|．根据以上信息回答下列问题：已知多项式2x4y2﹣3x2y﹣x﹣4的次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点O是数轴原点，点A表示数a，点B表示数b．设点M在数轴上对应的数为m．
（1）A，B两点之间的距离是　
　．
（2）若满足AM＝BM，则m＝　
　．
（3）若A，M两点之间的距离为3，则B，M两点之间的距离是　
　．
（4）若满足AM+BM＝12，则m＝　
　．
（5）若动点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，则点M所对应的数m＝　
　．
5．已知两点A、B在数轴上，AB＝9，点A表示的数是a，且a与（﹣1）3互为相反数．
（1）写出点B表示的数；
（2）如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点4时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ＝2时，求点P、Q所表示的数；
（3）如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当|OM﹣ON|＝2时，求动点P、Q运动的速度．
6．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26、﹣10、10，若动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．
（1）点B和点C之间的距离：BC＝　
　；
用含t的代数式表示P点对应的数：　
　；
用含t的代数式表示点P和点C的距离：PC＝　
　．
（2）在运动过程中，当t为何值时，点P到点B的距离与点P到点C的距离之和为28．
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，在此运动的过程中，当t为何值时，P、Q两点相遇？
7．阅读理解：
A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A、B】的好点，如图1，点C到点A的距离是2，点C到点B的距离是1，那么点C是【A、B】的好点，但点C不是【B、A】的好点．
知识运用：
（1）如图1．点A　
　【C，D】的好点：（请在横线上填“是”或“不”）
（2）如图2．M、N、E为数轴上三点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．若点M是【N，E】的好点，则点E所对应的数是多少？
拓展提升：
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B
出发，以每秒5个单位的速度向左移动．当经过几秒时，点P、点A和点B中有一个点为其余两点的好点？
8．如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为﹣1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
（1）用含有t的代数式表示AM的长为　
　；
（2）当t在什么范围内，AM+BN恒等于10？当t等于多少秒时，AM+BN＝20？
（3）若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位的速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程中，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由．
9．点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B之间的距离可表示为AB＝|a﹣b|．已知数轴上A，B两点分别表示有理数﹣1和x．
（1）若AB＝4时，则x的值为　
　；
（2）当x＝7时，点A，B分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度同时向数轴负方向运动．求经过多少秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍；
（3）如图，点A，B，C，D四点在数轴上分别表示的数为﹣4，﹣1，2，6．是否存在点P在数轴上，使得点P到这四点的距离总和的最小？若存在，请直接写点P的位置和距离总和的最小值．若不存在，请说明理由；
（4）某一直线沿街有2020户居民，假定相邻两户居民间隔相同，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，…，a2020．某餐饮公司想为这2020户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P．请问点P选在何处，才能使这2020户居民到点P的距离总和最小？试说明原因．
10．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0
（1）则m＝　
　，n＝　
　；
（2）有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　
　个单位长度：
（3）在（2）的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：如图所示：
（1）设动点P从点A出发，运动2秒后的点对应数为x，
∵点P以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，
∴AP＝2×2＝4，
又∵x﹣（﹣10）＝4，
解得：x＝﹣6，
又∵同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，
