1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（含详解）

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人教新课标A版
选修2-3
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、单选题
1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数(
??)
A.?7?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?81
2.汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A和B不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（???
）
A.?4种?????????????????????????????????????B.?8种?????????????????????????????????????C.?12
种?????????????????????????????????????D.?16种
4.、
、
、
四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生
不参加甲社团，
不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（???
）
A.?14?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?4
5.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（???
）
A.?34种???????????????????????????????????B.?43种???????????????????????????????????C.?种???????????????????????????????????D.?种
6.4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（???
）
A.?81?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?24?????????????????????????????????????????D.?16
7.某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（???
）
A.?21种????????????????????????????????????B.?23种????????????????????????????????????C.?25种????????????????????????????????????D.?27种
8.在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（???
）
A.?18种????????????????????????????????????B.?24种????????????????????????????????????C.?36种????????????????????????????????????D.?48种
9.“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（??
）
A.?105种?????????????????????????????????B.?210种?????????????????????????????????C.?630种?????????????????????????????????D.?1260种
10.如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（???
）
A.?54?????????????????????????????????????????B.?50?????????????????????????????????????????C.?60?????????????????????????????????????????D.?58
11.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（???
）
A.?360种?????????????????????????????????B.?720种?????????????????????????????????C.?480种?????????????????????????????????D.?420种
12.如图所示的五个区域中，中心区
域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（??
）
A.?56?????????????????????????????????????????B.?72?????????????????????????????????????????C.?64?????????????????????????????????????????D.?84
二、填空题
13.从5名高中生、4名初中生、3名小学生中各选一人的不同选法共有________种.
14.用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数有________个.
15.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立，则红队至少两名队员获胜的概率是________.
16.小李在游乐场玩掷沙包击落玩偶的游戏.假设他第一次掷沙包击中玩偶的概率为0.4，第二次掷沙包击中玩偶的概率为0.7，而玩偶被击中一次就落地的概率为0.5，被击中两次必然落地.若小李至多掷两次沙包，则他能将玩偶击落的概率为________.
17.高三年段有四个老师分别为
，这四位老师要去监考四个班级
，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求
老师不能监考
班，
老师不能监考
班，
老师不能监考
班，
老师不能监考
班，则不同的监考方式有________种.
18.某校
名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共
种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以
人一组或者
人一组.如果
人一组，则必须角色相同；如果
人一组，则
人角色相同或者
人为级别连续的
个不同角色.已知这
名学生扮演的角色有
名士兵和
名司令，其余角色各
人，现在新加入
名学生，将这
名学生分成
组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
三、解答题
19.5名男生3名女生参加升旗仪式：
（1）站两横排，3名女生站前排，5名男生站后排有多少种站法？
（2）站两纵列，每列4人，每列都有女生且女生站在男生前面，有多少种排列方法？
20.某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．
（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
21.在一次演唱会上共10
名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？
22.某次文艺晚会上共演出7个节目，其中2个歌曲，3个舞蹈，2个曲艺节目，求分别满足下列条件的节自编排方法有多少种？（用数字作答）
（1）一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；
（2）2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻．
23.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
（2）可以排出多少个不同的数？
（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理，得到结论为3×4=12，
故答案为：C.
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出不同的配法种数。
2.答案：
A
解：根据题意，汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有4种下车方式，则8名乘客有
种可能的下车方式．
故答案为：A．
【分析】用乘客选车站的方法．
3.答案：
B
解：先把
两个项目安排到两个地区，剩下的两个项目再选择地区共有安排方式
种．
故答案为：B．
【分析】先把
两个项目安排到两个地区，剩下的2个项目随便安排，可用项目选城市法计算．
4.答案：
A
解：分以下两种情况讨论：
①若学生
参加乙社团，则其他三人的选择无限制，此时不同的报名方法种数为
；
②若学生
不参加乙社团，则学生
有两种选择，则学生
也有两种选择，其他两人的选择无限制，此时不同的报名方法数为
.