∴QC＝2×1＝2，
又∵AC＝28，AC＝AO+OB+BC，
∴点P到点Q的距离＝28﹣4﹣2＝22；
故答案为﹣6，22；
（2）由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为，OB段时间为＝10，BC段时间为＝4，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4＝19（秒），
故答案为19秒；
（3）设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，
依题意得：
3+y+2y＝10，
解得：y＝，
∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+＝（秒），
此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+＝；
故答案为，；
（4）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：
10﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝2，
当点P、Q两点都在OB上运动时，
t﹣5＝2（t﹣8）
解得：t＝11，
当P在OB上，Q在BC上运动时，
8﹣t＝t﹣5，
解得：t＝；
当P在BC上，Q在OA上运动时，
t﹣8﹣5+10＝2（t﹣5﹣10）+10，
解得：t＝17；
即PO＝QB时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒．
2．解：（1）a是最大的负整数，即a＝﹣1；b＝﹣|﹣5|＝﹣5，c是﹣4的相反数，即c＝4，
所以点A、B、C在数轴上位置如图所示：
（2）A的幸福点D所表示的数应该是﹣1﹣3＝﹣4，﹣1+3＝2，
故答案为：﹣4或2；
（3）设运动t秒后，点P可以追上点Q，则点P表示数﹣5+3t，点Q表示﹣1+t，
依题意得：﹣1+t＝﹣5+3t，
解得：t＝2．
答：运动2秒后，点P可以追上点Q；
（4）设M表示的数为m，
∵M是A、C的“幸福中心”；
∴|m+1|+|m﹣4|＝6
解的m的值为或．
故答案为或．
3．解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a＝﹣1，
∵b是﹣5的相反数，
∴b＝5，
∵c＝﹣|﹣3|，
∴c＝﹣3；
（2）由题意，可知A点表示的数是﹣1，B点表示的数是5，
设运动t秒后，P点对应的数是﹣1+3t，Q点对应的数是5+t，
P点追上Q点时，两个点表示的数相同，
∴﹣1+3t＝5+t，
∴t＝3，
∴求运动3秒后，点P可以追上点Q；
（3）由（2）知，t秒后，M点对应的数是﹣3+6t，
当M点追上Q点时，5+t＝﹣3+6t，
∴t＝1.6，
此时M点对应的数是6.6，
此后M点向数轴负半轴运动，M点对应的数是6.6﹣6（t﹣1.6）＝﹣6t+16.2，
MQ＝5+t﹣（﹣6t+16.2）＝7t﹣11.2，
MP＝|﹣6t+16.2+1﹣3t|＝|9t﹣17.2|，
由题意，可得7t﹣11.2＝2|9t﹣17.2|，
当t≥时，7t﹣11.2＝18t﹣34.4，
∴t＝；
当1.6＜t＜时，7t﹣11.2＝﹣18t+34.4，
∴t＝；
∴t＝或t＝，
∴﹣＝，﹣＝，
∴追上后，再经过s或sM到Q的距离等于M到P距离的两倍．
4．解：（1）由多项式的次数是6可知b＝6，又3a和b互为相反数，故a＝﹣2．
∴A，B两点之间的距离是6﹣（﹣2）＝8，
故答案为：8；
（2）∵AB＝8，
∴AM＝BM＝4，
∴6﹣m＝4，
∴m＝2，
故答案为：2．
（3）∵A，M两点之间的距离为3，
∴|m+2|＝3
∴m＝1或﹣5，
∴BM＝5或11；
故答案为：5或11；
（4）①当M在A左侧时，
∵AM+MB＝12，
∴﹣2﹣x+6﹣x＝12，
∴x＝﹣4；
②M在A和B之间时，∵AM+MB＝AB＝8≠12，
∴点M不存在；
③点M在B点右侧时，∵AM+MB＝12，
∴x+2+x﹣6＝12，
∴x＝8；
故答案为：﹣4或8．
（5）依题意得：﹣2﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+……+2018﹣2019＝﹣2+1009﹣2019＝﹣1012．
∴点M对应的有理数为﹣1012．
故答案为：﹣1012．
5．解：（1）∵a与（﹣1）3互为相反数
∴a＝1，
∵AB＝9，
∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为1+9＝10，如图1所示，
②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为1﹣9＝﹣8，如图2所示，
故点B所表示的数为10或﹣8；
（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10
设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x
∵3秒后两动点相遇
∴3（x+2x）＝9
解得：x＝1
∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2
运动t秒后PQ＝2有两种情形：
①相遇前，由题意有：
2t+2+t＝9
解得：t＝；
∴点P表示的数为：1+2×＝，点Q表示的数为：10﹣＝；
②相遇后，再运动y秒，P、Q两点相距2，由题意有：
y+2y＝2
解得：y＝
∴点P表示的数为：1+3×2+×2＝，点Q表示的数为：10﹣3×1﹣×1＝；
（3）根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度
∴点Q的运动速度为：9÷5＝1.8
设点P的速度为v，
∵|OM﹣ON|＝2