综上所述，不同的报名方法种数为
.
故答案为：A.
【分析】对学生
是否参加乙社团进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果.
5.答案：
A
解：4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法.
故答案为：A.
【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，共有
种方法.
6.答案：
A
解：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．
故答案为：A
【分析】利用排列、组合中的乘法原理求得结果．
7.答案：
C
解：A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，
故报考A大学的选择方案有
种；
B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，
故报考B大学的选择方案有
种；
该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，
那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有
种.
故答案为：C.
【分析】报考A大学的选择方案有
种，报考B大学的选择方案有
种，利用分步计数原理计算即可得解.
8.答案：
A
解：（1）当甲排第1名时，则第5名从乙、丙两个选一个，其它三名任意排列，
；（2）当甲排第2，3，4名时，
则第5名必排丙，第1名排乙，其它三名任意排列，
；
，
故答案为：A.
【分析】利用分类加法原理，对甲进行讨论，当甲排第1名和甲排第2，3，4名两种情况，即可得到答案；
9.答案：
C
解：7人分成三个小组并安排到不同病房工作，
有
种方法.
故答案为：C．
【分析】利用分步计数原理，先将7人按照3人、2人、2人分成了三个小组，再安排到不同的病房.
10.答案：
A
解：利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：
⑴无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，
712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，
541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，
370，703，730，406，460，604，640，共40个，
⑵有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，
433，442，424，244，550，505，共14个.
故选：A.
【分析】利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况，即可得答案.
11.答案：
D
解：根据题意，如图，
设5个区域依次为
、
、
、
、
，分4步进行分析：
①对于区域
，有5种颜色可选；
②对于区域
，与
区域相邻，有4种颜色可选；
③对于区域
，与
、
区域相邻，有3种颜色可选；
④对于区域
、
，若
与
颜色相同，
区域有3种颜色可选，若
与
颜色不相同，
区域有2种颜色可选，
区域有2种颜色可选，则区域
、
有
种选择，
则不同的涂色方案有
种；
故选：D．
【分析】根据题意，分4步依次分析区域
、
、
、
、
的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
12.答案：
D
解：分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种；
（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种．
共有84种，故答案为：D.
【分析】每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色和A、C同色两大类.
二、填空题
13.答案：
60
解：根据分步乘法原理得：
，
故答案为：60.
【分析】根据分步乘法原理，即可得到答案；
14.答案：
4
解：由已知有用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数为：310，320，302，312，共4个；
故答案为:4
【分析】对个位分类讨论，一一列举即可；
15.答案：
0.55
解：由题可知，各盘比赛结果相互独立，则红队至少两名队员获胜的情况有：
①甲和乙胜，丙败；②甲和丙胜，乙败；③乙和丙胜，甲败；④甲、乙、丙都胜；
而甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，
则①甲和乙胜，丙败的概率为：
，
②甲和丙胜，乙败的概率为：
，
③乙和丙胜，甲败的概率为：
，
④甲、乙、丙都胜的概率为：
，
则红队至少两名队员获胜的概率为：
.
故答案为：0.55.
【分析】根据题意，可知红队至少两名队员获胜的情况有：①甲和乙胜，丙败；②甲和丙胜，乙败；③乙和丙胜，甲败；④甲、乙、丙都胜；根据分步乘法的计数原理分别求出每种情况的概率，最后再利用分类加法的计数原理求出结果.
16.答案：
0.55
解：小李将玩偶击落有三种情况，①第一次就击落；②第一次未击中，第二次击落；
③第一次击中但未击落，第二次击落.
所以
.
故答案为：0.55
【分析】击落玩偶分三种情况：①第一次就击落；②第一次未击中，第二次击落；③第一次击中但未击落，第二次击落，分别求出概率，三个概率之和即为所求.