∴|9+1﹣（5v+1）|＝2
解得：v＝或
∴点P的速度为或．
6．解：（1）BC＝|﹣10﹣10|＝20，点P对应的数为t﹣26，PC＝|t﹣26﹣10|＝36﹣t．
故答案为：20；（t﹣26）；（36﹣t）．
（2）﹣10﹣（﹣26）＝16（秒），10﹣（﹣26）＝36（秒）．
当0＜t＜16时，﹣10﹣（t﹣26）+36﹣t＝28，
解得：t＝12；
当16≤t≤36时，t﹣26﹣（﹣10）+36﹣t＝20≠28．
答：当t为12时，点P到点B的距离与点P到点C的距离之和为28．
（3）[10﹣（﹣26）]÷3+16＝28（秒）．
当16≤t≤28时，点Q对应的数为3（t﹣16）﹣26＝3t﹣74，
∵P、Q两点相遇，
∴t﹣26＝3t﹣74，
∴t＝24；
当28＜t≤36时，点Q对应的数为10﹣3（t﹣28）＝94﹣3t，
∵P、Q两点相遇，
∴t﹣26＝94﹣3t，
∴t＝30．
答：当t为24或30时，P、Q两点相遇．
7．解：（1）∵点A到点C的距离是2，点A到点D的距离是1，
∴点A是【C，D】的好点．
故答案为：是．
（2）设点E表示的数为x，
依题意，得：|﹣2﹣4|＝2|﹣2﹣x|，
即﹣4﹣2x＝6或4+2x＝6，
解得：x＝﹣5或x＝1．
答：点E所对应的数是﹣5或1．
（3）当运动时间为t秒时，点P所表示的数为40﹣5t，则PB＝|40﹣5t﹣40|＝5t，AB＝|﹣20﹣40|＝60，AP＝|﹣20﹣（40﹣5t）|＝|60﹣5t|．
当点P为【A，B】的好点时，|60﹣5t|＝2×5t，
解得：t＝4或t＝﹣12（不合题意，舍去）；
当点P为【B，A】的好点时，5t＝2|60﹣5t|，
解得：t＝8或t＝24；
当点A为【P，B】的好点时，|60﹣5t|＝2×60，
解得：t＝36或t＝﹣12（不合题意，舍去）；
当点A为【B，P】的好点时，60＝2|60﹣5t|，
解得：t＝6或t＝18；
当点B为【P，A】的好点时，5t＝2×60，
解得：t＝24；
当点B为【A，P】的好点时，60＝2×5t，
解得：t＝6．
综上所述：经过4秒、6秒、8秒、18秒、24秒或36秒时，点P、点A和点B中有一个点为其余两点的好点．
8．解：（1）∵数轴上点A、M对应的数字分别为﹣1、0
∴AM＝t+1
故答案为：t+1；
（2）t秒后，M点对应的数是t，N点对应的数是2+t，
①在N和B点重合之前，AM+BN＝10
若N和B重合，则2+t＝11，t＝9，
∴当0≤t≤9时，AM+BN＝10；
②AM+BN＝20，
即（t+1）+（2+t﹣11）＝20
解得：t＝14
∴t等于14秒时，AM+BN＝20；
（3）t秒后，M点对应的数是t，N点对应的数是2+t，
A点对应的数是﹣1+2t，B点对应的数是11﹣t，
①N在B点左侧，AM＝BN，则
﹣1+2t﹣t＝11﹣t﹣（2+t）
解得：t＝；
②N在B点右侧，AM＝BN
﹣1+2t﹣t＝2+t﹣（11﹣t）
解得：t＝8
∴当t＝或t＝8时，AM和BN相等．
9．解：（1）∵AB＝4，数轴上A，B两点分别表示有理数﹣1和x，
∴当B点在A点右边时，x＝﹣1+4＝3，
当B点在A点左边时，x＝﹣1﹣4＝﹣5，
故答案为：3或﹣5；
（2）设经过t秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则A点表示的数为（﹣1﹣t），B点表示的数为（7﹣t），
①当B点在原点右边时，有OA＝|﹣1﹣t|＝t+1，OB＝|7﹣2t|＝7﹣2t，则
t+1＝2（7﹣2t），
解得，t＝，
②当B点在原点左边时，有OA＝|﹣1﹣t|＝t+1，OB＝|7﹣2t|＝2t﹣7，则
t+1＝2（2t﹣7），
解得，t＝5，
综上，t＝或5．
答：经过秒或5秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍；
（3）设P点表示的数为x，则
当x＜﹣4时，距离之和为﹣4﹣x﹣1﹣x+2﹣x+6﹣x＝3﹣4x＞19，
当﹣4≤x＜﹣1时，距离为x+4﹣1﹣x+2﹣x+6﹣x＝11﹣2x＞13，
当﹣1≤x＜2时，距离为x+4+x+1+2﹣x+6﹣x＝13，
当2≤x＜6时，时，距离为x+4+x+1+x﹣2+6﹣x＝9+2x≥13，
当x≥6时，时，距离为x+4+x+1+x﹣2+x﹣6＝4x﹣3≥19，
∴当﹣1≤x≤2时，点P到这四点的距离总和的最小，其最小值为13，
即点P在B与C之间时，点P到这四点的距离总和的最小，其最小值为13；
（4）点P选在a1020与a1011之间，才能使这2020户居民到点P的距离总和最小．
理由：若只有a1、a2居民户，P建在a1与a2之间任何一点位置时，2户居民到点P的距离和都为a1与a2间的距离，比建在a1与a2之外小；
若有a1，a2，a3三居民户，P建在a3处时，3户居民到点P的距离和最小，
若有a1，a2，a3，a4四居民户，P建在a2与a3之间任何一点位置时，4户居民到点P的距离和最小，
∴若有a1，a2，a3，a4，a5，…，a20202020户，P建在a1010与a1011之间任何一点位置时，才能使这2020户居民到点P的距离总和最小．
10．解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0，
∴m﹣12＝0，n+3＝0，
∴m＝12，n＝﹣3；
故答案为：12，﹣3；
（2）由题意得：3AB＝m﹣n，
∴AB＝＝5，
∴玩具火车的长为：5个单位长度，
故答案为：5；
（3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t，
∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关，
∴12﹣2k＝0，
∴k＝6
∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15．