17.答案：
9
解：当
老师监考
班时，剩下的三位老师有3种情况，
同理当
老师监考
班时，也有3种，当
老师监考
班时，也有3种，共9种，
故答案为：9．
【分析】以
老师监考的班级分类讨论即可求出答案．
18.答案：
9
解：依题意，
名学生分成
组，则一定是
个
人组和
个
人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；士兵、排长、连长各
名；营长、团长、旅长各
名；
师长、军长、司令各
名；名司令.
所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；连长、营长、团长各
名；
旅长、师长、军长各
名；
名司令；
名排长.
所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；士兵、排长、连长各
名；
连长、营长、团长各
名；旅长、师长、军长各
名；
名司令.
所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；排长、连长、营长各
名；
营长、团长、旅长各
名；师长、军长、司令各
名；
名司令.
所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；排长、连长、营长各
名；
旅长、师长、军长各
名；
名司令；
名团长.
所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演
种角色.
故答案为：
.
【分析】对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下
个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.
三、解答题
19.答案：
（1）解：分两步求解：
①先排前排的3名女生，有
种不同的方法；
②再排后排的5名男生，有
种不同的方法．
由分步乘法计数原理可得共有
种不同的站法．
（2）解：将3名女生分为两组，有
种方法，然后选择其中的一列将1名女生排在最前的一个位置上，有
种方法，然后再从5名男生中选取3名排在该女生的后边，有
种方法；然后再排另外一列，将剩余的2名女生排再该列的前边有
种方法，再将剩余的2名男生排在这2名女生的后边，有
种方法．
由分步乘法计数原理可得不同的排列方法有
种．
【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，得出3名女生站前排，5名男生站后排的站法种数；
（2）利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，得出站两纵列，每列4人，每列都有女生且女生站在男生前面的排列方法种数。
答案：（1）解：选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，
因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．
（2）解：完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．
【分析】（1）根据分类计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求和即可；
（2）根据分步计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求积即可；
21.答案：
（1）解：设既能唱歌又会跳舞的有
人，
，
设既能唱歌又会跳舞的有3人。
（2）解：由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，
①只能唱歌选0人，
，
②只能唱歌选1人，
，
③只能唱歌选2人，
，
有228种选派方法.
【分析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有x人，再列出关于x的方程，即可得答案；
（2）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，以仅会唱歌为分类标准，利用计算原理计算即可得答案；
22.答案：
（1）解：根据题意，分2步进行分析：
①要求2个歌曲节目1个在开头，另一个在最后，有
种安排方法，
②将剩下的5个节目全排列，安排在中间，有
种安排方法，
则一共有
种安排方法；
（2）解：根据题意，分3步进行分析：
①2个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有
种情况，
②将这个整体与3个舞蹈节目全排列，有
种情况，排好后有5个空位，
③在5个空位中任选2个，安排2个曲艺节目，有
种情况，
则一共有
种安排方法．
【分析】（1）利用分步加法计数原理结合排列数公式和已知条件，求出一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台的安排方法种数；
（2）利用分步加法计数原理结合排列数公式和已知条件，求出2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻的方法种数。
23.答案：
（1）解：得到一个三位数，分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位．百位上的数字填法有6种，十位上的数字填法有5种，个位上的数字填法有4种，根据分步计数原理，各位数字互不相同的三位数有
个
（2）解：分三步进行：先填百位，再填十位，最后填各位，每种都有6种方法，根据分步计数原理，可以排出
个不同的数．
（3）解：两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有3×6×5＝90(个)．
【分析】（1）得到一个三位数，分三步进行：先填百位，有6种方法；再填十位，有5种方法；最后填个位，有4种方法，根据分步计数原理可得；
分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位，每种都有6种方法，根据分步计数原理可得；
（3）从三个位中任选两个位，填上相同的数字，有
种方法，剩下的一位数字的填法有5中，根据分步计数原理可求得结果．
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精品试卷·第
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